$\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} : x^{\frac{5}{8}}$

$= \sqrt{x \cdot {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} : x^{\frac{5}{8}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} : x^{\frac{5}{8}}$

$= {(x^{\frac{7}{4}})}^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$ .

Bài 6.29 trang 25 Toán 11 Tập 2: Cho hai số thực dương a, b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. log_a(a³b²) = 3 + log_ab.

B. log_a(a³b²) = 3 + 2log_ab.

C. log_a(a³b²) = $\frac{3}{2}$ log_ab.

D. log_a(a³b²) = $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \log_{a} b$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có log_a(a³b²) = log_aa³ + log_ab² = 3 + 2log_ab.

Bài 6.30 trang 25 Toán 11 Tập 2: Cho bốn số thực dương a, b, x, y với a, b ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. log_a(xy) = log_ax + log_ay.

B. $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ .

C. $\log_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_{a} x}$ .

D. log_ab ∙ log_bx = log_ax.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất của lôgarit, ta thấy các công thức ở các đáp án A, B, D đúng.

Với đáp án C, ta có $\log_{a} \frac{1}{x} = \log_{a} x^{- 1} = - \log_{a} x$ .

Bài 6.31 trang 25 Toán 11 Tập 2: Đặt log₂5 = a, log₃5 = b. Khi đó, log₆5 tính theo a và b bằng

A. $\frac{a b}{a + b}$ .

B. $\frac{1}{a + b}$ .

C. a² + b².

D. a + b.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có log₆5 = $\frac{1}{\log_{5} 6} = \frac{1}{\log_{5} (2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_{5} 2 + \log_{5} 3}$

$= \frac{1}{\frac{1}{\log_{2} 5} + \frac{1}{\log_{3} 5}} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{b + a}{a b}} = \frac{a b}{a + b}$ .

Bài 6.32 trang 25 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = 2^x. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Tập xác định của hàm số là ℝ.

B. Tập giá trị của hàm số là (0; + ∞).

C. Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.

D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có hàm số y = 2^x:

+ Có tập xác định là ℝ.

+ Có tập giá trị của hàm số là (0; + ∞).

+ Đồng biến trên ℝ (do 2 > 1).

+ Đồ thị của hàm số luôn nằm phía trên trục Ox.

Do vậy đáp án C sai.

Bài 6.33 trang 25 Toán 11 Tập 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

A. y = log_0,5x.

B. y = e^{– x}.

C. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

D. y = ln x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

+ Hàm số y = log_0,5x có tập xác định là (0; + ∞) và nghịch biến trên (0; + ∞) (do 0 < 0,5 < 1).

+ Hàm số y = e^{– x} = ${(\frac{1}{e})}^{x}$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0 < \frac{1}{e} < 1$ .

+ Hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ có tập xác định là ℝ và nghịch biến trên ℝ do $0 < \frac{1}{3} < 1$ .

+ Hàm số y = ln x có tập xác định là (0; + ∞) và đồng biến trên (0; + ∞) do e > 1.

Bài 6.34 trang 25 Toán 11 Tập 2: Cho đồ thị ba hàm số y = log_ax, y = log_bx và y = log_cx như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Quan sát đồ thị ta thấy:

+ Hàm số y = log_ax và y = log_bx đồng biến trên (0; + ∞) nên a, b > 1.

+ Hàm số y = log_cx nghịch biến trên (0; + ∞) nên c < 1.

+ Với x > 1, ta có log_ax > log_bx $\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{a} x} < \frac{1}{\log_{b} x}$ ⇔ log_xa < log_xb ⇔ a < b.

Vậy c < a < b hay b > a > c.

Giải Toán 11 trang 26 Tập 2

Bài 6.35 trang 26 Toán 11 Tập 2: Cho 0 < a ≠ 1. Tính giá trị của biểu thức $B = \log_{a} (\frac{a^{2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[4]{a}}) + a^{2 \log_{a} \frac{\sqrt{105}}{30}}$ .

Lời giải:

Ta có: $B = \log_{a} (\frac{a^{2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[4]{a}}) + a^{2 \log_{a} \frac{\sqrt{105}}{30}}$

$= \log_{a} (\frac{a^{2} \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{1}{4}}}) + {(a^{\log_{a} \frac{\sqrt{105}}{30}})}^{2}$

$= \log_{a} a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4}} + {(\frac{\sqrt{105}}{30})}^{2}$

$= \log_{a} a^{\frac{173}{60}} + \frac{{(\sqrt{105})}^{2}}{30^{2}}$

$= \frac{173}{60} + \frac{105}{900} = 3$ .

Bài 6.36 trang 26 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 3^{1 – 2x} = 4^x;

b) log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2.

Lời giải:

a) 3^{1 – 2x} = 4^x

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình ta được

log₃3^{1 – 2x}= log₃4^x

⇔ 1 – 2x = x log₃4

⇔ (2 + log₃4)x = 1

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2 + \log_{3} 4}$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = \frac{1}{2 + \log_{3} 4}$ .

b) log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

Bài 6.36 trang 26 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Ta có log₃(x + 1) + log₃(x + 4) = 2

⇔ log₃[(x + 1)(x + 4)] = 2

⇔ (x + 1)(x + 4) = 3²

⇔ x² + 5x + 4 = 9

⇔ x² + 5x – 5 = 0

⇔ $x = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{2}$ hoặc $x = \frac{- 5 - 3 \sqrt{5}}{2}$ .

Loại nghiệm $x = \frac{- 5 - 3 \sqrt{5}}{2} < - 1$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{2}$ .

Bài 6.37 trang 26 Toán 11 Tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ ;

b) y = ln(1 – lnx).

Lời giải:

a) Biểu thức $\sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ có nghĩa khi 4^x – 2^{x + 1} ≥ 0 ⇔ (2²)^x – 2^x . 2 ≥ 0

⇔ (2^x)² – 2^x . 2 ≥ 0 ⇔ 2^x(2^x – 2) ≥ 0 ⇔ 2^x – 2 ≥ 0 (do 2^x > 0 với mọi số thực x)

⇔ 2^x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ là D = [1; + ∞).

b) Biểu thức ln(1 – lnx) có nghĩa khi Bài 6.37 trang 26 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Bài 6.37 trang 26 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy tập xác định của hàm số y = ln(1 – lnx) là D = (0; e).

Bài 6.38 trang 26 Toán 11 Tập 2: Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5% của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là r% một năm thì tổng số tiền P ban đầu, sau n năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

$A = P \cdot {(1 - \frac{r}{100})}^{n}$ .

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?

b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?

c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Lời giải:

a) Nếu tỉ lệ lạm phát là 8% một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại là $A = 100 \cdot {(1 - \frac{8}{100})}^{2} = 84, 64$ (triệu đồng).

b) Ta có: $100 \cdot {(1 - \frac{r}{100})}^{2} = 90 \Leftrightarrow {(1 - \frac{r}{100})}^{2} = 0, 9$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{r}{100} = \sqrt{0, 9} \Leftrightarrow r \approx 5, 13$ (do $1 - \frac{r}{100} > 0$ )

Vậy tỉ lệ lạm phát khoảng 5,13% một năm.

c) Với tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì với số tiền P ban đầu sau n năm sức mua còn lại là $A = P \cdot {(1 - \frac{5}{100})}^{n}$ .

Vì sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa nên ta có:

$P \cdot {(1 - \frac{5}{100})}^{n} = \frac{P}{2} \Leftrightarrow 0, 95^{n} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow n = \log_{0, 95} \frac{1}{2} \approx 13, 51$ .

Vậy nếu tỉ lệ lạm phát là 5% một năm thì sau khoảng 14 năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa.

Bài 6.39 trang 26 Toán 11 Tập 2: Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi N₀ là số lượng vi khuẩn ban đầu và N(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ thì ta có:

N(t) = N₀e^rt,

trong đó r là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.

Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con. Hỏi:

a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?

b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Lời giải:

a) Do ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con nên N₀ = 500 và với t = 1 thì N₁ = 800 nên ta có: 800 = 500e^{r ∙ 1}⇔ e^r = 1,6 ⇔ r = ln1,6.

Khi đó N(t) = 500e^ln1,6t.

Với t = 5, ta có N(5) = 500e^{ln1,6 ∙ 5} = 5242,88.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn khoảng 5 242 con.

b) Số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi, tức là tăng lên 1 000 con.

Ta có: 1 000 = 500e^ln1,6t ⇔ e^ln1,6t = 2 ⇔ (e^ln1,6)^t = 2 ⇔ 1,6^t = 2 ⇔ t = log_1,62 ≈ 1,47.

Vậy sau khoảng 1,47 giờ thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi.

Bài 6.40 trang 26 Toán 11 Tập 2: Vào năm 1938, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất P để chữ số d là chữ số đầu tiên của bộ số đó: $P = \log \frac{d + 1}{d}$ . (Theo F.Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc. 78 (1938), 551 – 572).

Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là 9 bằng khoảng 4,6% (thay d = 9 trong công thức Benford để tính P).

a) Viết công thức tìm chữ số d nếu cho trước xác suất P.

b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.

c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.

Lời giải:

a) Ta có $P = \log \frac{d + 1}{d} = \log (1 + \frac{1}{d})$ , suy ra $1 + \frac{1}{d} = 10^{P}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{d} = 10^{P} - 1 \Leftrightarrow d = \frac{1}{10^{P} - 1}$ .

b) Vì chữ số có xác suất bằng 9,7% nên P = 9,7% = 0,097, khi đó

$d = \frac{1}{10^{0, 097} - 1} \approx 4$ .

Vậy chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn là chữ số 4.

c) Chữ số đầu tiên là 1, tức là d = 1, khi đó ta có $P = \log \frac{1 + 1}{1} = \log 2 \approx 0, 301 = 30, 1 %$ .

Vậy xác suất để chữ số đầu tiên là 1 bằng khoảng 30,1%.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lực căng mặt ngoài của nước

Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 19: Lôgarit

Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

1 2,105 26/11/2023

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3