50 Bài tập Phương pháp quy nạp toán học - Dãy số Toán 11 mới nhất

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án D

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có lời giải

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có u₁ = 9.1 - 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử uk = 9k - 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk + 1 = 9k + 1 - 1 chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có:

uk + 1 = 9k + 1 - 1 = 9.9k - 1 = 9(9k - 1) + 8 = 9uk + 8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có 2.2+1 > 2.2 + 3 ⇔ 8 > 7 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 2 .

* Giả sử với n = k, k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k + 1 > 2k + 3 (1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k + 2 > 2(k + 1) + 3

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k + 1 > 2(2k + 3) ⇔ 2k + 2 > 4k + 6 > 2k + 5.

(vì 4k + 6 > 4k + 5 > 2k + 5)

Hay 2k + 2 > 2(k + 1)+ 3

Vậy (*) đúng với n = k + 1.

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 .

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Vậy (1) đúng khi n= k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 9:

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

a.    (1)

b.               (2)

c.        (3)

Lời giải:

a. Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = 

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

 (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

(1) đúng với n = k +1, vậy (1a) đúng với 

b. 

Với n = 1 thì 

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Khi đó ta chứng minh (2) đúng với n = k +1

Ta có :

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

c.  (3)

Khi n = 1 vế trái bằng 1

Vậy (3) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

 (3a)

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)²

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 10 Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b.  chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt A_n = 

+ Ta có: với n = 1

 chia hết 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh  chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên  = n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt 

với n = 1 =>  = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh:  chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (4^k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4^k.4¹ + 15k + 15 – 1

= (4^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15) = A_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp  chia hết 9, hơn nữa:

3(4^k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k ≥ 1 nên  chia hết 9

Vậy A_n = 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n³ + 11n

+ Với n = 1 => U₁ = 12 chia hết 6

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

 chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: U_k+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1) = 

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

 chia hết 6, hơn nữa  chia hết 6 ∀k ≥ 1 (2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: U_k+1 chia hết 6

Vậy: U_n = n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3ⁿ > 3n + 1

b. 2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Bài 2 Cho tổng  với 

a. Tính S₁, S₂, S₃

b. Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 3 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 

Bài 4 Chứng minh rằng với n Є N^*, ta có đẳng thức:

a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = $\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^n}$;

c) 1² + 2² + 3² +….+ n^{2 = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.}

Bài 5 Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1;                  

b) 2^{n + 1} > 2n + 3

Bài 7

a) Tính S₁, S₂, S_3.

b) Dự đoán công thức tính tổng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Bài 8 Tìm công thức tính số hạng tổng quát u_n theo n của dãy số sau 

Bài 9 Xét tính tăng giảm của dãy số (u_n) biết: 

Bài 10 Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Cấp số cộng

Bài tập Cấp số nhân

Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài tập Hàm số liên tục