50 Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán 11 mới nhất

Phương án A sai vì chỉ có AB ⊥ CD

Phương án B sai vì chỉ có BC ⊥ CD

Phương án C đúng vì:

Phương án D sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD)

b. Ta có

Tam giác ABD vuông tại B nên

c. xem hình bên.

CD ⊥ (ABC) vì CD ⊥ BC và AB ⊥ CD. AB ⊥ (BCD) vì AB ⊥ BC và AB ⊥ CD

Phương án A sai vì tam giác ABC không vuông góc tại C nên trung điểm của AB không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án B sai vì tam giác ABC không vuông góc tại A nên trung điểm của AB không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án C đúng vì: tam giác ACD vuông góc tại C nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, C, D; tam giác ABD vuông góc tại B nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, B, D

Phương án D sai vì tam giác CBD không vuông góc tại B nên trung điểm của Cd không cách đuề ba điểm B, C, D

a. Giả sử tam giác ABC vuông tại A. khi đó B có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA). Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông. Từ O hạ OH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ AB (theo định lí ba đường vuông góc). Vì điểm H nằm giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù. Suy ra ABC có ba góc nhọn

b. giả sử AI và CI cắt CB tại K và H

⇒ AB ⊥ (OCH) ⇒ AB ⊥ CH

Chứng mình tương tự ta cũng có CB ⊥ AK ⇒I là trực tâm của tam giác ABC

a. Giả sử H là chân đường vuông góc hạ tự S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, do SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ H ≡ G. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên:

b. điểm K sẽ nằm giữa hai điểm S và C khi

c. Nếu a = $b\sqrt{2}$ thì Sa, SB, SC đôi một vuông góc ⇒ SC ⊥ (SAB)

Do đó (P) ≡ (SAB), hay thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (P) là tam giác SAB

a. Vì K là trực tâm của ∆SBC nên BK ⊥ SC      (1)

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC. Mặt khác BH ⊥ SA ⊥ (ABC) nên BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC      (2)

b. Từ (1) va (2) suy ra SC ⊥ (BHK). Vì BC ⊥ (ASG) ⇒ BC ⊥ HK và SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ HK. Suy ra HK ⊥ (SBC)

Giả sử AI và CI cắt CB và AB tại K và H

⇒ AB ⊥ (OCH) ⇒ AB ⊥ CH

Chứng minh tương tự ta cũng có CB ⊥ AK ⇒ I là trực tâm của tam giác ABC

a. AB ⊥ (BCD) vì AB ⊥ BC và AB ⊥ CD

b. Phương án A sai vì AB và Cd không vuông góc với nhau

Phương án B đúng vì BC⊥ AB (do AB ⊥ (BCD); BC ⊥ CD (giả thiết)

Phương án A sai vì nếu CD ⊥ (ABD) thì CD ⊥ AD. Nhưng tam giác ACD cân tại A nên CD không thể vuông góc với AD

Phương án B sai vì tương tự như trên thì CD không thể vuông góc với AC

Phương án C đúng vì CD ⊥ AN (AN là đường trung tuyến của tam giác cân CAD tại A) và CD ⊥ MN ⇒ CD ⊥ (ABN)

Phương án D sai vì CD không vuông góc với MD do chứng minh trên.

a. Phương án A sai vì khi M trùng với H thì SM = SH

Phương án B đúng vì khi M trùng với H thì SM = SH; khi M ≠ H thì SM > SH

Phương án C, D sai vì không bao giờ xảy ra trường hợp SM < SH

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, MO là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O.

Ta có: OA, OB, OC lần lượt là hình chiếu của các đường xiên MA, MB, MC. Vì OA = OB = OC

⇒ MA = MB = MC. Vậy đường thẳng MO là tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải làm như thế nào?

Bài 2 Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Nếu a // (α), b ⊥(α) thì a ⊥b.

b) Nếu a // (α), b ⊥a thì b ⊥(α).

c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a.

d) Nếu a ⊥(α), b ⊥a thì b ⊥(α).

Bài 3 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Bài 5 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

a) H là trực tâm của tam giác ABC

Bài 6 Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO ⊥(α)

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho $\frac{SI}{SB}=\frac{SK}{SD}$ . Chứng minh:

a) BD ⊥ SC

b) IK ⊥mp(SAC)

Bài 8 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mp(SAB), kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SC}$ .

Bài 9 Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC)

b) SB ⊥ AN

Bài 10 Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó.

Bài 11 Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau;

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Bài 12 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài tập Vectơ trong không gian

Bài tập Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Bài tập Mặt phẳng vuông góc