Toán 11 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Giải Toán 11 trang 20 Tập 2

Mở đầu trang 20 Toán 11 Tập 2: Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức:

V(t) = 780 ∙ (0,905)^t.

Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Sau bài học, ta giải được bài toán trên như sau:

Theo yêu cầu bài ra, ta cần tìm t sao cho V(t) ≤ 300

⇔ 780 ∙ (0,905)^t ≤ 300

$\iff {\left(0,905\right)}^t\le \frac{5}{13}$

$\iff t\ge {\log }_{0,905}\frac{5}{13}\approx 9,6$.

Ta có 9,6 ≈ 10. Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

1. Phương trình mũ

HĐ1 trang 20 Toán 11 Tập 2: Nhận biết nghiệm phương trình mũ

Xét phương trình: $2^{x+1}=\frac{1}{4}$.

a) Khi viết $\frac{1}{4}$ thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?

b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=2^{-2}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành

2^{x + 1} = 2^{– 2}. (*)

b) Vì cơ số ở vế của (*) đều bằng nhau nên số mũ phải bằng nhau, tức là

x + 1 = – 2 ⇔ x = – 3.

Giải Toán 11 trang 21 Tập 2

Luyện tập 1 trang 21 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $2^{3x-1}=\frac{1}{2^{x+1}}$;

b) 2e^2x = 5.

Lời giải:

a) $2^{3x-1}=\frac{1}{2^{x+1}}$

Đưa vế phải về cơ số 2, ta có $\frac{1}{2^{x+1}}=2^{-\left(x+1\right)}=2^{-x-1}$.

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2^{3x – 1} = 2^{– x – 1} ⇔ 3x – 1 = – x – 1 ⇔ 4x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

b) 2e^2x = 5 ⇔ e^2x = $\frac{5}{2}$.

Lấy lôgarit tự nhiên hai vế của phương trình trên ta được 2x = ln$\frac{5}{2}$ hay x = $\frac{1}{2}$ln$\frac{5}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = $\frac{1}{2}$ln$\frac{5}{2}$.

2. Phương trình Lôgarit

HĐ2 trang 21 Toán 11 Tập 2: Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit

Xét phương trình: 2log₂x = – 3.

a) Từ phương trình trên, hãy tính log₂x.

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Lời giải:

a) Ta có 2log₂x = – 3 $\iff {\log }_{2}x=-\frac{3}{2}$.

b) Từ định nghĩa lôgarit ta có:

${\log }_{2}x=-\frac{3}{2}\iff x=2^{-\frac{3}{2}}\iff x={\left(\sqrt{2}\right)}^{-3}\iff x=\sqrt{2^{-3}}$$\iff x=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Luyện tập 2 trang 21 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 4 – log(3 – x) = 3;

b) log₂(x + 2) + log₂(x – 1) = 1.

Lời giải:

a) 4 – log(3 – x) = 3

Điều kiện: 3 – x > 0 ⇔ x < 3.

Phương trình đã cho trở thành log(3 – x) = 1 ⇔ 3 – x = 10¹ ⇔ x = – 7 (t/m).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = – 7.

b) log₂(x + 2) + log₂(x – 1) = 1

Áp dụng tính chất của lôgarit, phương trình đã cho trở thành

log₂ [(x + 2)(x – 1)] = 1

⇔ (x + 2)(x – 1) = 2¹

⇔ x² + x – 2 = 2

⇔ x² + x – 4 = 0

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$.

3. Bất phương trình mũ

Giải Toán 11 trang 22 Tập 2

HĐ3 trang 22 Toán 11 Tập 2: Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ

Cho đồ thị của các hàm số y = 2^x và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = 2^x nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 4.

Lời giải:

Quan sát đồ thị Hình 6.7, ta thấy khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = 2^x nằm phía trên đường thẳng y = 4 là (2; + ∞).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2^x > 4 là (2; + ∞).

Giải Toán 11 trang 23 Tập 2

Luyện tập 3 trang 23 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 0,1^{2x – 1} ≤ 0,1^{2 – x};

b) 3 ∙ 2^{x + 1} ≤ 1.

Lời giải:

a) Ta có:

0,1^{2x – 1} ≤ 0,1^{2 – x}

⇔ 2x – 1 ≥ 2 – x (do 0 < 0,1 < 1)

⇔ 3x ≥ 3

⇔ x ≥ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [1; + ∞).

b) 3 ∙ 2^{x + 1} ≤ 1

$\iff 2^{x+1}\le \frac{1}{3}$

$\iff x+1\le {\log }_2\frac{1}{3}$ (do 2 > 1)

⇔ x ≤ log₂3^{– 1} – 1

⇔ x ≤ – log₂3 – log₂2

⇔ x ≤ – log₂(3 ∙ 2)

⇔ x ≤ – log₂6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là (– ∞; – log₂6].

4. Bất phương trình Lôgarit

HĐ4 trang 23 Toán 11 Tập 2: Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit

Cho đồ thị của các hàm số y = log₂x và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = log₂x nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình log₂ x > 2.

Lời giải:

Quan sát đồ thị ở Hình 6.8, ta thấy khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = log₂x nằm phía trên đường thẳng y = 2 là (4; + ∞).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình log₂ x > 2 là (4; + ∞).

Giải Toán 11 trang 24 Tập 2

Luyện tập 4 trang 24 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$;

b) 2log(2x + 1) > 3.

Lời giải:

a) ${\log }_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

Bất phương trình đã cho tương đương với ${\log }_{7^{-1}}\left(x+1\right)>{\log }_7\left(2-x\right)$

⇔ – log_7­(x + 1) > log₇(2 – x)

⇔ log₇(x + 1)^{– 1} > log₇(2 – x)

⇔ (x + 1)^{– 1} > 2 – x (do 7 > 1).

$\iff \frac{1}{x+1}-2+x>0$

$\iff \frac{1+\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x+1}>0$

$\iff \frac{x^2-x-1}{x+1}>0$ (*)

Mà – 1 < x < 2 nên x + 1 > 0, do đó (*) ⇔ x² – x – 1 > 0

Kết hợp với điều kiện ta được

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-1;\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};2\right)$.

b) 2log(2x + 1) > 3

Điều kiện: 2x + 1 > 0 ⇔ x > $\frac{-1}{2}$.

Bất phương trình đã cho tương đương với $\log \left(2x+1\right)>\frac{3}{2}$

$\iff 2x+1>{10}^{\frac{3}{2}}\iff 2x>\sqrt{{10}^3}-1\iff x>\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$.

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(\frac{10\sqrt{10}-1}{2};+\infty \right)$.

Vận dụng trang 24 Toán 11 Tập 2: Áp suất khí quyển p (tính bằng kilôpascan, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

$\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$.

(Theo britannica.com)

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.

b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Lời giải:

a) Ở độ cao 4 km, tức h = 4, thay vào công thức đã cho ta được

$\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{4}{7}\iff \frac{p}{100}=e^{\frac{-4}{7}}\iff p=100e^{\frac{-4}{7}}\approx 56,47$.

Vậy áp suất khí quyển ở độ cao 4 km khoảng 56,47 kPa.

b) Ở độ cao trên 10 km, tức h > 10, khi đó ta có

$\ln \left(\frac{p}{100}\right)=-\frac{h}{7}$$<-\frac{10}{7}\iff 0<\frac{p}{100}<e^{\frac{-10}{7}}\iff 0<p<100e^{\frac{-10}{7}}\approx 23,97$.

Vậy ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển nhỏ hơn 23,97 kPa.

Bài tập

Bài 6.20 trang 24 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 3^{x – 1} = 27;

b) ${100}^{2x^2-3}=0,1^{2x^2-18}$;

c) $\sqrt{3}{e}^{3x}=1$;

d) 5^x = 3^{2x – 1}.

Lời giải:

a) 3^{x – 1} = 27

⇔ 3^{x – 1} = 3³

⇔ x – 1 = 3

⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4.

b) ${100}^{2x^2-3}=0,1^{2x^2-18}$

$\iff {\left({10}^2\right)}^{2x^2-3}={\left({10}^{-1}\right)}^{2x^2-18}$

$\iff {10}^{4x^2-6}={10}^{-2x^2+18}$

⇔ 4x² – 6 = – 2x² + 18

⇔ 6x² = 24

⇔ x² = 4

⇔ x = ± 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {– 2; 2}.

c) $\sqrt{3}{e}^{3x}=1$

$\iff e^{3x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff 3x=\ln \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\iff x=\frac{1}{3}\ln 3^{-\frac{1}{2}}$

$\iff x=-\frac{1}{6}\ln 3$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=-\frac{1}{6}\ln 3$.

d) 5^x = 3^{2x – 1}

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta được

log₃5^x = log₃3^{2x – 1}

⇔ x log₃5 = 2x – 1

⇔ (2 – log₃5)x = 1

⇔ x = $\frac{1}{2-{\log }_{3}5}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = $\frac{1}{2-{\log }_{3}5}$.

Bài 6.21 trang 24 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) log(x + 1) = 2;

b) 2log₄x + log₂(x – 3) = 2;

c) lnx + ln(x – 1) = ln4x;

d) log₃(x² – 3x + 2) = log₃(2x – 4).

Lời giải:

a) log(x + 1) = 2

Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > – 1.

Phương trình đã cho tương đương với x + 1 = 10² ⇔ x = 100 – 1 ⇔ x = 99 (t/m).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 99.

b) 2log₄x + log₂(x – 3) = 2

Ta có 2log₄x + log₂(x – 3) = 2

$\iff 2{\log }_{2^2}x+{\log }_2\left(x-3\right)=2$

$\iff 2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{2}x+{\log }_2\left(x-3\right)=2$

⇔ log₂x + log₂(x – 3) = 2

⇔ log₂x(x – 3) = 2

⇔ x(x – 3) = 2²

⇔ x² – 3x – 4 = 0

⇔ x = – 1 hoặc x = 4.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 4.

c) lnx + ln(x – 1) = ln4x

Ta có: lnx + ln(x – 1) = ln4x

⇔ lnx(x – 1) = ln4x

⇔ x(x – 1) = 4x

⇔ x² – 5x = 0

⇔ x(x – 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 5.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.

d) log₃(x² – 3x + 2) = log₃(2x – 4)

Phương trình đã cho tương đương với

x² – 3x + 2 = 2x – 4

⇔ x² – 5x + 6 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = 3.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3.

Bài 6.22 trang 24 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:

a) 0,1^{2 – x} > 0,1^{4 + 2x};

b) 2 . 5^{2x + 1} ≤ 3;

c) log₃(x + 7) ≥ – 1;

d) log_0,5(x + 7) ≥ log_0,5(2x – 1).

Lời giải:

a) 0,1^{2 – x} > 0,1^{4 + 2x}

⇔ 2 – x < 4 + 2x (do 0 < 0,1 < 1)

⇔ 3x > – 2

⇔ x > $-\frac{2}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\frac{2}{3};+\infty \right)$.

b) 2 . 5^{2x + 1} ≤ 3

$\iff 5^{2x+1}\le \frac{3}{2}$

$\iff 2x+1\le {\log }_5\frac{3}{2}$

$\iff x\le \frac{1}{2}\left({\log }_5\frac{3}{2}-1\right)$

$\iff x\le \frac{1}{2}\left({\log }_5\frac{3}{2}-{\log }_{5}5\right)$

$\iff x\le \frac{1}{2}{\log }_5\frac{3}{10}$

$\iff x\le {\log }_5{\left(\frac{3}{10}\right)}^{\frac{1}{2}}$

$\iff x\le {\log }_5\frac{\sqrt{30}}{10}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\infty ;{\log }_5\frac{\sqrt{30}}{10}\right)$.

c) log₃(x + 7) ≥ – 1

Điều kiện: x + 7 > 0 ⇔ x > – 7.

Ta có: log₃(x + 7) ≥ – 1

⇔ x + 7 ≥ 3^{– 1}

⇔ x ≥ $\frac{1}{3}-7$

$\iff x\ge -\frac{20}{3}$.

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\frac{20}{3};+\infty \right)$.

d) log_0,5(x + 7) ≥ log_0,5(2x – 1)

Ta có: log_0,5(x + 7) ≥ log_0,5(2x – 1)

⇔ x + 7 ≤ 2x – 1 (do 0 < 0,5 < 1)

⇔ x ≥ 8.

Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [8; + ∞).

Bài 6.23 trang 24 Toán 11 Tập 2: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là:

A = 500 ∙ (1 + 0,075)ⁿ (triệu đồng).

Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Lời giải:

Số tiền bác Minh nhận được sau n năm gửi tiết kiệm là

A = 500 ∙ (1 + 0,075)ⁿ = 500 ∙ 1,075ⁿ (triệu đồng).

Để có được 800 triệu đồng thì A = 800

⇔ 500 ∙ 1,075ⁿ = 800 ⇔ 1,075ⁿ = 1,6 ⇔ n = log_1,0751,6 ≈ 6,5.

Vậy sau khoảng 7 năm gửi tiết kiệm thì bác An thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Bài 6.24 trang 24 Toán 11 Tập 2: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn N(t) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:

N(t) = 500e^0,4t.

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con khi N(t) > 80 000

⇔ 500e^0,4t > 80 000 ⇔ e^0,4t > 160 ⇔ 0,4t > ln160 ⇔ t > $\frac{5}{2}\ln 160$ ≈ 12,69.

Vậy sau khoảng 12,69 giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con.

Bài 6.25 trang 24 Toán 11 Tập 2: Giả sử nhiệt độ T (℃)của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức: T = 25 + 70e^{– 0,5t}, trong đó thời gian t được tính bằng phút.

a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 ℃.

Lời giải:

a) Nhiệt độ ban đầu T₀ của vật ứng với nhiệt độ tại thời điểm t = 0, từ đó ta được

T₀ = 25 + 70e^{– 0,5 ∙ 0} = 95 (℃).

Vậy nhiệt độ ban đầu của vật là 95 ℃.

b) Nhiệt độ của vật còn lại 30 ℃, tức T = 30, khi đó t thỏa mãn phương trình

25 + 70e^{– 0,5t} = 30 $\iff e^{-0,5t}=\frac{1}{14}$$\iff -0,5t=\ln \frac{1}{14}\iff t=-2\ln \frac{1}{14}\approx 5,28$.

Vậy sau khoảng 5,28 phút nhiệt độ của vật còn lại 30 ℃.

Bài 6.26 trang 24 Toán 11 Tập 2: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Lời giải:

Ta có: pH = – log[H⁺] = 8. Suy ra [H⁺] = 10^{– 8} (mol/lít).

Vậy nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là 8 là 10^{– 8} mol/lít.

Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x=b$(với $0<a\ne 1$).

- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

- Nếu b $\le$ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $0<a\ne 1$ thì $a^u=a^v\iff u=v$.

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x=b\left(0<a\ne 1\right)$.

Phương trình lôgarit cơ bản ${\log }_{a}x=b$ có nghiệm duy nhất $x=a^b$.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu $u,v>0$ và $0<a\ne 1$ thì ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v$.

3. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Xét bất phương trình dạng $a^x>b$:

- Nếu $b\le 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với $a^x>a^{{\log }_{a}b}$.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x>{\log }_{a}b$.

Với $0<a<1$, nghiệm của bất phương trình là $x<{\log }_{a}b$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì $a^u=a^v\iff u>v$.

Nếu 0 < a < 1 thì $a^u>a^v\iff u<v$.

4. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng ${\log }_{a}x>b$(hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với $a>0,a\ne 1$.

Xét bất phương trình dạng ${\log }_{a}x>b$:

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là $x>a^b$.

- Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là $0<x<a^b$.

Chú ý:

a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.

b) Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v\iff u>v>0$.

Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v\iff 0<u<v$.

Sơ đồ tư duy Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lực căng mặt ngoài của nước

Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 19: Lôgarit

Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài tập cuối chương 6 trang 25