50 Bài tập Một số phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 mới nhất

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

3²+ m² < 52 ↔ m² < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m² + 49 ≥ 1 ⇔ 4m² + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

Ta có:

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 4π] là: π; 3π

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin²x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin²x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

3tan²x - 2$\sqrt{3}$tanx – 3 = 0

Chọn đáp án A

II. Bài tập trắc nghiệm

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

(2 – a)² + (1 +2a)² ≥ (3a – 1)²

⇔ 4 - 4a + a² + 1 + 4a + 4a² ≥ 9a² - 6a + 1

⇔ 4a² – 6a – 4 ≤ 0 ⇔ $\frac{-1}{2}$ ≤ a ≤ 2.

Chú ý. Với bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của a để phương trình:

(2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1

Có nghiệm, ta cũng thực hiện lời giải tương tự như trên.

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a) sin3x – cos5x = 0 b) tan3x . tanx = 1.

Lời giải:

a) sin3x – cos5x = 0 ⇔ cos5x = sin3x ⇔ cos5x = cos($\frac{\pi }{2}$ – 3x) ⇔

b) tan3x . tanx = 1 ⇔  Điều kiện: cos3x . cosx # 0.

Với điều kiện này phương trình tương đương với cos3x . cosx = sin3x . sinx ⇔ cos3x . cosx – sin3x . sinx = 0 ⇔ cos4x = 0.
Do đó

Bài 7: sin²x - sinx = 0

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình là  hoặc 

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;

b) 2sin2x + $\sqrt{2}$sin4x = 0.

Lời giải:

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1] ta được phương trình 2t² – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1; $\frac{1}{2}$}.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = $\frac{1}{2}$ ⇔ x = ±$\frac{\pi }{3}$ + k2π.

Đáp số: x = k2π; x = ±$\frac{\pi }{3}$ + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với:

Vậy nghiệm của phương trình là  hoặc 

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) sin²($\frac{x}{2}$) – 2cos($\frac{x}{2}$) + 2 = 0; b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Lời giải:

Đặt  thì phương trình trở thành

Vậy nghiệm của phương trình là: 

Đặt t = sinx, t ∈ [-1; 1] thì phương trình trở thành

c) ĐK: 

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

d) ĐK: 

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = $\frac{1}{2}$

d) 2cos²x – $3\sqrt{3}$sin2x – 4sin²x = -4

Lời giải:

Khi , khi đó ta có 2.1 + 0 - 0 = 0 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là:

Khi , khi đó ta có 3.1 - 0 + 0 = 2 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là 

Khi , khi đó ta có 2 + 0 - 0 = 1 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là :

Khi , khi đó ta có  là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Vậy nghiệm của phương trình là 

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) cosx – $\sqrt{3}$sinx = $\sqrt{2}$

b) 3sin3x – 4cos3x = 5

c) 2sin2x + 2cos2x – $\sqrt{2}$ = 0

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan(x + $\frac{\pi }{4}$) = 1

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;

b) 2sin2x + $\sqrt{2}$sin4x = 0.

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) sin²($\frac{x}{2}$) – 2cos($\frac{x}{2}$) + 2 = 0; b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = $\frac{1}{2}$

d) 2cos²x – $3\sqrt{3}$sin2x – 4sin²x = -4

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a) cosx – $\sqrt{3}$sinx = $\sqrt{2}$

b) 3sin3x – 4cos3x = 5

c) 2sin2x + 2cos2x – $\sqrt{2}$ = 0

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Bài 7

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan(x + $\frac{\pi }{4}$) = 1

Bài 8 Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Bài 9 Giải các phương trình sau:

$a)tan(2x+1).tan(3x-1)=1$

$b)tanx+tan(x+\frac{\pi }{4})=1$

Bài 10 Giải các phương trình sau:

$a)cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2};$                               

$b)3sin3x-4cos3x=5;$

$c)2sin2x+2cos2x-\sqrt{2}=0;$                           

$d)5cos2x+12sin2x-13=0.$

Bài 11 Giải các phương trình sau:

$a)2si{n}^{2}x+sinxcosx-3co{s}^{2}x=0$

$b)3si{n}^{2}x-4sinxcosx+5co{s}^{2}x=2$

$c)si{n}^{2}x-sin2x+2co{s}^{2}x=\frac{1}{2}$

$d)2co{s}^{2}x-3\sqrt{3}sin2x-4si{n}^{2}x=-4.$

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hàm số lượng giác

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài tập Quy tắc đếm

Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp