Giải Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Hình nón

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Hình nón

Khởi động trang 88 Toán 9 Tập 2: Vỏ kem ốc quế, chao đèn trang trí, chiếc nón lá ở hình bên có đặc điểm gì chung?

Tìm một số vật thể trong thực tế có hình dạng tương tự.

Lời giải:

Đặc điểm chung của các vật ở trong hình trên là có đáy là hình tròn, có 1 đỉnh, một mặt cong.

Một số vật thể trong thực tế có hình dạng tương tự như: mũ sinh nhật, quả dâu tây, cọc tiêu giao thông đường bộ,...

1. Hình nón

Khám phá 1 trang 88 Toán 9 Tập 2: Cho tấm bìa có dạng hình tam giác OSB vuông tại O, cạnh SO cố định (Hình 1a). Khi quay tấm bìa một vòng quanh cạnh SO thì hình tạo ra giống với đồ vật quen thuộc nào?

Lời giải:

Hình tạo ra giống các đồ vật ở phần Hoạt động khởi động: vỏ kem ốc quế, chao đèn trang trí, chiếc nón lá.

Thực hành 1 trang 89 Toán 9 Tập 2: Chiếc mũ ở Hình 4 có dạng hình nón. Cho biết bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó.

Lời giải:

Chiếc mũ ở Hình 4 có dạng hình nón, trong đó:

• Bán kính đáy có độ dài r = 12 cm.

• Chiều cao là h = 31 cm.

• Độ dài đường sinh là: l = $\sqrt{{12}^2+{31}^2}=\sqrt{1105}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm).}$

Thực hành 2 trang 89 Toán 9 Tập 2: Tạo lập hình nón có chiều cao 12 cm và bán kính đáy 5 cm theo hướng dẫn sau:

− Cắt tấm bìa hình quạt tròn có bán kính bằng độ dài đường sinh l = $\sqrt{5^2+{12}^2}$ = 13 (cm), độ dài cung của hình quạt tròn bằng 10π cm ≈ 31 cm (Hình 5a).

− Cắt tấm bìa hình tròn bán kính 5 cm.

− Ghép và dán hai mép quạt lại với nhau sao cho cung của nó tạo thành đường tròn, rồi dán tấm bìa hình tròn ở trên vào làm đáy, ta được hình nón như Hình 5b.

Lời giải:

HS thực hành tạo lập hình nón có chiều cao 12 cm và bán kính đáy 5 cm theo các bước sau:

Bước 1: Cắt tấm bìa hình quạt tròn có bán kính bằng độ dài đường sinh l = $\sqrt{5^2+{12}^2}$ = 13 (cm) độ dài cung của hình quạt tròn bằng 10π cm ≈ 31 cm.

Bước 2: Cắt tấm bìa hình tròn bán kính 5 cm.

Bước 3: Ghép và dán hai mép quạt lại với nhau sao cho cung của nó tạo thành đường tròn, rồi dán tấm bìa hình tròn ở trên vào làm đáy, ta được hình nón như hình vẽ.

2. Diện tích xung quanh của hình nón

Khám phá 2 trang 90 Toán 9 Tập 2: Cho một hình nón có bán kính r, có độ dài đường sinh l (Hình 6a). Cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh của nó rồi trải phẳng ra, ta được hình quạt tròn (Hình 6b). Tính theo r và l:

a) Độ dài cung BB';

b) Số đo cung BB';

c) Diện tích của hình quạt tròn.

Lời giải:

a) Độ dài m của cung BB' bằng chu vi đường tròn đáy, ta có m = 2πr.

b) Gọi n là số đo cung BB' của hình quạt tròn.

Áp dụng công thức liên hệ số đo cung n và độ dài cung m của hình quạt tròn, ta có:

n = $\frac{\text{m}\cdot 180}{\text{π}l}$ (với l là bán kính hình quạt tròn).

Số đo cung BB' là: n = $\frac{2\text{πr}\cdot 180}{\text{π}l}=\frac{360\text{r}}{l}.$

Vậy số đo cung BB' là n = $\frac{360\text{r}}{l}.$

c) Diện tích của hình quạt tròn là:

$\text{S}=\frac{\text{π\hspace{0.17em}}{l}^2\text{n}}{360}=\frac{\text{π\hspace{0.17em}}{l}^2\cdot \frac{360\text{r}}{l}}{360}=\frac{\text{π\hspace{0.17em}}l\cdot 360\text{r}}{360}=\text{πr\hspace{0.17em}}l.$

Vậy diện tích của hình quạt tròn là πrl.

Thực hành 3 trang 90 Toán 9 Tập 2: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón có đường kính đáy d = 10 m và chiều cao h = 12 m (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Bán kính đáy của hình nón là: r = $\frac{d}{2}=\frac{10}{2}$ = 5 (m).

Độ dài đường sinh của hình nón là:

$l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π . 5 . 13 = 65π ≈ 204,20 (m²).

Diện tích đáy của hình nón là:

S_đáy = π . r² = π . 5² = 25π (m²).

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = S_xq + S_đáy = 65π + 25π = 90π ≈ 282,74 (m²).

Vậy hình nón có diện tích xung quanh khoảng 204,20 m² và diện tích toàn phần khoảng 282,74 m².

3. Thể tích của hình nón

Khám phá 3 trang 91 Toán 9 Tập 2: Lấy một cái gàu hình nón và một cái bình hình trụ (Hình 8a) có cùng bán kính đáy r và chiều cao h. Múc đầy nước vào gàu rồi đổ qua cái bình. Sau ba lần đổ nước như thế thì cái bình vừa đầy nước (Hình 8b). Tính theo r và h:

a) Thể tích của bình hình trụ;

b) Thể tích của gàu hình nón.

Lời giải:

a) Thể tích của bình hình trụ là: V = πr²h.

b) Trong Hình 8b) ta thấy thể tích cái bình hình trụ gấp 3 lần cái gàu hình nón.

Do đó, thể tích của gàu hình nón là: $V^{\text{'}}=\frac{V}{3}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Thực hành 4 trang 91 Toán 9 Tập 2: Tính thể tích của hình nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 4 cm.

Lời giải:

Thể tích của hình nón nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 4 cm là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 4=48\pi \left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích của hình nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 4 cm là 48π cm³.

Vận dụng trang 91 Toán 9 Tập 2: Từ một khối gỗ có dạng hình lập phương cạnh 6 cm, người ta khoét một hình nón có đường kính mặt đáy là 4 cm và đỉnh của hình nón chạm vào mặt đáy của khối gỗ (Hình 10). Hãy tính thể tích của phần khối gỗ còn lại (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Thể tích khối lập phương là: V₁ = 6³ = 216 (cm³).

Bán kính mặt đáy của phần khoét hình nón là:

r = $\frac{4}{2}$ = 2 (cm).

Thể tích phần khoét hình nón là:

$V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 6=8\pi \left(c{m}^3\right).$

Thể tích khối gỗ còn lại là:

V = V₁ – V₂ = 216 – 8π ≈ 191 (cm³).

Vậy thể tích của phần khối gỗ còn lại khoảng 191 cm³.

Bài tập

Bài 1 trang 92 Toán 9 Tập 2: Trong các hình sau đây, hình nào là hình nón?

Lời giải:

Trong Hình 11, ta thấy:

• Hình 11a) là hình trụ;

• Hình 11b) là hình nón;

• Hình 11c) là hình chóp tam giác;

• Hình 11d) là hình nón.

Vậy trong các hình đã cho, hình 11b) và hình 11d) là hình nón.

Bài 2 trang 92 Toán 9 Tập 2: Hãy cho biết chiều cao, bán kính đáy, độ dài đường sinh và diện tích xung quanh của mỗi hình nón sau:

Lời giải:

a) Hình 12a có chiều cao h = 6 cm; bán kính đáy r = 3 cm.

Đường sinh hình nón là: l = $l=\sqrt{{\text{r}}^2+{\text{h}}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{xq}=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi \left(c{m}^2\right).$

b) Hình 12b) có bán kính đáy r = 3 cm, đường sinh l = 5 cm.

Chiều cao của hình nón là:

${\text{h}}^2=\sqrt{l^2-{\text{r}}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = π . 3 . 5 = 15π (cm²).

c) Hình 12c) có bán kính đáy r = 9 cm, đường sinh l = 15 cm.

Chiều cao của hình nón là:

${\text{h}}^2=\sqrt{l^2-{\text{r}}^2}=\sqrt{{15}^2-9^2}=12\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = π . 9 . 15 = 135π (cm²).

Bài 3 trang 92 Toán 9 Tập 2: Tạo lập hình nón có bán kính đáy bằng 4 cm, chiều cao 7 cm.

Lời giải:

Ta tạo lập hình nón có bán kính đáy bằng 4 cm, chiều cao 7 cm theo các bước sau:

Bước 1: Độ dài đường sinh của hình nón là: $l=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}\approx 8\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$.

Cắt tấm bìa hình quạt tròn có bán kính bằng độ dài đường sinh 8 cm, độ dài cung của hình quạt tròn bằng 8π ≈ 25 (cm).

Bước 2: Cắt tấm bìa hình tròn bán kính 4 cm.

Bước 3: Ghép và dán hai mép quạt lại với nhau sao cho cung của nó tạo thành đường tròn, rồi dán tấm bìa hình tròn ở trên vào làm đáy, ta được hình nón.

Bài 4 trang 92 Toán 9 Tập 2: Tính thể tích của hình nón biết:

a) Bán kính đáy 6 cm, chiều cao 12 cm;

b) Đường kính của mặt đáy là 7 m, chiều cao 10 m;

c) Diện tích đáy 152 cm², chiều cao 6 cm;

d) Chu vi đáy 130 cm, chiều cao 24 cm.

Lời giải:

a) Hình nón có bán kính đáy 6 cm, chiều cao 12 cm.

Thể tích hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2\cdot 12=144\pi \left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích hình nón là 144π cm³.

b) Hình nón có đường kính của mặt đáy là 7 m, chiều cao 10 m;

Bán kính mặt đáy của hình nón là: r = $\frac{7}{2}$ = 3,5 (m).

Thể tích hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(3,5\right)}^2\cdot 10=\frac{245}{6}\pi \left(m^3\right).$

Vậy thể tích hình nón là $\frac{245}{6}\pi m^3.$

c) Hình nón có diện tích đáy 152 cm², chiều cao 6 cm.

Bán kính mặt đáy của hình nón là: $r=\sqrt{\frac{152}{\pi }}\left(cm\right).$

Thể tích hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(\sqrt{\frac{152}{\pi }}\right)}^2\cdot 10=304\left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích hình nón là 304 cm³.

d) Hình nón có chu vi đáy 130 cm, chiều cao 24 cm.

Bán kính mặt đáy của hình nón là: $r=\frac{130}{2\pi }=\frac{65}{\pi }\left(cm\right).$

Thể tích hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{65}{\pi }\right)}^2\cdot 24=\frac{33800}{\pi }\left(c{m}^3\right).$

Vậy thể tích hình nón là $\frac{33800}{\pi }c{m}^3.$

Bài 5 trang 92 Toán 9 Tập 2: Một cái mũ chú hề có kích thước như Hình 13. Hãy tính tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Bán kính đáy của phần mũ hình nón là:

$r=\frac{35-10\cdot 2}{2}=7,5\left(cm\right).$

Diện tích xung quanh của phần mũ hình nón là:

S_xq = πrl = π . 7,5 . 30 = 225π (cm²).

Diện tích của phần vành mũ là:

$S=\pi \cdot {\left(\frac{35}{2}\right)}^2-\pi \cdot {\left(7,5\right)}^2=250\pi \left(c{m}^2\right)$.

Tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) là:

250π + 225π = 475π ≈ 1 492 (cm²).

Vậy tổng diện tích giấy làm nên chiếc mũ (không tính phần hao hụt) khoảng 1 492 cm².

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hình cầu

Bài tập cuối chương 10

Hoạt động 3: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax^2 (a khác 0) bằng phần mềm GeoGebra

Hoạt động 4: Chuyển dữ liệu từ bảng vào biểu đồ trên phần mềm Microsoft Word

Hoạt động 5: Cắt đa giác đều làm vòng quay may mắn