Giải Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tứ giác nội tiếp

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp

Khởi động trang 70 Toán 9 Tập 2: Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A'B'C'D', hãy nêu nhận xét sự khác biệt về vị trí của mỗi hình đối với đường tròn trong hình đó.

Lời giải:

Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A'B'C'D', ta thấy:

• Hình a: Các đỉnh của tứ giác ABCD đều nằm trên đường tròn (O).

• Hình b: Ba đỉnh A', B', C' nằm trên đường tròn (O') nhưng đỉnh D' không nằm trên đường tròn (O').

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Khám phá 1 trang 70 Toán 9 Tập 2: Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?

Lời giải:

Các tứ giác trong Hình 1 đều có các đỉnh nằm trên đường tròn.

Thực hành 1 trang 71 Toán 9 Tập 2: Vẽ một tứ giác nội tiếp hình tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Lời giải:

Ta có thể vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Chẳng hạn:

• Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

• Tứ giác A'B'C'D' không nội tiếp đường tròn (I).

Vận dụng 1 trang 71 Toán 9 Tập 2: Có nhận xét gì về tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3.

Lời giải:

Trong Hình 3, tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn là tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn nên là tứ giác nội tiếp.

2. Tính chất

Khám phá 2 trang 71 Toán 9 Tập 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).

a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp $\widehat{DAB}$ và $\widehat{DCB}.$

b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.

c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc $\widehat{DAB}$ và $\widehat{DCB}.$

d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?

Lời giải:

a) Góc DAB là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

Góc DAB là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

b) Vì $\widehat{DAB}$ là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ nên $\widehat{DAB}$ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung BD nhỏ.

Vì $\widehat{DCB}$ là góc nội tiếp chắn cung BD lớn nên $\widehat{DCB}$ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung BD lớn.

Khi đó ta có: $\widehat{DAB}+\widehat{DCB}=\frac{1}{2}$ (số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn)

   = $\frac{1}{2}$.360^o = 180^o.

c) Tổng số đo của hai góc $\widehat{DAB}$ và $\widehat{DCB}$ bằng 180°.

d) Tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD là 180°

(vì 360° – 180° = 180°).

Thực hành 2 trang 71 Toán 9 Tập 2: Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.

Lời giải:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$; $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$.

Do đó

$\widehat{A}=180°-\widehat{C}=180°-93°=87°;$ $\widehat{D}=180°-\widehat{B}=180°-57°=123°.$

Vậy $\widehat{A}=87°;\widehat{D}=123°.$

Vận dụng 2 trang 71 Toán 9 Tập 2: Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết $\widehat{ABC}=70°,\widehat{ODC}=50°.$ Tìm góc $\widehat{AOD}.$

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O nên $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°$.

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-70°=110°.$

Mà $\widehat{ADO}+\widehat{OCD}=\widehat{ADC}$

nên $\widehat{ADO}=\widehat{ADC}-\widehat{OCD}=110°-50°=60°.$

Vì OA = OD = R nên tam giác OAD cân tại O.

Suy ra $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}=60°$ (tính chất tam giác cân).

Do đó, tam giác OAD đều, suy ra $\widehat{AOD}=60°$.

3. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông

Khám phá 3 trang 72 Toán 9 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông MNPQ (Hình 8).

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.

Lời giải:

a) Độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD là bằng nhau.

Nhận xét:

• Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo.

• Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường chéo của hình chữ nhật.

b) Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là I.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là:

R = IM = IN = IP = IQ = $\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a thì có tâm I và bán kính $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Thực hành 3 trang 73 Toán 9 Tập 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.

Lời giải:

• Hình vuông ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo.

Do đó, đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm O và bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

• Hình chữ nhật STUV có I là giao điểm của hai đường chéo.

Vì STUV là hình chữ nhật nên $\widehat{TSV}=90°$, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$SU=\sqrt{S{T}^2+U{T}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{9}=3.$

Do đó, đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật STUV có tâm G và bán kính là $R=\frac{SU}{2}=\frac{3}{2}.$

Vận dụng 3 trang 73 Toán 9 Tập 2: Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R = 3 cm (Hình 12). Tính diện tích hình vuông đó.

Lời giải:

Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông suy ra độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài của đường chéo hình vuông là: d = 2R = 2 . 3 = 6 (cm).

Độ dài cạnh hình vuông là: $a=\sqrt{\frac{d^2}{2}}=\sqrt{\frac{6^2}{2}}=3\sqrt{2}\left(cm\right).$

Diện tích hình vuông là: $3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=18\left(c{m}^2\right).$

Vậy diện tích hình vuông là 18 cm².

Bài tập

Bài 1 trang 73 Toán 9 Tập 2: Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.

Lời giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{A}+\widehat{C}=180°;\widehat{B}+\widehat{D}=180°.$

Khi đó, ta có bảng sau:

Bài 2 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A', B', C' lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp có trong hình.

Lời giải:

Ta có ∆AB'H vuông tại B' và ∆AC'H vuông tại C' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Suy ra tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Tương tự, ta có tứ giác BA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HC' nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính CH.

Ta lại có ∆AB'B vuông tại B' và ∆AA'B vuông tại A' cùng nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Suy ra tứ giác AB'A'B nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Tương tự, ta có tứ giác BC'B'C nội tiếp đường tròn đường kính BC và tứ giác AC'A'C nội tiếp đường tròn đường kính BH và tứ giác CA'HB' nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Bài 3 trang 74 Toán 9 Tập 2: Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 6 cm, BC = 8 cm;

b) AC = 9 cm.

Lời giải:

a) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right).$

Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính $R=\frac{AC}{2}=5\left(cm\right).$

b) Hình chữ nhật ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo và có độ dài đường chéo

AC = 9 cm.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm I và có bán kính $R=\frac{AC}{2}=4,5\left(cm\right).$

Bài 4 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.

Lời giải:

Đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm I và có bán kính $R=\frac{MP}{2},$

Suy ra MP = 2R.

∆MNP vuông tại Q có $\sqrt{M{Q}^2+Q{P}^2}=MP,$ suy ra $\sqrt{2M{Q}^2}=2R$ nên $MQ=R\sqrt{2}.$

Hình vuông MNPQ có độ dài cạnh và đường chéo lần lượt là R$\sqrt{2}$ và 2R.

Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên MA ⊥ OA hay $\widehat{OAM}=90°.$

Vì I là trung điểm của BC của ∆OBC cân tại O nên OI ⊥ BC hay $\widehat{OIM}=90°.$

Ta có ∆OAM vuông tại A và ∆OIM vuông tại I cùng nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Suy ra AMIO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Bài 6 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp;

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

a) Xét đường tròn đường kính MC có $\widehat{MDC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có ∆BAC vuông tại A và ∆BDC vuông tại D cùng nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Xét đường tròn đường kính MC có $\widehat{MNC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét ∆MBC có NC ⊥ MN, suy ra BC ⊥ MN; MC ⊥ AB; MB ⊥ CD.

Hay MN, AB, CD là các đường cao trong ∆MBC.

Khi đó, MN, AB, CD cùng đi qua một điểm (trực tâm H).

Bài 7 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải:

a) Xét ∆ABM và ∆ADN có:

AB = AD = a;

$\widehat{B}=\widehat{D}=90°;$

$\widehat{MAB}=\widehat{NAD}$ (cùng phụ với $\widehat{D\text{Ax}}).$

Do đó ∆ABM = ∆ADN (cạnh góc vuông – góc nhọn).

b) Vì ∆ABM = ∆ADN nên AM = AN (hai cạnh tương ứng), suy ra ∆NAM cân tại A.

Vì O là trung điểmm của MN nên AO là trung tuyến đồng thời là đường cao của ∆NAM hay AO ⊥ MN.

• ∆ABM vuông tại B và ∆AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Suy ra ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

• ∆ADN vuông tại D và ∆AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN.

Suy ra AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Ta có: BA = BC suy ra điểm B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC;

    DA = DC suy ra điểm D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Tứ giác AMCN có $\widehat{NAM}=\widehat{MCN}=90°$, suy ra tứ giác AMCN nội tiếp đường tròn đường kính MN.

Điểm O là trung điểm MN nên là tâm đường tròn.

Ta có OA = OC suy ra điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm B, D, O cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đa giác đều và phép quay

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Hình trụ

Bài 2: Hình nón

Bài 3: Hình cầu