Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Ôn tập chương 3

Bài giảng Toán 9 Ôn tập chương 3

I. Lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các số đã biết (a hoặc b )

2. Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c (d).

Nếu $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\ne 0\\ \mathrm{b}\ne 0\end{array}\right.$ thì (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất $\mathrm{y}=\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{b}}$

3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left(\mathrm{I}\right) \left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

b) Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Nếu a; a'; b; b'; c; c' đều khác 0 thì:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

4. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn đó rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với các số thích hợp (nếu cần) sao cho với một ẩn nào đó các hệ số bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng (trừ) đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm hệ phương trình.

6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2; 0) và (-1; -2).

Lời giải:

Vì nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng nên ta gọi đường thẳng đó là d: y = ax + b.

+ Thay x = 2; y = 0 vào đường thẳng d ta có: 0 = 2.a + b (1)

+ Thay x = -1; y = -2 vào đường thẳng d ta có: -2 = -1.a + b (2)

Từ (2) ta có: b = -2 + a thay vào (1) ta có:

2.a + a – 2 =0

$\iff$3a – 2 = 0

$\iff$3a = 2

$\iff \mathrm{a}=\frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{b}=-2+\frac{2}{3}=\frac{-4}{3}$

Đường thẳng d cần tìm là y = $\frac{2}{3}\mathrm{x}-\frac{4}{3}$

$\Rightarrow$Phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x – 3y – 4 = 0.

Bài 2: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\\ 3\mathrm{x}-4\mathrm{y}=2\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4,8}{\mathrm{x}}+\frac{4,8}{\mathrm{y}}=1\\ \frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 3\mathrm{x}-4\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 3\left(3+\mathrm{y}\right)-4\mathrm{y}=2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\mathrm{y}\\ 9+3\mathrm{y}-4\mathrm{y}=2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ 9-\mathrm{y}=2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ \mathrm{y}=9-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+3\\ \mathrm{y}=7\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\\ \mathrm{y}=7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=10\\ \mathrm{y}=7\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (10; 7)

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4,8}{\mathrm{x}}+\frac{4,8}{\mathrm{y}}=1\\ \frac{4}{\mathrm{x}}+\frac{3}{\mathrm{y}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.\left(\mathrm{x}, \mathrm{y}\ne 0\right)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{a}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\mathrm{b}\end{array}\right.$khi đó hệ trở thành $\left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ 4\mathrm{a}+3\mathrm{b}=0,75\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ 4\mathrm{a}=0,75-3\mathrm{b}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4,8\mathrm{a}+4,8\mathrm{b}=1\\ \mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 4,8.\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2.\left(0,75-3\mathrm{b}\right)+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 0,9-3,6\mathrm{b}+4,8\mathrm{b}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2\mathrm{b}=1-0,9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ 1,2\mathrm{b}=0,1\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ \mathrm{b}=0,1:1,2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3\mathrm{b}}{4}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{0,75-3.{\displaystyle \frac{1}{12}}}{4}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=\frac{1}{8}\\ \mathrm{b}=\frac{1}{12}\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=8\\ \mathrm{y}=12\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

a) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|+\left|\mathrm{y}-1\right|=22\\ -3\left|\mathrm{x}-2\right|+4\left|\mathrm{y}-1\right|=18\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 4\mathrm{x}+2\mathrm{y}=8\end{array}\right.$

(nhân cả hai vế phương trình thứ hai với 2)

$\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ \left(4\mathrm{x}+3\mathrm{y}\right)-\left(4\mathrm{x}+2\mathrm{y}\right)=6-8\end{array}\right.$

(Trừ vế với vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai)

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}+3.\left(-2\right)=6\\ \mathrm{y}=-2\end{array} \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=6+6\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=12\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\\ \mathrm{y}=-2\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (3; -2).

b) $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|+\left|\mathrm{y}-1\right|=22\\ -3\left|\mathrm{x}-2\right|+4\left|\mathrm{y}-1\right|=18\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\left|\mathrm{x}-2\right|=\mathrm{a}\left( \mathrm{a}\ge 0\right)\\ \left|\mathrm{y}-1\right|=\mathrm{b}\left(\mathrm{b}\ge 0\right)\end{array}\right.$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+\mathrm{b}=22 \left(1\right)\\ -3\mathrm{a}+4\mathrm{b}=18 \left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66 \left(3\right)\\ -3\mathrm{a}+4\mathrm{b}=18 \left(4\right)\end{array}\right.$

Lấy (3) + (4) ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ 7\mathrm{b}=84\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ \mathrm{b}=84:7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3\mathrm{b}=66\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}+3.12=66\\ \mathrm{b}=12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}=66-36\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{a}=30\\ \mathrm{b}=12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=10\\ \mathrm{b}=12\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

+ Với a = 10 $\Rightarrow \left|\mathrm{x}-2\right|=10$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2=10\\ \mathrm{x}-2=-10\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=10+2\\ \mathrm{x}=-10+2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=12\\ \mathrm{x}=-8\end{array}\right.\right.\right.$

+ Với b = 12 $\Rightarrow \left|\mathrm{y}-1\right|=12$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}-1=12\\ \mathrm{y}-1=-12\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=12+1\\ \mathrm{y}=-12+1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13\\ \mathrm{y}=-11\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11).

Bài 4: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ 1 may trong 3 ngày, tổ thứ 2 may trong 5 ngày thì hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng, trong một ngày tổ thứ 1 may được nhiều hơn tổ thứ 2 là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?

Lời giải:

Gọi lần lượt số áo tổ thứ 1, thứ 2 may trong một ngày là x, y.

Đk: x, y $\in$ N*

Trong 3 ngày tổ thứ 1 may được là 3x (cái áo), trong 5 ngày tổ thứ 2 may được là 5y (cái áo) và cả hai tổ may được 1310 cái áo nên ta có phương trình: 3x + 5y = 1310 (1)

Mặt khác mỗi ngày tổ 1 may được nhều hơn tổ 2 10 chiếc áo nên ta có phương trình: x – y = 10 (2)

Theo bài ra ta có HPT: $\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=1310\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=10\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=1310\\ 3\mathrm{x}-3\mathrm{y}=30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ \left(3\mathrm{x}+5\mathrm{y}\right)-\left(3\mathrm{x}-3\mathrm{y}\right)=1310-30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ 8\mathrm{y}=1280\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=10\\ \mathrm{y}=160\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{y}+10\\ \mathrm{y}=160\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=170\\ \mathrm{y}=160\end{array}\left(\mathrm{thỏa} \mathrm{mãn}\right)\right.\right. \end{gathered}$$

Vậy tổ thứ 1 may được 170 chiếc áo trong một ngày, tổ thứ hai may được 160 chiếc áo trong một ngày

Bài 5: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc trong 4h thì xong. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc thì đội thứ nhất làm ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 6h. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình xong công việc ấy thì trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (h)

Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là y (h)

Điều kiện: (x > 0 ; y > 6 ; y > x)

Trong 1h đội 1 làm được $\frac{1}{\mathrm{x}}$(công việc)

Trong 1h đội 2 làm được $\frac{1}{\mathrm{y}}$(công việc)

Vì cả hai đội làm trong 4h thì xong công việc nên 1 h cả hai đội làm được $\frac{1}{4}$ công việc

Ta có phương trình: $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}$ (1)

Vì mỗi đội làm một mình thì đội 1 làm ít hơn đội 2 6h nên ta có phương trình :

x – y = -6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=-6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+6\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+6}=\frac{1}{4}\\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+6 \left(2\right)\end{array}\right. \left(1\right) \end{gathered}$$

Giải (1): $\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{x}+6}=\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} \iff \frac{\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff \frac{\mathrm{x}+6+\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff \frac{2\mathrm{x}+6}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)}=\frac{1}{4} \\ \iff 4\left(2\mathrm{x}+6\right)={\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x} \\ \iff 8\mathrm{x}+24={\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x} \\ \iff {\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-8\mathrm{x}-24=0 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-24=0 \\ \iff \left(\mathrm{x}-6\right)\left(\mathrm{x}+4\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-6=0\\ \mathrm{x}+4=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6 \left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{x}=-4 \left(\mathrm{ktm}\right)\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Với x = 6 thì y = 6 + 6 = 12

Vậy đội 1 làm một mình thì 6 giờ xong công việc

Đội 2 làm một mình thì 12 giờ xong công việc.

Bài 6: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 60m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ tăng 162m. Tìm diện tích khu vườn.

Lời giải:

Gọi chiều dài của khu vườn là x (m); chiều rộng của khu vườn là y (m)

Vì chu vi khu vườn là 60m nên ta có phương trình:

2.(x + y) = 60

$\iff$x + y = 60:2

$\iff$x + y = 30 (1)

Nếu tăng chiều dài lên 4 lần thì chiều dài mới là 4x (m); nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng mới là 3y (m).

Chu vi khu vườn mới là: 2(4x + 3y) = 8x + 6y (m)

Vì chu vi khu vườn mới hơn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình:

(8x + 6y) – 2(x + y) = 162

$\iff$8x + 6y – 2x – 2y = 162

$\iff$6x + 4y = 162 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=30\\ 6\mathrm{x}+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ 6\left(30-\mathrm{y}\right)+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ 180-6\mathrm{y}+4\mathrm{y}=162\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ -2\mathrm{y}=162-180\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ -2\mathrm{y}=-18\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=30-\mathrm{y}\\ \mathrm{y}=9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=21\\ \mathrm{y}=9\end{array}\left(\mathrm{tm}\right)\right.\right. \end{gathered}$$

Diện tích khu vườn ban đầu là:

S = 21.9 = 189${\mathrm{m}}^2$

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 7: Ôn tập chương 3

Câu 1: Cặp số (x; y) = (1; 3) là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong các hệ phương trình sau:

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ x+y=4\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=4\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=10\\ x-y=2\end{array}\right.$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai là hệ phương trình ở đáp án D nên loại D

+ Với hệ phương trình A:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ x+y=4\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-3=-2\\ 1+3-4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2=-2\\ 4=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

(luôn đúng) nên (1; 3) là nghiệm

của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=-2\\ x+y=4\end{array}\right.$

+ Với hệ phương trình B:

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=4\end{array}\right.$

Thay x = 1; y = 3 ta được

$\left\{\begin{array}{l}2.1-3=0\\ 1+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1=0\\ 1+3=4\end{array}\right.$

(vô lý) nên loại B.

+ Với hệ phương trình C:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+y=4\end{array}\right.$

Thay x = 1; y = 3 ta được

$\left\{\begin{array}{l}1+3=4\\ 2.1+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4=4\\ 5=4\end{array}\right.$

(vô lý) nên loại C.

Câu 2: Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi. Biết trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt. Số học sinh dự thi của trường A và trường B lần lượt là:

A. 160 và 140

B. 180 và 120

C. 200 và 100

D. Tất cả đều sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) (x $\in \mathbb{N}*$, x < 300)

Số học sinh của trường thứ 2 dự thi là y (học sinh) (y $\in \mathbb{N}*$, y < 30)

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia một cuộc thi nên ta có phương trình:

x + y = 300 (1)

Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt nên ta có:

$\frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=300\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{60}{100}x+\frac{60}{100}y=180\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{15}{100}=27\\ x+y=300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=180\\ y=120\end{array}\right.\left(tmdk\right) \end{gathered}$$

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; Số học sinh của trường thứ 2 dự thi là 120 học sinh.

Câu 3: Số nghiệm của hệ phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|+4\left|y\right|=18\\ 3\left|x\right|+\left|y\right|=10\end{array}\right.$là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đặt |x| = a$\ge$0; |y| = b$\ge$0

Khi đó, ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}a+4b=18\\ 3a+b=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=18-4b\\ 3\left(18-4b\right)+b=10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=18-4b\\ b=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=4\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=2\\ \left|y\right|=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\pm 2\\ y=\pm 4\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-4\end{array}\right.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Câu 4: Cặp số (x; y) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 2x+y=6\end{array}\right.$ là:

A. (−1; −2)

B. (2; 2)

C. (2; −1)

D. (3; 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 2x+y=6\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 8x+4y=24\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x-4y=-2\\ 11x=22\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{3x+2}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Câu 5: Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ 2 địa điểm cách nhau 150 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h. Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu A tăng vận tốc thêm 5 km/h và B giảm vận tốc 5 km/h thì vận tốc của A gấp đôi vận tốc của B.

A. 12 km/h và 15 km/h

B. 40 km/h và 45 km/h

C. 25 km/h và 35 km/h

D. 45 km/h và 30 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi vận tốc của A và B lần lượt là x, y (km/h; x, y > 0)

Hai người đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2h nên ta có phương trình:

2x + 2y = 150 (1)

Nếu A tăng vận tốc thêm 5 km/h và B giảm vận tốc 5 km/h thì vận tốc của A gấp đôi vận tốc của B nên ta có

x + 5 = 2 (y – 5) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ x+5=2\left(y-5\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ x-2y=-15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+2y=150\\ 2x-4y=-30\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=45\\ y=30\end{array}\right.\left(tmdk\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của A và B lần lượt là: 45 km/h và 30 km/h

Câu 6: Tìm m$\ne$ 2 để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{m}^{2}x+4my=1\\ x-2y=\frac{1}{2-m}\end{array}\right.$ có vô số nghiệm

A. m = 0; m = −2

B. m = −2

C. m = 0

D. Không có giá trị m

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

$$\begin{gathered} \iff \frac{m^2}{1}=\frac{4m}{-2}=\frac{1}{\frac{1}{2-m}} \\ \iff m^2=-2m=2-m \end{gathered}$$

Với m$\ne$2

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2=-2m\\ -2m=2-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.\\ m=-2\end{array}\right.\iff m=-2 \end{gathered}$$

Câu 7: Hai đội xe được điều đi chở đất. Nếu cả 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải tiếp tục làm 1 mình trong 7 ngày thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm 1 mình thì trong bao lâu xong việc.

A. 19 ngày

B. 21 ngày

C. 20 ngày

D. 28 ngày

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong việc là x ngày, thời gian đội thứ 2 làm một mình xong việc là y ngày (x, y > 12)

Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc);

đội thứ 2 làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì 2 đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc nên trong 1 ngày cả 2 đội làm được công việc nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}$ (1)

Nhưng 2 đội chỉ cùng làm trong 8 ngày thì đội 2 phải đi làm việc khác nên đội 1 phải làm một mình trong 7 ngày thì xong việc nên ta có phương trình:

$8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+7.\frac{1}{x}=1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ 8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{7}{x}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ 8.\frac{1}{12}+\frac{7}{x}=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{7}{x}=\frac{1}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=21\\ y=28\end{array}\right.\left(tmđk\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong việc là 21 ngày

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right.$có vô số nghiệm

A. m = 1

B. m = −1

C. m = $\pm 1$

D. m $\ne \pm 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+m\left(2m-mx\right)=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x+2m^2-m^{2}x=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=2m-mx\\ x\left(m^2-1\right)=2m^2-m-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xét m² = 1$\iff$m =$\pm$1

Nếu m = 1 ta được 0x = 0 (đúng với$\forall$x)

$\Rightarrow$Hệ phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = −1 ta được 0x = 2 (vô lý)

$\Rightarrow$hệ phương trình vô nghiệm

Câu 9: Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức 30% và tổ II bị giảm năng suất 22% so với tháng thứ nhất. Vì vậy 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm. Hỏi tháng thứ hai, tổ 2 sản xuất được bao nhiêu sản phẩm.

A. 400 sản phẩm

B. 450 sản phẩm

C. 390 sản phẩm

D. 500 sản phẩm

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ nhất là x (sản phẩm); số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm)

(x, y$\in \mathbb{N}*$ ; x, y < 1200)

Tháng thứ nhất, 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình:

x + y = 1200 (1)

Tháng thứ 2, tổ I vượt mức 30% nên tổ I sản xuất được (x + x. 30%) sản phẩm

và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên

tổ 2 sản xuất được (y – y.22%) sản phẩm.

Do đó, 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, nên ta có phương trình:

$$\begin{gathered} x+\frac{30}{100}x+y-\frac{22}{100}y=1300 \\ \iff \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300 \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=1200\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{78}{100}x+\frac{78}{100}y=936\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{52}{100}x=364\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ x+y=1200\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ y=500\end{array} \left(tmđk\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được

500.78 : 100 = 390 sản phẩm

Câu 10: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right.$ . Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:

A. 2x + y = 3

B. $\frac{x}{y}=3$

C. xy = 3

D. x² + y² = 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+my=1\\ mx-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m\left(1-my\right)-y=-m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1-my\\ m-m^{2}y-y=-m\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Do m^2+1\ge 1\Rightarrow y=\frac{2m}{m^2+1} \\ \Rightarrow x=1-my \\ =1-\frac{2m^2}{m^2+1}=\frac{1-m^2}{m^2+1} \end{gathered}$$

Xét: $x^2+y^2$

$$\begin{gathered} =\frac{4m^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}+\frac{{\left(1-m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{4m^2+1-2m^2+m^4}{{\left(1+m^2\right)}^2} \\ =\frac{{\left(1+m^2\right)}^2}{{\left(1+m^2\right)}^2}=1 \end{gathered}$$

Vậy x² + y² = 1 không phụ thuộc vào giá trị của m

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn