Lý thuyết Các khái niệm về hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Các khái niệm về hàm số

A. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

• Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

Ví dụ 1.

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng bảng:

x	− 1	0	1	2
y	3	0	− 3	− 6

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng công thức: $y=\frac{1}{2}x$; y = x + 2; y = 5x.

• Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

• f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

Ví dụ 2. Ta có hàm số y = f(x) = 2x + 1.

Khi đó, f(2) = 2 . 2 + 1 = 5.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

Ví dụ 3. Ta có y = f(x) = 3.

Khi đó với giá trị nào của x thì y = 3.

Vậy y là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x.

Các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là O(0; 0); A(1; 2).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$.

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên $ℝ$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x – 5, xác định với $\forall x\in ℝ$.

Ta có: x₁ < x₂ $\iff$ x₁ – 5 < x₂ – 5.

Hay f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = x – 5 đồng biến trên $ℝ$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số a, biết đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3).

Lời giải:

Vì đồ thị hàm số y = 2x² – ax – 1 đi qua điểm M(2; 3) nên:

2 . 2² – a . 2 – 1 = 3

$\iff$ 8 – 2a – 1 = 3

$\iff$ 7 – 2a = 3

$\iff$ 2a = 4

$\iff$ a = 2.

Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số đi qua M(2; 3).

Bài 2: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x + 5. Hãy tính f(−1); $f\left(\frac{2}{3}\right)$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)$.

Lời giải:

Ta có: f(−1) = (−1)³ – 3. (−1) + 5 = −1 + 3 + 5 = 7;

$$\begin{gathered} f\left(\frac{2}{3}\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3-3\cdot \frac{2}{3}+5 \\ =\frac{8}{27}-2+5=\frac{89}{27}; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{-1}{2}\right)}^3-3\cdot \left(\frac{-1}{2}\right)+5 \\ =\frac{-1}{8}+\frac{3}{2}+5 \\ =\frac{-1}{8}+\frac{12}{8}+\frac{40}{8}=\frac{51}{8}. \end{gathered}$$

Vậy f(−1) = 7; $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{89}{27}$; $f\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{51}{8}$.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 4x² – 5x + 2. Các điểm A(0; 2), B(−1; 4), C(1; 1) có thuộc đồ thị hàm số không? Tại sao?

Lời giải:

Vì f(0) = 4 . 0 – 5 . 0 + 2 = 2 nên điểm A(0 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(−1) = 4 . 1 + 5 . 1 + 2 = 11 nên điểm B(−1 ; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vì f(1) = 4 . 1 – 5 . 1 + 2 nên điểm C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Vậy điểm A(0; 2), C(1; 1) thuộc đồ thị hàm số và điểm B(−1; 4) không thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái nhiệm của hàm số

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Với x₁, x₂$\in$D; x₁ < x₂, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

B. f(x₁) < f(x₂) thì hàm số nghịch biến trên D

C. f(x₁) > f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

D. f(x₁) = f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Khi đó:

- Hàm số đồng biến trên D

$\iff \forall$x₁; x₂ D; x₁ < x₂

$\Rightarrow$f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số nghịch biến trên D

$\iff \forall$x₁; x₂ D; x₁ < x₂

$\Rightarrow$f(x₁) > f(x₂).

Câu 2: Cho hàm số y = (3 + 2$\sqrt{2}$)x − $\sqrt{2}$− 1. Tìm x để y = 0.

A. x = 1

B. x = $\sqrt{2}$ + 1

C. x = $\sqrt{2}$

D. x = $\sqrt{2}$− 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 3: Cho hàm số f(x) $=-\frac{1}{4}$x có đồ thị (C) và các điểm M (0; 4); P (4; −1); Q (−4; 1); A (8; −2); O (0; 0). Có bao nhiêu điểm trong số các điểm trên thuộc đồ thị hàm số (C).

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 4: Hàm số y = 5x – 16 là hàm số?

A. Đồng biến

B. Hàm hằng

C. Nghịch biến

D. Nghịch biến với x > 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: D = $ℝ$

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Với x₁, x₂ D; x₁ > x₂, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

B. f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến trên D

C. f(x₁) > f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

D. f(x₁) = f(x₂) thì hàm số đồng biến trên D

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 6: Cho hàm số f(x)$=\frac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}+3}$. Tính f(a²) với a < 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 7: Cho hàm số f(x) = x³ + x. Tính f(2).

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thay x = 2 vào hàm số ta được:

f(2) = 2³ + 2 = 10

Đáp án cần chọn là: D

Câu 8: Cho hàm số y = $\left(\sqrt{3}+2\right)$x – 4 − 4$\sqrt{3}$. Tìm x để y = 3.

A. x =$\sqrt{3}$ + 3

B. x = $\sqrt{3}$

C. x = $\sqrt{3}$+ 2

D. x = $\sqrt{3}$− 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 9: Cho hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1. Tính f(3) – 2f(2).

A. 34

B. 17

C. 20

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thay x = 3 vào hàm số ta được:

f(3) = 3.3² + 2.3 + 1 = 34

Thay x = 2 vào hàm số ta được:

f(2) = 3.2² + 2.2 + 1 = 17

Suy ra f(3) – 2f(2) = 34 −2.17 = 0

Câu 10: Cho hai hàm số f(x) = −2x³ và h(x) = 10 – 3x. So sánh f(−2) và h(−1)

A. f(−2) < h(−1)

B. f(−2) $\le$ h(−1)

C. f(−2) = h(−1)

D. f(−2) > h(−1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Thay x = −2 vào hàm số f(x) = −2x³

ta được f(−2) = −2.(−2)³ = 16

Thay x = −1 vào hàm số h(x) = 10 – 3x

ta được h(−1) = 10 – 3 (−1) = 13

Nên f(−2) > h(−1)

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hàm số bậc nhất

Lý thuyết Đồ thị hàm số y = ax

Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Lý thuyết Hệ số góc của đường thẳng y = ax

Lý thuyết Ôn tập chương II