50 Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp Toán 11 mới nhất

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

3²+ m² < 52 ↔ m² < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m² + 49 ≥ 1 ⇔ 4m² + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin²x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin²x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos²x, ta được:

3tan²x - 2$\sqrt{3}$tanx – 3 = 0

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 6 Giải các phương trình sau:

Lời giải:

b) sin3x = 1 ⇔ 3x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π

⇔ x = $\frac{\pi }{6}$ + k($\frac{2\pi }{3}$), (k ∈ Z).

(k ∈ Z).

d) Vì $\frac{-\sqrt{3}}{2}$ = sin(-60⁰) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 20⁰) = sin(-60⁰)
⇔

Bài 7: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

Lời giải:

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) cos(x – 1) = $\frac{2}{3}$

b) cos3x = cos12⁰

c) cos($\frac{3x}{2}$ – $\frac{\pi }{4}$) = -$\frac{1}{2}$

d) cos²2x = $\frac{1}{4}$

Lời giải:

a) cos(x - 1) = $\frac{2}{3}$ ⇔ x - 1 = ±arccos$\frac{2}{3}$ + k2π

⇔ x = 1 ± arccos$\frac{2}{3}$ + k2π, (k ∈Z)

b) cos3x = cos12⁰ ⇔ 3x = ±12⁰ + k360⁰ ⇔ x = ±4⁰ + k120⁰, (k ∈ Z).

c) Vì -$\frac{1}{2}$ = cos$\frac{2\pi }{3}$ nên cos$\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$ = -$\frac{1}{2}$

⇔ cos($\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$) = cos$\frac{2}{3}$

⇔ $\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$ = ±$\frac{2\pi }{3}$ + k2π

⇔ x = $\frac{2}{3}$($\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}$) + $\frac{4k\pi }{3}$

d) Sử dụng công thức hạ bậc  (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

cos²2x = $\frac{1}{4}$ ⇔ 1 + cos$\frac{4x}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ⇔ cos4x = -$\frac{1}{2}$

⇔ 4x = ±$\frac{2\pi }{3}$ + 2kπ ⇔ x = ±$\frac{\pi }{6}$ + $\frac{k\pi }{2}$, (k ∈ Z)

Bài 9 Giải phương trình 

Lời giải:

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -$\frac{\pi }{2}$ + k2π ⇔ x = -$\frac{\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ b) cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$

c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Lời giải:

a) Vì = tan30⁰ nên tan(x – 15⁰) =  

⇔ tan(x – 15⁰) = tan30⁰ 

⇔ x – 150 = 30⁰ + k180⁰ 

⇔ x = 45⁰ + k180⁰, (k ∈ Z).

b) Vì -$\sqrt{3}$ = cot(-$\frac{\pi }{6}$) nên cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$

⇔ cot(3x – 1) = cot(-$\frac{\pi }{6}$)

⇔ 3x – 1 = -$\frac{\pi }{6}$ + kπ

⇔ x = -$\frac{\pi }{18}$ + $\frac{1}{3}$ + k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x =  , phương trình đã cho trở thành
. t = 0

⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

d) sin3x . cotx = 0

⇔ Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin3x . cosx = 0 ⇔ sin3x = 0; cos3x = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k($\frac{\pi }{3}$) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sink($\frac{\pi }{3}$) = 0, giải phương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sink($\frac{\pi }{3}$) = 0 ⇔ k($\frac{\pi }{3}$)= lπ, (l ∈ Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, (k ∈Z) và x = k($\frac{\pi }{3}$) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét: Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a, b, c không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$.

c) $\cos 2x.tanx=0$.

d) $\sin 3x.\cot x=0$.

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$.

b) $\cos 3x=\cos {12}^0$.

c). $\cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}$.

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$.

b) $\sin 3x=1$.

c) $\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\sin (2x+{20}^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 7 Giải phương trình $\sin \left(\frac{2x}{3}- \frac{\pi }{3}\right) = 0$

Bài 8 Giải phương trình 

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ b) cot(3x – 1) = -√3
c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Bài 10 Với những giá trị nào của x thì gia trị của các hàm số y = tan($\frac{\pi }{4}$ - x) và y = tan2x bằng nhau?

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hàm số lượng giác

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập Một số phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập Quy tắc đếm

Bài tập Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp