50 Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 mới nhất

Chọn đáp án B

Chọn đáp án B

Bài 6: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

b) sin3x = 1 ⇔ 3x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π

⇔ x = $\frac{\pi }{6}$ + k($\frac{2\pi }{3}$), (k ∈ Z).

(k ∈ Z).

d) Vì -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = sin(-600) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 200) = sin(-600)

⇔

Bài 7 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) cos(x – 1) = $\frac{2}{3}$

b) cos3x = cos120

c) cos($\frac{3x}{2}$ – $\frac{\pi }{4}$) = $\frac{-1}{2}$

d) cos²2x = $\frac{1}{4}$

Lời giải:

a) cos(x - 1) = $\frac{2}{3}$ ⇔ x - 1 = ±arccos$\frac{2}{3}$ + k2π

⇔ x = 1 ± arccos$\frac{2}{3}$ + k2π, (k ∈Z)

b) cos3x = cos120 ⇔ 3x = ±120 + k3600 ⇔ x = ±40 + k1200, (k ∈ Z).

c) Vì -$\frac{1}{2}$ = cos$\frac{2\pi }{3}$ nên cos($\frac{3x}{2}$ - $\frac{\pi }{4}$) = -$\frac{1}{2}$ ⇔ cos($\frac{3x}{2}$ - $\frac{\pi }{4}$) = cos$\frac{2}{3}$ ⇔ $\frac{3x}{2}$ - $\frac{\pi }{4}$ = ±$\frac{2\pi }{3}$ + k2π ⇔ x = $\frac{2}{3}$($\frac{\pi }{4}$ + $\frac{2\pi }{3}$) + $\frac{4k\pi }{3}$

d) Sử dụng công thức hạ bậc  (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

cos²2x = $\frac{1}{4}$ ⇔ 1 + cos$\frac{4x}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ⇔ cos4x = -$\frac{1}{2}$

⇔ 4x = ±$\frac{2\pi }{3}$ + 2kπ ⇔ x = ±$\frac{\pi }{6}$ + $\frac{k\pi }{2}$, (k ∈ Z)

Bài 9 Giải phương trình 

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -$\frac{\pi }{2}$ + k2π ⇔ x = -$\frac{\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ b) cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$

c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Lời giải:

a) Vì = tan300 nên tan(x – 150) =  ⇔ tan(x – 150) = tan300 ⇔ x – 150 = 300 + k1800 ⇔ x = 450 + k1800, (k ∈ Z).

b) Vì -$\sqrt{3}$ = cot(-$\frac{\pi }{6}$) nên cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$ ⇔ cot(3x – 1) = cot(-$\frac{\pi }{6}$)

⇔ 3x – 1 = -$\frac{\pi }{6}$ + kπ ⇔ x = -$\frac{\pi }{18}$ + $\frac{1}{3}$ + k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x =  , phương trình đã cho trở thành
. t = 0 ⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

d) sin3x . cotx = 0

⇔ Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin3x . cosx = 0 ⇔ sin3x = 0; cos3x = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k($\frac{\pi }{3}$) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sink($\frac{\pi }{3}$) = 0, giải phương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sink($\frac{\pi }{3}$) = 0 ⇔ k($\frac{\pi }{3}$)= lπ, (l ∈ Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, (k ∈Z) và x = k($\frac{\pi }{3}$) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét: Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a, b, c không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

III. Bài tập vận dụng 

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$.

b) $\sin 3x=1$.

c) $\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\sin (2x+{20}^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 2 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$.

b) $\cos 3x=\cos {12}^0$.

c). $\cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$.

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Bài 4 Giải phương trình $\frac{2\cos 2x}{1-\sin 2x}=0$

Bài 5 Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$.

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) $\cos 2x.tanx=0$.

b) $\sin 3x.\cot x=0$.

Bài 7 Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$

Bài 8 Giải các phương trình sau

a) $\cos 2x.tanx=0$.

b) $\sin 3x.\cot x=0$.

Bài 9 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) sin3x – cos5x = 0 b) tan3x . tanx = 1.

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hàm số lượng giác

Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài tập Một số phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập Quy tắc đếm

Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp