Toán 11 Bài 3 (Kết nối tri thức): Hàm số lượng giác

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Giải Toán 11 trang 22 Tập 1

Mở đầu trang 22 Toán 11 Tập 1: Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức

$v=\mathrm{0,85}\sin \frac{\pi t}{3}$,

trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.

Lời giải:

Sau bài học này, ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là T = $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}=6$ (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là $\frac{60}{6}=10$ (chu kì).

HĐ1 trang 22 Toán 11 Tập 1: Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Lần lượt thay các giá trị $x=\frac{\pi }{6},x=0$ và $x=-\frac{\pi }{2}$ vào sin x, cos x, tan x và cot x, ta hoàn thành được bảng như sau:

Giải Toán 11 trang 23 Tập 1

Luyện tập 1 trang 23 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sin x}.$

Lời giải:

Biểu thức $\frac{1}{\sin x}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ là ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

HĐ2 trang 23 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số f(x) = x² và g(x) = x³, với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định D_f, D_g của các hàm số f(x) và g(x).

b) Chứng tỏ rằng f(– x) = f(x), ∀ x ∈ D_f. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng g(– x) = – g(x), ∀ x ∈ D_g. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = g(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Lời giải:

a) Biểu thức x² và x³ luôn có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) = x² là D_f = ℝ và tập xác định của hàm số g(x) = x³ là D_g = ℝ.

b) ∀ x ∈ D_f, ta luôn có f(– x) = (– x)² = x² = f(x). Vậy f(– x) = f(x), ∀ x ∈ D_f.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x) = x² đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) ∀ x ∈ D_g, ta luôn có g(– x) = (– x)³ = – x³ = – g(x). Vậy g(– x) = – g(x), ∀ x ∈ D_g.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số g(x) = x³ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Giải Toán 11 trang 24 Tập 1

Luyện tập 2 trang 24 Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$.

Lời giải:

Biểu thức $\frac{1}{x}$ có nghĩa khi x ≠ 0.

Suy ra tập xác định của hàm số $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ là D = ℝ \ {0}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: g(– x) = $\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$ = – g(x), ∀ x ∈ D.

Vậy $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

HĐ3 trang 24 Toán 11 Tập 1: So sánh:

a) sin(x + 2π) và sin x;

b) cos(x + 2π) và cos x;

c) tan(x + π) và tan x;

d) cot(x + π) và cot x.

Lời giải:

a) Ta có: sin(x + 2π) = sin[π + (x + π)] = – sin(x + π) = – sin(π + x) = – (– sin x) = sin x.

Vậy sin(x + 2π) = sin x.

b) Ta có: cos(x + 2π) = cos[π + (x + π)] = – cos(x + π) = – (– cos x) = cos x.

Vậy cos(x + 2π) = cos x.

c) Ta có: tan(x + π) = tan(π + x) = tan x.

Vậy tan(x + π) = tan x.

d) Ta có: cot(x + π) = cot(π + x) = cot x.

Vậy cot(x + π) = cot x.

Câu hỏi trang 24 Toán 11 Tập 1: Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

Lời giải:

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có tập xác định D = ℝ.

Với T là số dương bất kì và với mọi x ∈ D, ta luôn có:

+) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

+) f(x + T) = c = f(x) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng c).

Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.

Giải Toán 11 trang 25 Tập 1

Luyện tập 3 trang 25 Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan2x.

Lời giải:

Biểu thức tan 2x có nghĩa khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra hàm số y = tan 2x có tập xác định là D = $ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

Với mọi số thực x, ta có:

+) $x-\frac{\pi }{2}\in D,x+\frac{\pi }{2}\in D$ ;

+) $\tan 2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\tan \left(2x+\pi \right)=\tan 2x$ .

Vậy y = tan 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$ .

HĐ4 trang 25 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = sin x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của sin x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sin x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; sin x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = sin x.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = sin x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) = – sin x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x là hàm số lẻ.

b) Ta có: sin 0 = 0, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \frac{\pi }{2}=\mathrm{1,}\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , sin π = 0.

Vì y = sin x là hàm số lẻ nên $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ ,

$\sin \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=-\sin \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, sin(– π) = – sin π = 0.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

Giải Toán 11 trang 26 Tập 1

Luyện tập 4 trang 26 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sin x.

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ sin x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra 2 . (– 1) ≤ 2sin x ≤ 2 . 1 hay – 2 ≤ 2sin x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = 2sin x có tập giá trị là [– 2; 2].

Vận dụng 1 trang 26 Toán 11 Tập 1: Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra xảy ra khi v < 0.

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?

Lời giải:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là T = $\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}=6$ (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là $\frac{60}{6}=10$ (chu kì).

b) Ta có: $v=\mathrm{0,85}\sin \frac{\pi t}{3}$

+) v > 0 khi $\mathrm{0,85}\sin \frac{\pi t}{3}>0\iff \sin \frac{\pi t}{3}>0$

Mà – 1 ≤ sin $\frac{\pi t}{3}$ ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1$ .

+) v < 0 khi $\mathrm{0,85}\sin \frac{\pi t}{3}<0\iff \sin \frac{\pi t}{3}<0$

Mà – 1 ≤ sin $\frac{\pi t}{3}$ ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $-1\le \sin \frac{\pi t}{3}<0$.

+) Với t ∈ (0; 3) ta có $0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1$ .

+) Với t ∈ (3; 5] ta có $-1\le \sin \frac{\pi t}{3}<0$ .

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

HĐ5 trang 26 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = cos x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cos x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cos x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b) Ta có: cos 0 = 1, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{\pi }{2}=\mathrm{0,}\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , cos π = – 1.

Vì y = cos x là hàm số chẵn nên $\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$ ,

$\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, cos(– π) = cos π = – 1.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 11 trang 27 Tập 1

Luyện tập 5 trang 27 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số y = – 3cos x.

Lời giải:

Ta có: – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra (– 3) . (– 1) ≥ – 3cos x ≥ (– 3) . 1 hay – 3 ≤ – 3cos x ≤ 3 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hàm số y = – 3cos x có tập giá trị là [– 3; 3].

Vận dụng 2 trang 27 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), ωt + φ là pha của dao động tại thời điểm t và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kì $T=\frac{2\pi }{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = – 5cos 4πt (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Lời giải:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Khi đó vật dao động điều hòa theo phương trình x(t) = 5cos(4πt + π) (cm) với biên độ dao động là A = 5 > 0 và pha ban đầu của dao động là φ = π.

b) Pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây) là ωt + φ = 4π . 2 + π = 9π.

Dao động điều hòa có chu kì là $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$, có nghĩa là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần là 0,5 giây. Do đó, trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được 2 : 0,5 = 4 dao động toàn phần.

Giải Toán 11 trang 28 Tập 1

HĐ6 trang 28 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = tan x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = tan x trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; tan x) với x ∈ $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ .

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = tan x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số y = tan x.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là D = ℝ \ $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = tan (– x) = – tan x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = tan x là hàm số lẻ.

b) Ta có: tan 0 = 0, $\tan \frac{\pi }{4}=\mathrm{1,}\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3},\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vì y = tan x là hàm số lẻ nên $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\tan \frac{\pi }{4}=-1$ , $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}=-\sqrt{3}$ ,

$\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 11 trang 29 Tập 1

Luyện tập 6 trang 29 Toán 11 Tập 1: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ để hàm số y = tan x nhận giá trị âm.

Lời giải:

Hàm số y = tan x nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.16 ta suy ra trên đoạn $\left[-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right]$ thì y < 0 khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ .

HĐ7 trang 29 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số y = cot x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cot x) với x ∈ (0; π) và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π).

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì T = π, ta được đồ thị của hàm số y = cot x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số y = cotx.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cot (– x) = – cot x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cot x là hàm số lẻ.

b) Ta có: $\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3},\cot \frac{\pi }{4}=\mathrm{1,}\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3},\cot \frac{\pi }{2}=0$ ,

$\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3},\cot \frac{3\pi }{4}=-\mathrm{1,}\cot \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số y = cot x có:

+) Tập giá trị là ℝ;

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi ;\pi +k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$ (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Giải Toán 11 trang 30 Tập 1

Luyện tập 7 trang 30 Toán 11 Tập 1: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Lời giải:

Hàm số y = cot x nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ thì y > 0 khi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ .

Bài tập

Bài 1.14 trang 30 Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ ;

b) $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$ .

Lời giải:

a) Biểu thức $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$ có nghĩa khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0\\ 2-\cos x\ne 0\end{array}\right.$.

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và $\frac{1+\cos x}{2-\cos x}\ge 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2-\cos x}}$ là D = ℝ.

Bài 1.15 trang 30 Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin 2x + tan 2x;

b) y = cos x + sin² x;

c) y = sin x cos 2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ ), tức là $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$ .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin² x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) + sin² (– x) = cos x + (– sin x)² = cos x + sin² x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x + sin² x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) . cos (– 2x) = – sin x . cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.16 trang 30 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ ;

b) y = $\sqrt{1+\cos x}-2$.

Lời giải:

a) Ta có: $-1\le \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\le 2$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -2-1\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1\le 2-1$ với mọi x ∈ ℝ

$\iff -3\le 2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1\le 1$ với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1$ là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, $0\le \sqrt{1+\cos x}\le \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra $-2\le \sqrt{1+\cos x}-2\le \sqrt{2}-2$ với mọi x ∈ ℝ.

Hay $-2\le y\le \sqrt{2}-2$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = $\sqrt{1+\cos x}-2$ là $\left[-2;\sqrt{2}-2\right]$ .

Bài 1.17 trang 30 Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị của hàm số y = tan x, hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0.

Lời giải:

Ta có đồ thị của hàm số y = tan x như hình vẽ dưới đây.

Ta có tan x = 0 khi hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 ứng với các điểm x mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra y = 0 hay tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ ℤ.

Bài 1.18 trang 30 Toán 11 Tập 1: Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số h(t) = $90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Lời giải:

a) Chu kì của sóng là $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=20$ (giây).

b) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.

Ta có: h(20) = $90\cos \left(\frac{\pi }{10}.20\right)$ = 90 (cm).

Vậy chiều cao của sóng là 90 cm.

Lý thuyết Hàm số lượng giác

Xem thêm lời giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1