Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 4 trang 72

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 4 trang 72

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10 cm, $\widehat{C}=60°.$Độ dài hai cạnh còn lại là

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{C}=60°$ , ta có:

• $AB=AC.\tan C=10.\tan 60°=10\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$

• AC = BC . cos C suy ra $BC=\frac{AC}{\cos C}=\frac{10}{\cos 60°}=20\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$ .

Vậy $AB=10\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm};BC=20\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$ .

Bài 2 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm. Tỉ số lượng giác tan C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. 0,87.

B. 0,86.

C. 0,88.

D. 0,89.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$.

Ta có $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{6}=\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0,88$

Bài 3 trang 72 Toán 9 Tập 1: Giá trị của biểu thức B = tan 20° . tan 30° . tan 40° . tan 50° . tan 60° . tan 70° là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

B = tan 20° . tan 30° . tan 40° . tan 50° . tan 60° . tan 70°

= tan 20° . tan 30° . tan 40° . cot (90° − 50°) . cot (90° − 60°) . cot (90° − 70°)

= tan 20° . tan 30° . tan 40° . cot 40° . cot 30° . cot 20°

= (tan 20° . cot 20°) . (tan 30° . cot 30°) . (tan 40° . cot 40°)

= 1 . 1 . 1 = 1.

Vậy giá trị biểu thức B là 1.

Bài 4 trang 72 Toán 9 Tập 1: Một người quan sát tại ngọn hải đăng ở vị trí cao 149 m so với mặt nước biển thì thấy một du thuyền ở xa với góc nghiêng xuống là 27° (Hình 1).

Hỏi thuyền cách xa chân hải đăng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 292 m.

B. 288 m.

C. 312 m.

D. 151 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat{ACB}=90°-27°=63°.$

Xét tam giác ABC, $\widehat{ACB}=63°$ có:

$AB=BC.\tan \widehat{ACB}=149.\tan 63°\approx 292\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Vậy thuyền cách xa chân hải đăng khoảng 292 mét.

Bài 5 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho Hình 2. Độ dài cạnh BC là

A. 4 cm.

B. $8\sqrt{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$.

C. $\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}$.

D. 16 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, $\widehat{C}=30°$ nên AB = BC . sin C.

$BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{8}{\sin 30°}=16\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}.$

Vậy BC = 16 cm.

Bài 6 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác MNP có $\widehat{N}=70°,\widehat{P}=38°,$ đường cao MI = 11,5 cm. Độ dài của cạnh NP của tam giác MNP (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng

A. 20,9 cm.

B. 18,9 cm.

C. 40,6 cm.

D. 16,9 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Xét tam giác MNI vuông tại I, $\widehat{N}=70°$ có:

MI = NI . tan C suy ra $NI=\frac{MI}{\tan C}=\frac{11,5}{\tan 70°}$ .

• Xét tam giác MIP vuông tại I, $\widehat{P}=38°$ có:

MI = IP . tan C suy ra $IP=\frac{MI}{\tan P}=\frac{11,5}{\tan 38°}$ .

Do đó $NP=NI+IP=\frac{11,5}{\tan 70°}+\frac{11,5}{\tan 38°}\approx 18,9\text{ (}cm)$

Vậy độ dài của cạnh NP của tam giác MNP là 18,9 cm.

Bài 7 trang 72 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác MNP có $\widehat{N}=70°,\widehat{P}=38°,$ đường cao MI = 11,5 cm. Độ dài của cạnh NP của tam giác MNP (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng

A. 20,9 cm.

B. 18,9 cm.

C. 40,6 cm.

D. 16,9 cm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

• Xét tam giác MNI vuông tại I,$\widehat{N}=70°$ , ta có:

NI = MI . cot N suy ra $NI=\frac{MI}{\tan N}=\frac{11,5}{\tan 70°}$ .

• Xét tam giác MIP vuông tại I,$\widehat{P}=38°$ , ta có:

NI = IP . cot P suy ra $NI=\frac{IP}{\tan P}=\frac{11,5}{\tan 38°}$ .

Do đó $NP=NI+IP=\frac{11,5}{\tan 70°}+\frac{11,5}{\tan 38°}\approx 18,9\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$ .

Vậy độ dài của cạnh NP của tam giác MNP khoảng 18,9 cm.

Bài 8 trang 72 Toán 9 Tập 1: Một chiếc máy bay lên với tốc độ 450 km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30°. Hỏi sau 3 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay cách mặt đất bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?

A. 10,5 km.

B. 12,75 km.

C. 12 km.

D. 11,25 km.

Lời giải:

Theo đề bài, ta có hình vẽ:

Đổi 3 phút $=\frac{1}{20}$ (giờ).

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Quãng đường máy bay bay được là:

AC $AC=450\cdot \frac{1}{20}=22,5\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(km)}$ .

Suy ra độ cao máy bay bay được sau 3 phút so với mặt đất chính là BC, ta có

BC = AC . sin 30° = 22,5 . sin 30° = 11,25 (km).

Vậy sau 3 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay cách mặt đất 11,25 kilômét theo phương thẳng đứng.

Bài tập tự luận

Bài 9 trang 73 Toán 9 Tập 1: Tìm số đo góc α biết rằng:

a) sin α = 0,25;

b) cos α = 0,75;

c) tan α = 1;

d) cot α = 2.

Lời giải:

a) sin α = 0,25 nên α ≈ 14,5°.

b) cos α = 0,75 nên α ≈ 41,4°.

c) tan α = 1 nên α = 45°.

d) cot α = 2 nên α ≈ 0,02°.

Bài 10 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18 cm, AC = 24 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{{18}^2+{24}^2}=30\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm)}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

Bài 11 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng $\frac{AC}{AB}=\frac{\sin B}{\sin C}.$

Lời giải:

Ta có: $\sin B=\frac{AC}{BC};\sin C=\frac{AB}{BC}.$

Suy ra $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BC}\cdot \frac{BC}{AB}=\frac{AC}{AB}$(đpcm)

Bài 12 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn α biết sin α = 0,8. Tính cos α, tan α và cot α.

Lời giải:

Ta có sin² α + cos² α = 1.

Suy ra $\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\pm \sqrt{1-0,8^2}=\pm \frac{3}{5}$ .

Vì α là góc nhọn nên $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ .

Khi đó, ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{0,8}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{3}{4}.$ /span>

Vậy $\cos \alpha =\frac{3}{5};\tan \alpha =\frac{4}{3};\cot \alpha =\frac{3}{4}.$

Bài 13 trang 73 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = 4 – sin² 45° + 2cos² 60° – 3cot³ 45°;

b) B = tan 45° . cos 30° . cot 30°;

c) C = sin 15° + sin 75° – cos 15° – cos 75° + sin 30°.

Lời giải:

a) A = 4 – sin² 45° + 2cos² 60° – 3cot³ 45°

= 4 – sin²45^o + 2cos²60^o – 3cot³45^o

$=4-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3.1^3$

$=4-\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}-3=1$

Vậy A = 1.

b) B = tan 45° . cos 30° . cot 30°

$=1.\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=3.$

Vậy B = 3.

c) C = sin 15° + sin 75° – cos 15° – cos 75° + sin 30°.

= (sin 15^o – cos 75^o) + (sin 75^o – cos 15^o) + sin 30^o

= (sin 15^o – sin 15^o) + (cos 15^o – cos 15^o) + sin 30^o

$=sin{30}^o=\frac{1}{2}.$

Vậy $C=\frac{1}{2}.$

Bài 14 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác OPQ vuông tại O có $\widehat{P}=39°$ và PQ = 10 cm. Hãy giải tam giác vuông OPQ.

Lời giải:

Ta có $\widehat{Q}=90°-\widehat{P}=90°-39°=51°.$

• Xét tam giác OPQ vuông tại O,$\widehat{P}=39°$ , ta có

OQ = QP . sin 39° = 10 . sin 39° = 6,3 (cm).

• Xét tam giác OPQ vuông tại O,$\widehat{Q}=51°$ , ta có

OP = QP . sin 51° = 10. sin 51° = 7,8 (cm).

Vậy $\widehat{Q}=51°$ , OP = 7,8 cm, OQ = 6,3 cm.

Bài 15 trang 73 Toán 9 Tập 1: Hai điểm P và Q cách nhau 203 m và thẳng hàng với chân của một tòa tháp (Hình 3). Từ đỉnh của tòa tháp đó, một người nhìn thấy hai điểm P, Q với hai góc nghiêng xuống lần lượt là 38° và 44°. Tính chiều cao của tòa tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Ta có >; $\widehat{PMN}=90°-38°=52°$;$\widehat{QMN}=90°-44°=46°$

• Xét tam giác MPN vuông tại N, ta có:

$PN=MN.\tan \widehat{PMN}$

• Xét tam giác MQN vuông tại N, ta có:

$QN=MN.\tan \widehat{QMN}$

Mặt khác, ta có PN – QN = PQ = 203

Suy ra $MN.\tan \widehat{PMN}-MN.\tan \widehat{QMN}=203$

$MN\left(\tan \widehat{PMN}-\tan \widehat{QMN}\right)=203$

$MN=\frac{203}{\tan \widehat{PMN}-\tan \widehat{QMN}}$

$MN=\frac{203}{\tan 52°-\tan 46°}\approx 831\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$

Vậy chiều cao của tòa tháp khoảng 831 m.

Bài 16 trang 73 Toán 9 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy B và C cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo thành một góc 60° (Hình 4). Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí/giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí/giờ. Hỏi sau 1,5 giờ hai tàu B và C cách nhau bao nhiêu hải lí (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Nối B và C. Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB).

Sau 1,5 giờ tàu B chạy được quãng đường là:

AB = 20.1,5 = 30 (hải lí).

Sau 1,5 giờ tàu C chạy được quãng đường là:

AC = 15.1,5 = 22,5 (hải lí).

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

• $CH=AC.sinA=22,5.sin60°=\frac{45\sqrt{3}}{4}$ (hải lí).

• AH = AC . cos A = 22,5 . cos 60° = 11,25 (hải lí).

Do đó BH = AB – AH = 30 – 11,25 = 18,75 (hải lí).

Mặt khác, tam giác CHB vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore ta có:

$BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{{\left(18,75\right)}^2+{\left(\frac{45\sqrt{3}}{4}\right)}^2}\approx 27,04$ (hải lí).

Vậy sau 1,5 giờ tàu B cách tàu C là 27,04 hải lí.