Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài giảng Toán 9 Bài 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

I. Lý thuyết

1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

2. Lưu ý về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn

- Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

- Về điều kiện thích hợp của ẩn

+ Nếu x biểu thị một chữ số thì $0\le \mathrm{x}\le 9$, $\mathrm{x}\in \mathrm{N}$.

+ Nếu x biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì x nguyên dương.

+ Nếu x biểu thị vận tốc của chuyển động thì x > 0.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng trục hơn chữ số hàng đơn vị hai đơn vị là 2, nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{\mathrm{ab}} \left(2\le \mathrm{a}\le 9; 0\le \mathrm{b}\le 9; \mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{N}\right)$

Ta có:

$\overline{\mathrm{ab}}=10\mathrm{a}+\mathrm{b}$

Vì chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị hai đơn vị nên ta có phương trình $\mathrm{a}-\mathrm{b}=2$.

Nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì ta được số mới là $\overline{\mathrm{a}0\mathrm{b}}$

Ta có:

$\overline{\mathrm{a}0\mathrm{b}}=100\mathrm{a}+\mathrm{b}$

Vì số mới lớn hơn số cũ 630 đơn vị nên ta có:

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{a}0\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{ab}}=\left(100\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)-\left(10\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)=630 \\ \iff 100\mathrm{a}+\mathrm{b}-10\mathrm{a}-\mathrm{b}=630 \\ \iff 90\mathrm{a}=630 \\ \iff \mathrm{a}=630:90 \\ \iff \mathrm{a}=7 \mathrm{mà} \mathrm{a}-\mathrm{b}=2 \\ \Rightarrow \mathrm{b}=5 \end{gathered}$$

Vậy số có hai chữ số cần tìm là 75.

Bài 2: Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Tp. Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát được 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về Tp. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km.

Lời giải:

Từ giả thuyết bài toán, ta thấy khi hai xe gặp nhau thì

Thời gian xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút, tức $\frac{9}{5}$giờ.

Thời gian xe tải đã đi là 1 giờ + $\frac{9}{5}$giờ = $\frac{14}{5}$giờ (vì xe tải khởi hành trước xe khách 1 giờ).

Gọi vận tốc xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách là y (km/h) (x, y > 0)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là 13 km nên ta có phương trình

y - x = 13 ⇔ y = 13 + x (1)

Quãng đường xe khách đi được đến khi gặp nhau là: $\frac{9}{5}$y (km)

Quãng đường xe tải đi được đến khi gặp nhau là: $\frac{14}{5}$x (km)

Theo giả thiết quãng đường từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ dài 189 km nên ta có phương trình

$\frac{14}{5}\mathrm{x}+\frac{9}{5}\mathrm{y}=189$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \frac{14}{5}\mathrm{x}+\frac{9}{5}\mathrm{y}=189\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \frac{14}{5}\mathrm{x}+\frac{9}{5}\left(13+\mathrm{x}\right)=189\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \frac{14}{5}\mathrm{x}+\frac{9}{5}\mathrm{y}+\frac{117}{5}=189\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \frac{23}{5}\mathrm{x}=189-\frac{117}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \frac{23}{5}\mathrm{x}=\frac{828}{5}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=13+\mathrm{x}\\ \mathrm{x}=36\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=36\\ \mathrm{y}=49\end{array}\left(\mathrm{thỏa} \mathrm{mãn}\right)\right. \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của xe tải là 36 km/h

Vận tốc của xe khách là 49 km/h

Trắc nghiệm Toán lớp 9 Bài 5: Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình

Câu 1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB.

A. 2 giờ

B. 1,5 giờ

C. 1 giờ

D. 3 giờ

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 0,5; đơn vị: giờ).

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}50.x+45.y=165\\ y-x=0,5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=1,5\\ y=2\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

Câu 2: Một hình chữ nhật có chu vi 300cm. Nếu tăng chiều rộng thêm 5cm và giảm chiều dài 5 cm thì diện tích tăng 275 cm². Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

A. 120 cm và 30 cm

B. 105 cm và 45 cm

C. 70 cm và 80 cm

D. 90 cm và 60 cm

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vương hình chữ nhật lần lượt là x, y

(150 > x > y > 0; cm)

Diện tích ban đầu của khu vương là x.y (cm²)

Vì hình chữ nhật có chu vi bằng 300 (cm)

nên ta có (x + y). 2 = 300

Nếu tăng chiều rộng thêm 5 cm và giảm chiều dài 5cm thì diện tích tăng 275cm²Nên ta có phương trình

(x − 5).(y + 5) = xy + 275

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=300\\ \left(x-5\right)\left(y+5\right)=xy+275\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ xy+5x-5y-25=xy+275\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ 5x-5y=300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ x-y=60\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=105\\ y=45\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật

ban đầu là 45 cm

Chiều dài của hình chữ nhật

ban đầu là 105 cm

Câu 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.

