50 Bài tập Vectơ trong không gian Toán 11 mới nhất

Đáp án: a - B, b - D

a. $\overrightarrow{B\text{'}C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB\text{'}}=\overrightarrow{AC}-(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

b. $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}G}=\overrightarrow{AA\text{'}}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}})=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

Đáp án: a - A, b - C, c - D

a. MQ=1$\underset{MQ}{\to }= \frac{1}{2}\underset{BD}{\to }=\frac{1}{2}.(\underset{AD}{\to }-\underset{AB}{\to })=\frac{1}{2}(\underset{c}{\to }-\underset{a}{\to })$

b.Loại ngay hai phương án A và B vì $\overrightarrow{MP}$ không đồng phẳng có vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$. Phương án đúng là C vì $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})$

c. Phương án A loại vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$ ($\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$) đúng nhưng chưa chứng tỏ được bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Phương án B loại vì đẳng thức. $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ)}$ sai

Phương án C loại vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}$ đúng nhưng không liên quan đến hai điểm N và Q.

Phương án D đúng vì đẳng thức $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}$ đúng và chứng tỏ ba vecto $\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MQ}$ đồng phẳng.

Đáp án: a - B, b - C

Đáp án: a - A, b - D, c - C

a. MA² = ($\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}$)² = ME² + EA² + 2$\overrightarrow{ME}$.$\overrightarrow{EA}$

MB² = ($\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}$)² = ME² + EB² + 2$\overrightarrow{ME}.\overrightarrow{EB}$

Suy ra: MA² + MB² = 2ME² + 2a² (do $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$)

b. Tương tự MC² + MD² = 2MF² + 2b²

c. Tương tự ME² + MF² = 2MG² + 2c²

d. MA² + MB² + MC² + MD² = 2ME² + 2MF² + 2a² + 2b² = 4MG² + 2(a² + b² + c²)

Đáp án: D

Đáp án: a - C, b - D, c - C

 Phương án A sai vì $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$ ≠ |$\overrightarrow{SA}$|.|$\overrightarrow{SB}$| = a²

Phương án B sai vì:

Phương án C đúng:

Phương án D sai vì $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}$ ≠ -|$\overrightarrow{AS}$ |.|$\overrightarrow{AB}$ | = -a²

 Tam giác SAC; SAB là tam giác đều

tam giác SCB; ABC vuông cân.

Đáp án: C

Phần dẫn ví dụ 1 là một câu chưa hoàn chỉnh, người làm chắc nghiệm phải lựa chọn một trong bốn phương án đưa ra để được một khẳng định đúng.

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto

($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{QC}$), ($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PD}$) và ($\overrightarrow{MP}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{QC}$) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{MA}-m\overrightarrow{PD}$

Đáp án: a - C, b - A

a) Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN// AC và $MN = \frac{1}{2}AC$  (1)

Tương tự: QP là đường trung bình của tam giác ACD nên QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MNPQ là hình bình hành ( có các cạnh đối song song và bằng nhau

 ⇒ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$     (3)

Lại có: $\overrightarrow{QP}$ = $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$     (4)

Từ (3); (4) ⇒ $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+0.\overrightarrow{AD}$

Do đó, 3 vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

b) Phương án A là đúng.

B sai vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}AC$ nên 3 vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

C sai vì $\overrightarrow{QM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ nên 3 vecto $\overrightarrow{QM}; \overrightarrow{BD}; \overrightarrow{AC}$ đồng phẳng

D sai vì $\overrightarrow{QP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên 3 vecto $\overrightarrow{QP}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{CD}$ đồng phẳng

Đáp án: C

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng; nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Đáp án: C

II. Bài tập tự luận có lời giải

a.$\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})$;

b. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$

Bài 2 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A^'B^'C^'D^'. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA^', BB^', CC^', DD^' lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Lời giải:

Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A^'B^'C^'D^'. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: 

Lời giải:

Bài 6 Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Lời giải:

Bài 7 Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

Lời giải:

a) Lấy điểm G sao cho $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}$

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 8 Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}$

Lời giải

Bài 9 Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Lời giải:

Bài 10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có $\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{a}; \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}; \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C}, \overrightarrow{BC\text{'}}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a}; \overrightarrow{b}; \overrightarrow{c}$

Lời giải:

Bài 11 Cho tam giác ABC. Lấy một điểm S ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho $\overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}$ và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho $\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$. Chứng minh ba vector AB, MN, SC đồng phẳng

Lời giải:

Do đó, ba vecto $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{SC}$ đồng phẳng

III. Bài tập vận dụng

Bài 1

Bài 2 Cho hình lăng trụ tứ giác: $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $I,K,L,M$. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm $I,K,L,M$ và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

 a) Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{IA}$;

b) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{IA}$;

c) Các vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{IA}$.

Bài 3 Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ + $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$;

b)  $\overrightarrow{BD}$ - $\overrightarrow{D^{\prime }D}$ - $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$;

c)  $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ + $\overrightarrow{DB}$ + $\overrightarrow{C^{\prime }D}$ = $\overrightarrow{0}$.

Bài 4 Cho hình bình hành . Gọi  là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng:  

Bài 5 Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: 

a) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$

b) $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$

Bài 6 Cho hình tứ diện $ABCD$. Hãy xác định hai điểm $E,F$ sao cho:

a) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};$

b) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.$

Bài 7 Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.$

Bài 8 Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BD$ của tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).$

Bài 9 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với G là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Bài 10 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, và DA.

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài tập Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài tập Mặt phẳng vuông góc