Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 27: Thể tích

Bài 7.31 trang 63 Toán 11 Tập 2: Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Lời giải:

Vì hình chóp A'.ABC có A'A = A'B = A'C, ABC là tam giác đều nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều.

Gọi F là hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC), khi đó F là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó A'F $\perp$ (ABC) hay A'F là đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

Giả sử AF $\cap$ CB tại D, suy ra D là trung điểm của BC, AD $\perp$ BC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao AD nên AD = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và S_{ABC = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$} .

Có AF = $\frac{2}{3}$AD = $\frac{2}{3}$.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$=$\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác A'FA vuông tại F, có

A'F = $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2-A{F}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}$.

Khi đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot A^{\text{'}}F$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3}}$$=\frac{a^2\sqrt{3b^2-a^2}}{4}$ .