Lý thuyết Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 7: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

A. Lý thuyết

- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ.

Ví dụ. Rút gọn $4\sqrt{a}+12\sqrt{\frac{a}{9}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{3}$ với a > 0.

Lời giải:

Vì a > 0 nên |a| = a.

Ta có, $4\sqrt{a}+12\sqrt{\frac{a}{9}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+12\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{9}}-a\sqrt{\frac{4a}{a^2}}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+12\frac{\sqrt{a}}{3}-a\frac{2\sqrt{a}}{\left|a\right|}+\sqrt{3}$

$=4\sqrt{a}+4\sqrt{a}-a\frac{2\sqrt{a}}{a}+\sqrt{3}$

$=8\sqrt{a}-2\sqrt{a}+\sqrt{3}$

$=6\sqrt{a}+\sqrt{3}$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}+2\sqrt{6}$;

b) $\frac{1}{3}\sqrt{27}+2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}+3\sqrt{1\frac{1}{3}}$.

Lời giải:

a) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}+2\sqrt{6}$

$=2\sqrt{2}.\sqrt{2}-\sqrt{3}.\sqrt{2}+2\sqrt{6}$

$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$

$=4+\sqrt{6}$

b) $\frac{1}{3}\sqrt{27}+2\sqrt{75}-\frac{\sqrt{99}}{\sqrt{11}}+3\sqrt{1\frac{1}{3}}$

$=\frac{1}{3}.3\sqrt{3}+2.5\sqrt{3}-\sqrt{\frac{99}{11}}+3\sqrt{\frac{4}{3}}$

$=\sqrt{3}+10\sqrt{3}-\sqrt{9}+3.\frac{2}{\sqrt{3}}$

$=11\sqrt{3}-3+2\sqrt{3}$

$=13\sqrt{3}-3$.

Bài 2. Rút gọn biểu thức:

$$\begin{gathered} P=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\right) \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 4.

$$\begin{gathered} P=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}-x}\right) \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\left[\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right] \\ :\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\right) \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}=\left[\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]\\ :\left[\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right]\end{array}$

$$\begin{gathered} =\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \\ :\left[\frac{x-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}-\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right] \end{gathered}$$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}:\frac{x-4-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}:\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-4}$

$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-4}$.

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Câu 1: Giá trị của biểu thức

$\sqrt{17-12\sqrt{2}}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}$

A. 3 + 4$\sqrt{2}$

B. 4

C. 2

D. 4$\sqrt{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 2: Giá trị của biểu thức $2\sqrt{32}-\sqrt{27}-4\sqrt{8}+3\sqrt{75}$ là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 3: Rút gọn biểu thức $5\sqrt{a}+2\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}-\sqrt{25a}$ với a > 0 ta được:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 4: Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$. Giá trị của P khi x = 3 +$2\sqrt{2}$ là:

A. 4 + 3$\sqrt{2}$

B. 4 − 3$\sqrt{2}$

C. 3

D. 3$\sqrt{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 5: Giá trị biểu thức $\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ là:

A. 6

B. 5

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 6: Cho biểu thức $P=\frac{x+2\sqrt{x+2}}{\sqrt{x}}$ với x > 0. So sánh P với 4.

A. P > 4

B. P < 4

C. P = 4

D. P $\ge$ 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 7: Giá trị biểu thức $\left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ là:

A. 6

B. 4

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 8: Đẳng thức nào dưới đây là đúng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Câu 9: Cho biểu thức $P=\frac{2x}{\sqrt{x}+1}$. Giá trị của P khi x = 9 là:

A. $\frac{9}{2}$

B. $\frac{9}{4}$

C. 9

D. 18

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$$\begin{gathered} P=\frac{2.9}{\sqrt{9}+1}=\frac{18}{3+1} \\ =\frac{18}{4}=\frac{9}{2} \end{gathered}$$

Câu 10: Cho biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{x}+1}$. Giá trị của P khi $x=\frac{2}{2-\sqrt{3}}$là:

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Căn bậc ba

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Căn bậc hai

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A|

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương