Cho biết số Un biết Un = căn 3 cosn - sinn. Dãy số Un bị chặn dưới và bị chặn trên lần lượt bởi các số m và M nào dưới đây

Đáp án đúng là A

Lời giải

${\displaystyle U_n=\sqrt{3}\cos n-\sin n=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos n-\frac{1}{2}\sin n)}$

${\displaystyle =2(\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\cos n- \cos \left(\frac{\pi }{3}\right).\sin n)}$

${\displaystyle =2\sin (\frac{\pi }{3}-n)}$

${\displaystyle -1\le \sin (\frac{\pi }{3}-n)\le 1}$

${\displaystyle \to -2\le 2\sin (\frac{\pi }{3}-n)\le 2}$

Dãy số ${\displaystyle \left(U_n\right)}$ bị chặn trên là ${\displaystyle 2}$ chặn dưới là ${\displaystyle -2}$

${\displaystyle \to A}$

*Phương pháp giải:

Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

*Lý thuyết:

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: $u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

$n\mapsto u\left(n\right).$

Dạng khai triển: u₁; u₂; u₃ ;... ; u_n ;...

Trong đó ta gọi: u₁ là số hạng đầu, u_n = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với $m\in {\mathbb{N}}^{*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u₁; u₂; u₃ ;... ; u_m , trong đó u₁ là số hạng đầu và u_m là số hạng cuối.

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n) được gọi là tăng nếu $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là giảm nếu $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho $u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho $u_n\ge m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Xem thêm

50 bài tập về Dãy số (có đáp án 2025) và cách giải 

Lý thuyết Dãy số (mới + Bài Tập) – Toán 11