50 Bài tập Hai đường thẳng vuông góc với nhau Toán 11 mới nhất

Đáp án: D

Phương án A sai (hình trên)

Phương án B và C sai vì có thể sảy ra như hình sau.

Phương án D đúng vì: có thể ba vecto $\overrightarrow{n}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng như hai hình trên.

Đáp án: A

Phương án A đúng vì giả sử $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực (x; y; z) sao cho $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{xa}+\overrightarrow{yb}+\overrightarrow{zc}$

Nhân cả hai vế với vecto $\overrightarrow{n}$ ta có : $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n}=\overrightarrow{xa}.\overrightarrow{n}+\overrightarrow{yb}.\overrightarrow{n}+\overrightarrow{zc}.\overrightarrow{n}$ = 0

⇒ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$. Điều này trái với giả thiết.

Đáp án: C

Phương án A sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau

Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau

Phương án D sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau

Phương án C đúng vì chúng đồng phẳng

Đáp án: a - C, b - B

a. Phương án A, B và D đều sai

Phương án C đúng vì tam giác CB’D’ có ba cạnh bằng a, $a\sqrt{3}$,$a\sqrt{3}$ nên không thể vuông tại B’

b. Phương án A sai vì tam giác ACB’ có ba cạnh bằng a

Phương án C sai vì tam giác CB’D’ có ba cạnh a, $a\sqrt{3}$,$a\sqrt{3}$ nên không thể vuông tại B’

Phương án D sai vì góc giữa đường thẳng B’C và AA’ bằng 0⁰

Phương án B đúng vì:

Đáp án: C

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CB}$ = 0

⇒$\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AC}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$ = 0

⇒$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

Đáp án: a - C, b - D

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$ = 0,suy ra AB ⊥ CD

b. phương án A sai vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM})$ = 0. Phương án B sai theo bài 9. Hiển nhiên phương án C sai $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$= 0,suy ra AB ⊥ CD

b. phương án A sai vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CM})$ = 0. Phương án B sai theo bài 9. Hiển nhiên phương án C sai.

Đáp án: B

Vì CD // C’D’ nên góc giữa AC và C’D’ bằng góc giữa AC và CD – bằng góc $\widehat{ACD}$

Vì ABCD là hình vuông nên tam giác ACD vuông cân tại D

⇒ $\widehat{ACD}$ = 45⁰

Đáp án: C

Phần dẫn ví dụ 2 là câu hỏi. phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.

Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.

Đáp án: A

Câu dẫn là một lời giải của một bài toán cho trước, học sinh cần hiểu để có thể phê phán được lời giải bị sai từ bước nào. Phương án đúng là A.

Đáp án: B

Phương án A và C sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau

Giả sử phương án B cũng sai, tức là ba vecto $\overrightarrow{n}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ đồng phẳng. Khi đó vì $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{n}$ ⊥ $\overrightarrow{b}$ nên giá của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ song song. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương. Vì vậy phương án B đúng.

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

Lời giải:

Bài 2 Cho tứ diện ABCD

Lời giải:

Bài 3

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Lời giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b không song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.

b) Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau do đó, nói chung a và c không vuông góc với nhau.

Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:

+ AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B.

+ AB và A’D’ cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC chéo nhau.

Bài 4 Cho hai tam giác đều ABC và ABC^' trong không gian có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC^' và C^'A.

Chứng minh rằng:

a) AB ⊥ CC^'

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Bài 5

Lời giải:

Bài 6 Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC^'D^' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O^'. Chứng minh rằng AB ⊥OO^' và CDD^'C^' là hình chữ nhật.

Lời giải:

+) Vì hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có cùng độ dài cạnh là AB

nên hai đường chéo bằng nhau: AC = AC’.

Suy ra: AO = AO’ hay |$\overrightarrow{AO\text{'}}$| = |$\overrightarrow{AO}$| .

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO\text{'}}$ = 0 ⇒ AB ⊥ OO'

Bài 7 Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

Lời giải:

Bài 8

Lời giải:

Tam giác ABC có AB = AC và góc $\overrightarrow{BAC}$ =60^o nên tam giác ABC là tam giác đều.

Tương tự, tam giác ABD là tam giác đều.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG};$                 

 b) $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG};$                   

c) $\overrightarrow{EG}$ và  $\overrightarrow{DH}.$

Bài 2 Cho hình tứ diện $ABCD$. 

a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.$

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện $ABCD$ có $AB\perp CD$ và $AC\perp DB$ thì $AD\perp BC$. 

Bài 3 a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Bài 4 Trong không gian cho hai tam giác đều $ABC$ và $AB{C}^{\prime }$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,CB,B^{\prime }C,C^{\prime }A,$ Chứng minh rắng:

a) $AB\perp C{C}^{\prime }$;

b) Tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Bài 5 Cho hình chóp tam giác  có  và có  Chứng minh rằng .

Trong không gian cho hai hình vuông  và  có chung cạnh  và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm  và . Chứng minh rằng  và tứ giác  là hình chữ nhật.

Bài 6 Cho $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

   $S=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2.{\overrightarrow{AC}}^2-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}{)}^2}.$

Bài 7 Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}={60}^0.$ Chứng minh rằng: 

 a) $AB\perp CD$;

 b) Nếu $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ thì $MN\perp AB$ và $MN\perp CD$.

Bài 8 Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

Bài 9 Cho tứ diện ABCD

Bài 10 a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Xem thêm các bài Bài tập Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài tập Vectơ trong không gian

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài tập Mặt phẳng vuông góc