Giải Toán 11 trang 62 Tập 2 Kết nối tri thức

Với giải bài tập Toán 11 trang 62 Tập 2 trong Bài 27: Thể tích sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 62 Tập 2.

1 171 03/12/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 11 trang 62 Tập 2

Luyện tập 1 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

Luyện tập 1 trang 62 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD).

Xét tam giác BCD vuông tại C, có BD = $\sqrt{B C^{2} + C D^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của BD, suy ra BO = $\frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOB vuông tại O, có SO = $\sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{2}}$ .

Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{b^{2} - \frac{a^{2}}{2}}$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{\frac{2 b^{2} - a^{2}}{2}}$

Luyện tập 2 trang 62 Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' có đường cao HH' = h, hai mặt đáy ABC, A'B'C' có cạnh tương ứng bằng 2a, a.

a)Tính thể tích khối chóp cụt.

b) Gọi B₁, C₁ tương ứng là trung điểm AB, AC. Chứng minh rằng AB₁C₁.A'B'C' là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ AB₁C₁.A'B'C'.

Lời giải:

a) Ta có $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ ; $S_{A B C} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3}$ .

Khi đó $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} \cdot (S_{A B C} + S_{A^{'} B^{'} C^{'}} + \sqrt{S_{A B C} \cdot S_{A^{'} B^{'} C^{'}}}) \cdot H H^{'}$

$= \frac{1}{3} \cdot (a^{2} \sqrt{3} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \sqrt{a^{2} \sqrt{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}) \cdot h$

$= \frac{1}{3} \cdot (a^{2} \sqrt{3} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}) \cdot h$ .

b) Vì ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A'B'C') mà (AB₁C₁) $\subset$ (ABC) nên (AB₁C₁) // (A'B'C').

Xét tam giác ABC có B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên B₁C₁ là đường trung bình của tam giác ABC do đó B₁C₁ // BC và B₁C₁ = $\frac{B C}{2} = \frac{2 a}{2} = a$ .

Lại có B'C' // BC nên B₁C₁ // B'C' và B'C' = B₁C₁ = a nên B₁C₁C'B' là hình bình hành.

Vì B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AB₁ = AC₁ = a.

Vì A'B' // AB₁ và A'B' = AB₁ = a nên A'B'B₁A là hình bình hành.

Vì A'C' // AC₁ và A'C' = AC₁ = a nên A'C'C₁A là hình bình hành.

Do đó AB₁C₁.A'B'C' là hình lăng trụ.

Vì hình lăng trụ AB₁C₁.A'B'C' có cùng chiều cao với khối chóp cụt đều ABC.A'B'C' nên $V_{A B_{1} C_{1} . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} . H H^{'} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h$ .