Toán 11 Bài 27 (Kết nối tri thức): Thể tích

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 27: Thể tích sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 27.

1 1,507 17/09/2024


Giải Toán 11 Bài 27: Thể tích

Giải Toán 11 trang 61 Tập 2

HĐ1 trang 61 Toán 11 Tập 2: Khi mua máy điều hòa, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hòa 200 BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng 4m, dài 5m và cao 3m. Hỏi bác An cần mua loại điều hòa có công suất bao nhiêu BTU?

Lời giải:

Thể tích của căn phòng là: V = 4 . 5 . 3 = 60 (m3).

Vì mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hòa 200 BTU nên căn phòng cần điều hòa có công suất là: 60 . 200 = 12 000 (BTU).

Vậy bác An cần mua loại điều hòa có công suất là 12 000 BTU.

Giải Toán 11 trang 62 Tập 2

Luyện tập 1 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 62 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có BD = BC2+CD2=a2+a2=a2 .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD, suy ra BO = BD2=a22 .

Xét tam giác SOB vuông tại O, có SO = SB2OB2=b2a22 .

Ta có VS.ABCD=13SABCDSO=13a2b2a22=13a22b2a22

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' có đường cao HH' = h, hai mặt đáy ABC, A'B'C' có cạnh tương ứng bằng 2a, a.

a)Tính thể tích khối chóp cụt.

b) Gọi B1, C1 tương ứng là trung điểm AB, AC. Chứng minh rằng AB1C1.A'B'C' là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ AB1C1.A'B'C'.

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

a) Ta có SA'B'C'=a234 ; SABC=2a234=a23 .

Khi đó VABC.A'B'C'=13SABC+SA'B'C'+SABCSA'B'C'HH'

=13a23+a234+a23a234h

=13a23+a234+a232h.

b) Vì ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A'B'C') mà (AB1C1) (ABC) nên (AB1C1) // (A'B'C').

Xét tam giác ABC có B1, C1 lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B1C1 là đường trung bình của tam giác ABC do đó B1C1 // BC và B1C1 = BC2=2a2=a.

Lại có B'C' // BC nên B1C1 // B'C' và B'C' = B1C1 = a nên B1C1C'B' là hình bình hành.

Vì B1, C1 lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AB1 = AC1 = a.

Vì A'B' // AB1 và A'B' = AB1 = a nên A'B'B1A là hình bình hành.

Vì A'C' // AC1 và A'C' = AC1 = a nên A'C'C1A là hình bình hành.

Do đó AB1C1.A'B'C' là hình lăng trụ.

Vì hình lăng trụ AB1C1.A'B'C' có cùng chiều cao với khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' nên VAB1C1.A'B'C'=SA'B'C'.HH'=a234h .

Giải Toán 11 trang 63 Tập 2

Vận dụng trang 63 Toán 11 Tập 2: Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 30 cm, 60 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.

Vận dụng trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Vận dụng trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'.

Ta có S1 = SABCD = 602 = 3 600(cm2), S2 = SA'B'C'D' = 302 = 900 (cm2).

Kẻ D'H BD tại H.

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì OO' (ABCD) nên OO' OH, OO' (A'B'C'D') nên OO' ^ B'D'.

Do đó OHD'O' là hình chữ nhật, suy ra O'D' = OH, OO' = HD'.

Xét tam giác B'C'D' vuông tại C', có

B'D' = B'C'2+C'D'2=302+302=302 (cm).

Vì O' là trung điểm của B'D' nên D'O' = D'B'2 = 152 (cm).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có

BD = BC2+CD2=602+602=602 (cm).

Mà O là trung điểm của BD nên DO = DB2= 302 (cm).

Có HD = DO – OH = 302-152 = 152 (cm).

Xét tam giác DHD' vuông tại H, có

D'H = 2HD2=5021522=582 (cm).

Do đó OO' = 582 (cm).

VABCD.A'B'C'D=13S1+S2+S1S2

=133600+900+3600900582 = 1050082 (cm3).

Bài tập

Bài 7.28 trang 63 Toán 11 Tập 2:Cho khối chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp đó. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a.

Lời giải:

Bài 7.28 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Vì S.ABC là khối chóp đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Có SG (ABC).

Giả sử AG BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên AD = a32, SABC=a234 .

Vì AG = 23AD = a33.

Xét tam giác SGA vuông tại G, có SG = SA2AG2=b2a23=3b2a23 .

Ta có VS.ABC=13SABCSG=13a2343b2a23=a23b2a212 .

Khi đó thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng a là: a23a2a212=a3212 .

Bài 7.29 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AA' = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 2 cm, ABC^=150° . Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Bài 7.29 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì ABC.A'B'C' là khối lăng trụ đứng nên A'A (ABC).

Có SABC = 12.AB.AC.sinABC^ = 12.6.2.sin150o = 3 (cm2).

VABC.A'B'C'=SABC.AA' = 3 . 5 = 15 (cm3).

Bài 7.30 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp đó trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng 60°.

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng 45°.

Lời giải:

a)

Bài 7.30 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do S.ABCD là khối chóp đều nên SO (ABCD). Khi đó OC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Khi đó góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OC và SC, mà (OC, SC) = SCO^ = 60o.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = AB2+BC2=62+62= 62 (cm).

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra OC = AC2= 32 (cm).

Xét tam giác SOC vuông tại O, có SO = OC . tan60° = 32.3 = 36(cm).

Khi đó VS.ABCD=13SABCDSO = 13.6.6.36 = 366 (cm3).

b)

Bài 7.30 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Kẻ OE CD tại E.

Vì SO (ABCD) nên SO CD mà OE CD nên CD (SOE), suy ra CD ^ SE.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OE và SE, mà (OE, SE) = SEO^ = 45o.

Xét tam giác SOE vuông tại O, có nên tam giác SOE vuông cân tại O, suy ra SO = OE.

Xét tam giác BCD, có OE // BC (vì cùng vuông góc với CD), mà O là trung điểm của BD nên E là trung điểm của CD, do đó OE là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra OE = BC2=62 = 3(cm). Do đó SO = 3 cm.

Vậy VS.ABCD=13SABCDSO=13663=36 (cm3).

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC), khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF CB tại D, suy ra D là trung điểm của BC, AD BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên AD = a32 và SABC = a234 .

Có AF = 23AD = 23.a32=a33.

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có

A'F = AA'2AF2=b2a23=3b2a23.

Khi đó VABC.A'B'C'=SABCA'F=a2343b2a23=a23b2a24 .

Bài 7.32 trang 63 Toán 11 Tập 2: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Bài 7.32 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 7.32 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Có AB // A'B' nên AB // (A'B'C'D').

AD // A'D' nên AD // (A'B'C'D'). Do đó (ABCD) // (A'B'C'D').

Vì bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc và hàn lại sẽ tạo thành 4 mặt bên là các hình thang cân. Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Dựa vào hình 7.99, ta có A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = 8 – 2 = 6 (dm).

Kẻ AH A'B' tại H, Kẻ BK A'B' tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật, suy ra AB = HK = 3 dm,

AH = BK = (8 – 3) : 2 = 2,5 dm.

Xét AHA' và BKB' có AA' = BB', AHA'^=BKB'^=90° , AH = BK.

Do đó AHA' = BKB', suy ra A'H = B'K = (A'B' – HK): 2 = (6 – 3) : 2 = 1,5 dm.

Xét tam giác AHA' vuông tại H, có AA' = AH2+A'H2=2,52+1,52=172 (dm).

Vậy cạnh bên của thùng là 172 dm.

c) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì ACC'A' là hình thang cân nên đường cao của hình chóp cụt cũng chính là đường cao của hình thang cân.

Kẻ CE A'C' tại E.

Vì OCEO' là hình chữ nhật nên OC = O'E.

Xét tam giác ABC vuông tại B có

AC = AB2+BC2=32+32= 32 (dm)

Mà O là trung điểm của AC nên OC = AC2=322 (dm) .

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B' có

A'C' = A'B'2+B'C'2=62+62 = 62 (dm)

Mà O' là trung điểm của A'C' nên O'C' = A'C'2= 32 (dm).

Có C'E = O'C' – O'E = 32 - 322= 322 (dm).

Xét tam giác CC'E vuông tại E, có

CE = CC'2C'E2==172184= 2 (dm).

Do đó OO' = 2 dm

Ta có S1 = SABCD = 3 . 3 = 9 (dm2); S2 = SA'B'C'D' = 6 . 6 = 36 (dm2).

Khi đó VABCD.A'B'C'D'=13S1+S2+S1S2OO'

=139+36+9362=42 (dm3).

Ta có 42 dm3 = 42 lít.

Vậy thùng có thể chứa được nhiều nhất là 42 lít nước.

Lý thuyết Thể tích

Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

- Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và đường cao h là V=13.h.S.

- Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S, diện tích đáy bé S’ và chiều cao h là V=13.h.(S+S+S.S).

- Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V=h.S.

Lý thuyết Thể tích (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

Nhận xét:

- Thể tích khối tứ diện bằng một phần ba tích của chiều cao từ một đỉnh và diện tích mặt đối diện với đỉnh đó.

- Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp tương ứng với mặt đó.

Sơ đồ tư duy Thể tích

Lý thuyết Thể tích (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 2)

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 26: Khoảng cách

Bài tập cuối chương 7 trang 64

Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Bài 29: Công thức cộng xác suất

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

1 1,507 17/09/2024


Xem thêm các chương trình khác: