Chứng minh rằng hàm số $\frac{x}{x-1}$ nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

Lời giải

Hàm số xác định trên (1; +∞).

Ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{{(x-1)}^2}<0$ với mọi x ∈ (1; +∞).

Vậy g(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).

*Phương pháp giải:

- Bước 1. Tìm tập xác định.

- Bước 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x_i ( i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

- Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

Xem thêm

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2025) và cách giải 

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới  + Bài Tập) – Toán 12