A. 40 km/h

B. 35 km/h

C. 50 km/h

D. 60 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là

x (km/h; x > 10), thời gian theo dự định là y (y > 3) (giờ)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ nên ta có phương trình (x + 10) (y – 3) = xy

Suy ra hệ phương trình :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x-10\right)\left(y+5\right)=xy\\ \left(x+10\right)\left(y-3\right)=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-3x+10y=30\\ 5x-10y=50\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=15\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc ban đầu là 40 km/h

Câu 4: Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. Hỏi nếu A làm một nửa công việc rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc trong bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày.

A. 9 ngày

B. 18 ngày

C. 10 ngày

D. 12 ngày

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 6, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lầm lượt làm được $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ (công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày nên ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$ (1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày nên ta có phương trình:

y – x = 9 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ y-x=9\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=18\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 18 ngày.

Suy ra sau khi A làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ, B hoàn thành công việc còn lại trong 9 ngày.

Câu 5: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.

A. 150 cuốn

B. 300 cuốn

C. 200 cuốn

D. 250 cuốn

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi số sách trên hai giá lần lượt là x, y

(0 < x, y < 450, cuốn)

Vì hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình: x + y = 450 (cuốn)

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất nên ta có ot

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ y+50=\frac{4}{5}\left(x-50\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ \frac{4}{5}x-y=90\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=150\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy số sách trên giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn.

Câu 6: Trên một cánh đồng cấy 50 ha lúa giống mới và 30 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 410 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 5 ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn 6 ha trồng lúa cũ là 0,5 tấn.

A. 5,5 tấn

B. 4 tấn

C. 4,5 tấn

D. 3 tấn

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 1 ha lần lượt là x; y (x, y > 0) đơn vị: tấn/ha

Vì đồng cấy 50 ha lúa giống mới và 30 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 410 tấn thóc nên ta có 50x + 30y = 410

Vì 5 ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn 6 ha trồng lúa cũ là 0,5 tấn nên ta có phương trình: 5x – 6y = 0,5

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 50x+30y=410\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}9y=40,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=4,5\\ x=5,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy năng suất lúa cũ trên 1 ha là 4,5 tấn.

Câu 7: Một cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác cũng trong 7 giờ, cano xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc nước chảy.

A. 4 km/h

B. 3 km/h

C. 2 km/h

D. 2,5 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 0), vận tốc dòng nước là y (km/h, 0 < y < x)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km nên ta có phương trình

$\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7$

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km nên ta có phương trình:

$\frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7$

Ta có hệ phương trình

Câu 8: Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 4 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm². Tính diện tích của tam giác ban đầu.

A. 700 dm²

B. 678 dm²

C. 627 dm²

D. 726 dm²

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a $\in \mathbb{N}*$, a > 3, dm)

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}$ ah (dm²)

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình: $h=\frac{3}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm².

Nên ta có phương trình

$\frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2}ah=12$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2ah}=12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{-3h}{2}+\frac{3a}{2}=\frac{33}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=44\\ h=33\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều cao của tam giác bằng 44 dm, cạnh đáy tam giác bằng 33 dm

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}\mathrm{.44.33}=726$(dm²)

Câu 9. Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 52 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 42 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 272 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 2 giờ. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường BC.

A. 2 giờ

B. 4 giờ

C. 1 giờ

D. 3 giờ

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 2; đơn vị: giờ).

Quãng đường AB là 52x (km),

quãng đường BC là 42 (km)

mà tổng quãng đường 272 km

nên ta có phương trình 52x + 42y = 272

Vì thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 2 giờ

nên ta có phương trình y – x = 2

Từ đó ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}52.x+42.y=272\\ y-x=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 52x+42\left(x+2\right)=272\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 94x=188\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 2 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 4 giờ.

Câu 10: Hai người đi xe máy xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 225 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng vận tốc người thứ nhất lớn hơn người thứ hai 5 km/h.

A. 40 km/h

B. 35 km/h

C. 45 km/h

D. 50 km/h

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km.h, x > 5, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 3x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 3y (km)

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ x-y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ 3x-3y=15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x=240\\ x-y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=35\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 40 km/h

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (Tiếp theo)

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0)

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn