Toán 9 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải Toán 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khởi động trang 60 Toán 9 Tập 1: Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}},$ so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ nên $\tan \widehat{C}=\tan \widehat{C^{\text{'}}}$. (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{C}=\frac{AB}{AC};\tan \widehat{C^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khám phá 1 trang 60 Toán 9 Tập 1: Cho góc nhọn $\widehat{mOn}=\alpha .$ Lấy hai điểm A và A' trên On, kẻ hai đường thẳng qua A và A' vuông góc với On cắt Om lần lượt tại B và B'.

a) Có nhận xét gì về hai tam giác OAB và OA'B' ?

b) So sánh các cặp tỉ số:

$\frac{AB}{OA}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{A}^{\text{'}}};\frac{AB}{OB}$và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}};\frac{OA}{OB}$và $\frac{O{A}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}}.$

Lời giải:

a) Xét ∆OAB và ∆OA'B' có:

$\widehat{OAB}=\widehat{O{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=90°$

$\widehat{AOB}=\widehat{A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}}$(chung gốc O)

Do đó ∆OAB ᔕ ∆OA'B' (g.g).

b) Từ câu a: ∆OAB ᔕ ∆OA'B' suy ra

$\frac{AB}{OA}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{A}^{\text{'}}};\frac{AB}{OB}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}};\frac{OA}{OB}=\frac{O{A}^{\text{'}}}{O{B}^{\text{'}}}.$

Thực hành 1 trang 61 Toán 9 Tập 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn A trong mỗi tam giác vuông ABC có $\widehat{B}=90°$ ở Hình 5 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

• Hình 5a:

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=90°,\widehat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}=0,8;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}=0,6;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}\approx 1,33;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}=0,75.$

• Hình 5b:

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=90°,\widehat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{17}}\approx 0,24;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{4}{\sqrt{17}}\approx 0,97;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{1}{4}=0,25;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{4}{1}=4.$

• Hình 5c:

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC² nên BC² = AC² − AB² = 3² − 2² = 5.

Suy ra $BC=\sqrt{5}$.

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=90°,\widehat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,75;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}\approx 0,67;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,12;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0,89.$

• Hình 5d:

Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại B, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2=10+6=16$.

Suy ra $AC=\sqrt{16}=4$.

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=90°,\widehat{A}=\alpha$.

Ta có:

$\sin \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx 0,61;$

$\cos \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{4}\approx 0,79;$

$\tan \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}\approx 0,77;$

$\cot \alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}\approx 1,29.$

Vận dụng 1 trang 61 Toán 9 Tập 1: Sử dụng tỉ số lượng giác để giải thích tình huống trong Hoạt động khởi động (trang 60).

Tại một thời điểm, khi những tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông như hình bên. Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}},$ so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Lời giải:

Với $\widehat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ nên $\tan \widehat{C}=\tan \widehat{C^{\text{'}}}$. (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{C}=\frac{AB}{AC};\tan \widehat{C^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Khám phá 2 trang 62 Toán 9 Tập 1: a) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a (Hình 6a). Tính độ dài cạnh huyền BC theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 45°.

b) Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng a (Hình 6b). Tính độ dài đường cao MH theo a, rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 30° và góc 60°.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông cân ABC:

• Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $BC=2a^2=a\sqrt{2}$.

• Các tỉ số lượng giác của góc 45° là:

b) Xét tam giác vuông MHN vuông tại H:

• Áp dụng định lý Pythagore, ta có: MN² = MH² + HN².

Suy ra $M{H}^2=M{N}^2-H{N}^2=a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}.$

Suy ra $MH=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$

• Các tỉ số lượng giác của góc 30° là:

• Các tỉ số lượng giác của góc 60° là:

Thực hành 2 trang 62 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải:

Vận dụng 2 trang 62 Toán 9 Tập 1: Tìm chiều cao của tháp canh trong Hình 7 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, ta có: $\tan \widehat{C}=\frac{AB}{BC}.$

Suy ra $AB=BC.\tan \widehat{C}=5,8.\tan 60°=5,8.\sqrt{3}\approx 10,05\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$ .

Vậy chiều cao tháp canh khoảng 10,05 m.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Khám phá 3 trang 63 Toán 9 Tập 1: a) Tính các tỉ số lượng giác của góc α và của góc 90° – α trong Hình 8 theo a, b, c.

b) So sánh $\sin \widehat{B}$ và $\cos \widehat{C}$ , $\cos \widehat{B}$ và $\sin \widehat{C}$ , $\tan \widehat{B}$ và $\cot \widehat{C}$ , $\tan \widehat{C}$ và $\cot \widehat{B}.$

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Ta có:

• Các tỉ số lượng giác của góc α là:

• Các tỉ số lượng giác của góc 90° − α là:

b) So sánh $\sin \widehat{B}$ và $\cos \widehat{C}$ , $\cos \widehat{B}$ và $\sin \widehat{C}$ , $\tan \widehat{B}$ và $\cot \widehat{C}$ , $\tan \widehat{C}$ và $\cot \widehat{B}.$

Ta có $\widehat{C}=\alpha ;\widehat{B}=90°-\alpha$

Từ câu a, ta có:

Vậy $\sin \widehat{B}=\cos \widehat{C};\cos \widehat{B}=\sin \widehat{C};\tan \widehat{B}=\cot \widehat{C};\tan \widehat{C}=\cot \widehat{B}.$

Thực hành 3 trang 63 Toán 9 Tập 1: a) So sánh: sin 72° và cos 18°; cos 72° và sin 18°; tan 72° và cot 18°.

b) Cho biết sin 18° ≈ 0,31; tan 18° ≈ 0,32. Tính cos 72° và cot 72°.

Lời giải:

a) sin 72° = cos (90° – 72°) = cos 18°;

cos 72° = sin(90° – 72°) = sin 18°;

tan 72° = cot(90° – 72°) = cot 18°.

Vậy sin 72° = cos 18°; cos 72° = sin 18°; tan 72° = cot 18°.

b) Theo đề bài ta có: sin 18° ≈ 0,31; tan 18° ≈ 0,32.

Suy ra cos 72° = sin(90° – 72°) = sin 18° ≈ 0,31.

và cot 72° = tan(90° – 72°) = tan 18° ≈ 0,32.

Vậy cos 72° ≈ 0,31 và cot 72° ≈ 0,32.

Vận dụng 3 trang 63 Toán 9 Tập 1: Tia nắng chiếu qua điểm B của nóc tòa nhà tạo với mặt đất một góc x và tạo với cạnh AB của tòa nhà một góc y (Hình 9). Cho biết cos x ≈ 0,78 và cot x ≈ 1,25. Tính sin y và tan y (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau, ta có:

sin y = cos x ≈ 0,78; tan y = cot x ≈ 1,25.

Vậy sin y ≈ 0,78 và tan y ≈ 1,25.

3. Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn bằng máy tính cầm tay

Thực hành 4 trang 65 Toán 9 Tập 1: a) Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn):

22°; 52°; 15°20'; 52°18'.

b) Tìm các góc nhọn x, y, z, t trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm hoặc đến phút):

sin x = 0,723; cos y = 0,828;

tan z = 3,77; cot t = 1,54.

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:

• Các tỉ số lượng giác của các góc 22° là:

sin 22° ≈ 0,375; cos 22° ≈ 0,927;

tan 22° ≈ 0,404; cot 22° ≈ 2,475.

• Các tỉ số lượng giác của các góc 52° là:

sin 52° ≈ 0,788; cos 52° ≈ 0,616;

tan 52° ≈ 1,280; cot 52° ≈ 0,781.

• Các tỉ số lượng giác của các góc 15°20' là:

sin 15°20' ≈ 0,264; cos 15°20' ≈ 0,964;

tan 15°20' ≈ 0,274; cot 15°20' ≈ 3,647.

• Các tỉ số lượng giác của các góc 52°18' là:

sin 52°18' ≈ 0,791; cos 52°18' ≈ 0,6115;

tan 52°18' ≈ 1,294; cot 52°18' ≈ 0,773.

b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta có:

• sin x = 0,723 nên x ≈ 46°18′.

• cos y = 0,828 nên y ≈ 34°6′.

• tan z = 3,77 nên z ≈ 75°8′.

• cot t = 1,54 nên t ≈ 32°59′.

Vận dụng 4 trang 65 Toán 9 Tập 1: a) Vẽ một tam giác vuông có một góc bằng 40°. Đo độ dài các cạnh rồi dùng các số đo để tính các tỉ số lượng giác của góc 40°. Kiểm tra lại các kết quả vừa tính bằng máy tính cầm tay.

b) Vẽ một tam giác vuông có ba cạnh bằng 3 cm, 4 cm, 5 cm. Tính các tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn. Dùng thước đo góc để đo các góc nhọn. Kiểm tra lại các kết quả bằng máy tính cầm tay.

Lời giải:

a) Vẽ tam giác vuông có một góc bằng 40°.

• Chẳng hạn tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}=40°$ .

• Ta đo độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là:

AB = 5 cm, AC = 4 cm và BC ≈ 6,4 cm.

• Từ các độ dài các cạnh đo được, ta có các tỉ số lượng giác của góc 40° như sau:

• Kiểm tra lại bằng máy tính, ta có:

sin 40° ≈ 0,64; cos 40° ≈ 0,77;

tan 40° ≈ 0,84; cot 40° ≈ 1,19.

Nhận xét: Tỉ số lượng giá sau khi vẽ hình, đo độ dài các cạnh và tính so với tính bằng máy tính cầm tay, ta thu được hai kết quả gần bằng nhau.

b) Vẽ một tam giác vuông có ba cạnh bằng 3 cm, 4 cm, 5 cm.

• Chẳng hạn tam giác MNP vuông có MP = 3 cm, MN = 4 cm, NP = 5 cm.

Ta có MP² + MN² = 3² + 4² = 5² = NP².

Theo định lí Pythagore, ta có tam giác MNP vuông tại M.

• Các tỉ số lượng giác của góc N là:

• Vì tam giác MNP vuông tại M nên $\widehat{N}$ và $\widehat{P}$ là hai góc phụ nhau.

Khi đó, các tỉ số lượng giác của góc P là:

Dùng thước đo góc, ta có: $\widehat{P}\approx 53,1°;\widehat{N}\approx 36,9°$.

Từ các tỉ số lượng giác ở trên, sử dụng máy tính cầm tay, ta thu được kết quả xấp xỉ kết quả khi đo góc.

Bài tập

Bài 1 trang 66 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau:

a) BC = 5 cm; AB = 3 cm;

b) BC = 13 cm; AC = 12 cm;

c) $BC=5\sqrt{2}cm;AB=5cm;$

d) $AB=a\sqrt{3};AC=a.$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$(cm).

• Các tỉ số lượng giác của góc B là:

Vậy $\sin B=\frac{4}{5};$$\cos B=\frac{3}{5};$$\tan B=\frac{4}{3};$$\cot B=\frac{4}{3}.$

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$.

• Các tỉ số lượng giác của góc B là:

c) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{{\left(5\sqrt{2}\right)}^2-5^2}=5$(cm).

• Các tỉ số lượng giác của góc B là:

d) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4a^2}=2a$.

• Các tỉ số lượng giác của góc B là:

Bài 2 trang 66 Toán 9 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 3 trang 66 Toán 9 Tập 1: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45°:

a) sin 60°;

b) cos 75°;

c) tan 80°.

Lời giải:

a) sin 60° = cos (90° – 60°) = cos 30°;

b) cos 75° = sin (90° – 75°) = cos 15°;

c) tan 80° = cot (90° – 80°) = cot 10°.

Bài 4 trang 66 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau:

a) 26°;

b) 72°;

c) 81°27'.

Lời giải:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được các tỉ số lượng giác như sau:

a) Tỉ số lượng giác của góc 26° là:

sin 26° ≈ 0,44; cos 26° ≈ 0,9;

tan 26° ≈ 0,49; cot 26° ≈ 2,05.

b) Tỉ số lượng giác của góc 72° là:

sin 72° ≈ 0,95; cos 72° ≈ 0,31;

tan 72° ≈ 3,08; cot 72° ≈ 0,32.

c) Tỉ số lượng giác của góc 81°27' là:

sin 81°27' ≈ 0,99; cos 81°27' ≈ 0,15;

tan 81°27' ≈ 6,65; cot 81°27' ≈ 0,15.

Bài 5 trang 66 Toán 9 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau:

a) cos α = 0,6;

b) $\tan \alpha =\frac{3}{4}.$

Lời giải:

a) Để tìm α khi biết cos α = 0,6, ta ấn liên tiếp các nút sau đây:

Và được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 53,13°.

Khi ta ấn thêm nút thì được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 53°7'.

Vậy α ≈ 53,13° hoặc α ≈ 53°7'.

b) $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ nên α ≈ 36°52'.

Để tìm α khi biết $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ , ta ấn liên tiếp các nút sau đây:

Và được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 36,87°.

Khi ta ấn thêm nút thì được kết quả như hình dưới đây:

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được α ≈ 36°52'.

Vậy α ≈ 36,87° hoặc α ≈ 36°52'.

Bài 6 trang 66 Toán 9 Tập 1: Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc α. Cho biết tòa nhà cao 21 m và bóng của nó trên mặt đất dài 15 m (Hình 10). Tính góc α (kết quả làm tròn đến độ).

Lời giải:

Đặt tam giác ABC như hình vẽ.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$\tan \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được α ≈ 54° (làm tròn đến độ).

Bài 7 trang 66 Toán 9 Tập 1: Một cái thang 12 m được đặt vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 7 m (Hình 11). Tính góc α tạo bởi thang và tường.

Lời giải:

Gọi giao điểm giữa bức tường và mặt đất là C.

Bức tường vuông góc với mặt đất nên AC ⊥ BC hay $\widehat{ACB}=90°$.

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có: $\sin \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{7}{12}$.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta được α ≈ 36° (làm tròn đến độ).