Giải Toán 9 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Phương trình bậc hai một ẩn

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Khởi động trang 11 Toán 9 Tập 2: Sau khi ném theo chiều từ dưới lên, độ cao h (m) của một quả bóng theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức h = 2 + 9 t – 5t². Thời gian từ lúc ném cho đến khi bóng chạm đất là bao lâu?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Khi bóng chạm đất thì chiều cao h = 0 nên ta có phương trình: 2 + 9t – 5t² = 0

Giải phương trình 2 + 9t – 5t² = 0 (t > 0) ta có: a = –5; b = 9; c = 2.

Δ = 9² – 4 . (−5) . 2 = 121 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$t_1=\frac{-9+\sqrt{121}}{2\cdot \left(-5\right)}=\frac{-1}{5}$(loại); $t_2=\frac{-9-\sqrt{121}}{2\cdot \left(-5\right)}=2$ (thỏa mãn).

Vậy thời gian từ lúc ném cho đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

1. Phương trình bậc hai một ẩn

Khám phá 1 trang 11 Toán 9 Tập 2: Một tấm thảm hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 m. Biết diện tích tấm thảm bằng 24 m². Gọi x (m) là chiều rộng tấm thảm (x > 0). Hãy viết phương trình với ẩn x biểu thị mối quan hệ giữa chiều, chiều rộng và diện tích của tấm thảm.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều rộng tấm thảm (x > 0) suy ra chiều dài là x + 2 (m).

Biết diện tích tấm thảm bằng 24 m² nên ta có phương trình:

x.(x + 2) = 24 hay x² + 2x = 24.

Vậy phương trình với ẩn x biểu thị mối quan hệ giữa chiều, chiều rộng và diện tích của tấm thảm là x² + 2x = 24.

Thực hành 1 trang 11 Toán 9 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai một ẩn đó.

a) −7x² = 0;

b) $-12x^2+7x-\sqrt{3}=0;$

c) x³ + 5x – 6 = 0;

d) x² – (m + 2)x + 7 = 0 (m là số đã cho).

Lời giải:

a) Phương trình −7x² = 0 là phương trình bậc hai một ẩn với a = −7; b = 0; c = 0.

b) Phương trình $-12x^2+7x-\sqrt{3}=0$ là phương trình bậc hai một ẩn với a = −12; b = 7; $c=-\sqrt{3}$ .

c) Phương trình x³ + 5x – 6 = 0 không là phương trình bậc hai một ẩn vì số hạng x³ có chứa bậc 3.

d) Phương trình x² – (m + 2)x + 7 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn với a = 1;

b = –(m + 2) ; c = 7.

2. Giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt

Khám phá 2 trang 12 Toán 9 Tập 2: a) Bằng cách đưa về phương trình tích, hãy giải các phương trình sau:

i) 3x² – 12x = 0;

ii) x² – 16 = 0.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng các phép biến đổi nào?

Lời giải:

a) i) 3x² – 12x = 0

3x(x – 4) = 0

x = 0 hoặc x – 4 = 0

x = 0 hoặc x = 4.

Vậy phương trình 3x² – 12x = 0 có hai nghiệm x = 0 và x = 4.

ii) x² – 16 = 0

(x – 4)(x + 4) = 0

x – 4 = 0 hoặc x + 4 = 0

x = 4 hoặc x = –4.

Vậy phương trình x² – 16 = 0 có hai nghiệm x = –4 và x = 4.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức.

Thực hành 2 trang 12 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 3x² – 27 = 0;

b) x² – 10x + 25 = 16.

Lời giải:

a) 3x² – 27 = 0

3x² = 27

x² = 9

x = 3 hoặc x = –3.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = –3.

b) x² – 10x + 25 = 16

(x – 5)² = 16

(x – 5)² = 4²

x – 5 = 4 hoặc x – 5 = –4

x = 9 hoặc x = 1.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 9 và x = 1.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Khám phá 3 trang 13 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình bậc hai x² – 4x + 3 = 0.

a) Thay mỗi dấu bằng số thích hợp để viết lại phương trình đã cho thành:

b) Giải phương trình (*), từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Ta có x² – 4x + 3 = 0

x² – 4x + 4 = 1

x² – 2 . 2x + 2² = 1

(x – 2)² = 1.

Vậy ta điền như sau: $x^2–4x+4=\boxed{1}$ hay ${\left(x-2\right)}^2=\boxed{1}.$

b) Giải phương trình (*), ta được:

(x – 2)² = 1

x – 2 = 1 hoặc x – 2 = –1

x = 3 hoặc x = 1.

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x = 3 và x = 1.

Thực hành 3 trang 14 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 7x² – 3x + 2 = 0;

b) $3x^2–2\sqrt{3}x+1=0;$

c) –2x² + 5x + 2 = 0.

Lời giải:

a) 7x² – 3x + 2 = 0

Ta có a = 7; b = –3; c = 2 nên ∆ = (–3)² – 4 . 7 . 2 = –47 < 0.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $3x^2–2\sqrt{3}x+1=0$

Ta có $a=3;b=–2\sqrt{3};c=25$ nên $\Delta ={\left(–2\sqrt{3}\right)}^2–4\cdot 3\cdot 1=0.$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

c) –2x² + 5x + 2 = 0.

Ta có a = –2; b = 5; c = 2 nên ∆ = 5² – 4 . (–2) . 2 = 41 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{41}}{-4}=\frac{5-\sqrt{41}}{4};x_2=\frac{-5-\sqrt{41}}{-4}=\frac{5+\sqrt{41}}{4}.$

Thực hành 4 trang 14 Toán 9 Tập 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) 5x² – 12x + 4 = 0;

b) $5x^2–2\sqrt{5}x+1=0.$

Lời giải:

a) 5x² – 12x + 4 = 0

Ta có a = 5; b' = –6; c = 4 nên ∆' = (–6)² – 5 . 4 = 16 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{6+\sqrt{16}}{5}=2;x_2=\frac{6-\sqrt{16}}{5}=\frac{2}{5}.$

b) $5x^2–2\sqrt{5}x+1=0$

Ta có $a=5;b^{\text{'}}=–\sqrt{5};c=1$ nên ${\Delta }^{\text{'}}={\left(–\sqrt{5}\right)}^2–5\cdot 1=0.$

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Vận dụng trang 14 Toán 9 Tập 2: Trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 11).

Lời giải:

Khi bóng chạm đất thì chiều cao h = 0 nên ta có phương trình: 2 + 9t – 5t² = 0

Giải phương trình 2 + 9t – 5t² = 0 (t > 0) ta có: a = –5; b = 9; c = 2.

Δ = 9² – 4 . (−5) . 2 = 121 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$t_1=\frac{-9+\sqrt{121}}{2\cdot \left(-5\right)}=\frac{-1}{5}$(loại); $t_2=\frac{-9-\sqrt{121}}{2\cdot \left(-5\right)}=2$ (thỏa mãn).

Vậy thời gian từ lúc ném cho đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

4. Tìm nghiệm phương trình bậc hai một ẩn băng máy tính cầm tay

Thực hành 5 trang 16 Toán 9 Tập 2: Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau bằng máy tính cầm tay.

a) 3x² – 8x + 4 = 0;

b) $5x^2–2\sqrt{5}x+12=0;$

c) 2x² – 8x + 8 = 0

Lời giải:

− Ấn nút ON để khởi động máy.

− Ấn nút MODE, màn hình máy sẽ hiện ra các dòng như hình:

− Ấn nút 3.

a) 3x² – 8x + 4 = 0

− Nhập các hệ số như sau:

Màn hình xuất hiện như hình bên:
− Ấn nút , kết quả xuất hiện như hình bên:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 và $x=\frac{2}{3}.$

b) $5x^2–2\sqrt{5}x+12=0$

− Nhập các hệ số như sau:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 2x² – 8x + 8 = 0

− Nhập các hệ số như sau:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép x = 2.

5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

Khám phá 4 trang 16 Toán 9 Tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100 m, diện tích 576 m². Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (0 < x < 50). Hãy lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (0 < x < 50).

Ta có chu vi 100 m nên chiều dài của mảnh đất là: 50 – x (m).

Mặt khác, diện tích là 576 m² nên ta có phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất là:

x(50 – x) = 576 suy ra –x² + 50x – 576 = 0.

Vậy phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất là –x² + 50x – 576 = 0.

Thực hành 6 trang 17 Toán 9 Tập 2: Một sân khấu ngoài trời có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng 2 m, độ dài đường chéo là 10 m. Tính diện tích của sân khấu đó.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều rộng của sân khấu (0 < x < 10).

Suy ra, chiều dài của sân khấu là: x + 2 (m).

Ta có độ dài đường chéo hình chữ nhật là 10 m nên áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông thuộc hình chữ nhật ta được:

x² + (x + 2)² = 10²

x² + x² + 4x + 4 – 100 = 0

2x² + 4x – 96 = 0

x² + 2x – 48 = 0.

Giải phương trình trên, ta được:

x₁ = 6 (thỏa mãn), x₂ = −8 (loại).

Suy ra chiều rộng của sân khấu là 6 m, chiều dài là 8 m.

Vậy diện tích của sân khấu là S = 6 . 8 = 48 (m²).

Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) 5x² + 7x = 0;

b) 5x² – 15 = 0.

Lời giải:

a) 5x² + 7x = 0

x(5x + 7) = 0

x = 0 hoặc 5x + 7 = 0

x = 0 hoặc $x=\frac{-7}{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 và $x=\frac{-7}{5}$.

b) 5x² – 15 = 0

5x² = 15

x² = 3

$x=\pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=\pm \sqrt{3}$

Bài 2 trang 17 Toán 9 Tập 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) x² – x – 20 = 0;

b) 6x² – 11x – 35 = 0;

c) 16y² + 24y + 9 = 0;

d) 3x² + 5x + 3 = 0;

e) $x^2–2\sqrt{3}x-6=0;$

g) $x^2–\left(2+\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0.$

Lời giải:

a) x² – x – 20 = 0

Ta có a = 1; b = –1; c = –20 nên ∆ = (–1)² – 4 . 1 . (–20) = 81 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{1+\sqrt{81}}{2}=5;x_2=\frac{1-\sqrt{81}}{2}=-4.$

b) 6x² – 11x – 35 = 0

Ta có a = 6; b = –11; c = –35 nên ∆ = (–11)² – 4 . 6 . (–11) = 961 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{11+\sqrt{961}}{2\cdot 6}=\frac{7}{2};x_2=\frac{11-\sqrt{961}}{2\cdot 6}=-\frac{5}{3}.$

c) 16y² + 24y + 9 = 0

Ta có a = 16; b' = 12; c = 9 nên ∆' = 12² – 16 . 9 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{12}{16}=-\frac{3}{4}.$

d) 3x² + 5x + 3 = 0

Ta có a = 3; b = 5; c = 3 nên ∆ = 3² – 4 . 5 . 3 = –51 < 0.

Vậy phương trình vô nghiệm.

e) $x^2–2\sqrt{3}x-6=0$

Ta có $a=1;b^{\text{'}}=–\sqrt{3};c=-6$ nên ${\Delta }^{\text{'}}={\left(–\sqrt{3}\right)}^2-1\cdot \left(-6\right)=3+6=9$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{9}}{1}=3+\sqrt{3};x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{9}}{1}=-3+\sqrt{3}.$

g) $x^2–\left(2+\sqrt{3}\right)x+2\sqrt{3}=0$

Ta có $a=1;b=–\left(2+\sqrt{3}\right);c=2\sqrt{3}$ nên

$\Delta ={\left[–\left(2+\sqrt{3}\right)\right]}^2-4\cdot 1\cdot 2\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-8\sqrt{3}=7-4\sqrt{3}$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{2}=2;x_2=\frac{2+\sqrt{3}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}}{1}=\sqrt{3}.$

Bài 3 trang 17 Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình:

a) x(x + 8) = 20;

b) x(3x – 4) = 2x² + 5;

c) (x – 5)² + 7x = 65;

d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3).

Lời giải:

a) x(x + 8) = 20

x² + 8x – 20 = 0

Ta có a = 1; b' = 4; c = –20 nên ∆' = 4² – 1 . (–20) = 36 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{-4+\sqrt{36}}{1}=2;x_2=\frac{-4-\sqrt{36}}{1}=-10.$

b) x(3x – 4) = 2x² + 5

3x² – 4x = 2x² + 5

x² – 4x – 5 = 0

Ta có a = 1; b' = –2; c = –5 nên ∆' = (–2)² – 1 . (–5) = 9 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{2+\sqrt{9}}{1}=5;x_2=\frac{2-\sqrt{9}}{1}=-1.$

c) (x – 5)² + 7x = 65

x² – 10x + 25 + 7x = 65

x² – 3x – 40 = 0

Ta có a = 1; b = –3; c = –40 nên ∆ = (–3)² – 4 . 1 . (–40) = 169 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{3+\sqrt{169}}{2}=8;x_2=\frac{3-\sqrt{169}}{2}=-5.$

d) (2x + 3)(2x – 3) = 5(2x + 3)

4x² – 9 = 10x + 15

4x² – 10x – 24 = 0

2x² – 5x – 12 = 0

Ta có a = 2; b = –5; c = –12 nên ∆ = (–5)² – 4 . 2 . (–12) = 121 > 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=\frac{5+\sqrt{121}}{4}=4;x_2=\frac{5-\sqrt{121}}{4}=\frac{-3}{2}.$

Bài 4 trang 17 Toán 9 Tập 2: Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài 150 km. Hai ô tô khởi động cùng một lúc từ A đến B. Biết tốc độ ô tô thứ nhất lớn hơn tốc độ ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính tốc độ của mỗi xe.

Lời giải:

Gọi tốc độ ô tô thứ nhất là x (km/h) (x > 0)

Suy ra tốc độ ô tô thứ hai là x – 10 (km/h)

Thời gian ô tô thứ hai đi từ thành phố A đến thành phố B là: $\frac{150}{x-10}$(giờ).

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ thành phố A đến thành phố B là: $\frac{150}{x}$ (giờ).

Vì ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{150}{x-10}-\frac{150}{x}=\frac{1}{2}$

Biến đổi phương trình trên, ta được:

150 . 2 . x – 2 . 150(x – 10) = x(x – 10) hay x² − 10x − 3 000 = 0.

Giải phương trình trên, ta được: x₁ = 60 (thỏa mãn), x₂ = −50 (loại).

Vậy tốc độ của ô tô thứ nhất là 60 km/h, ô tô thứ hai là 50 km/h.

Bài 5 trang 17 Toán 9 Tập 2: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta để một lối đi xung quanh vườn rộng 2 m. Phần đất còn lại dùng để trồng rau có diện tích 4 256 m² (Hình 1). Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó.

Lời giải:

Nửa chu vi của vườn là: 280 : 2 = 140 (m).

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m) (70 < x < 140).

Suy ra chiều rộng là 140 – x (m).

Mỗi bên để 2 m nên chiều dài của đất để lại trồng trọt chỉ còn x – 4 (m) và chiều rộng là 140 – x – 4 = 136 – x (m).

Theo bài ra, ta có phương trình: (x – 4)(136 – x) = 4256

Suy ra x² − 140x + 4 800 = 0

Giải phương trình trên ta có:

x₁ = 60 (loại), x₂ = 80 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của khu vườn là 80 m và chiều rộng là 60 m.

Bài 6 trang 17 Toán 9 Tập 2: Nếu đổ thêm 250 g nước vào một dung dịch chứa 50 g muối thì nồng độ dung dịch sẽ giảm 10%. Tính nồng độ dung dịch lúc đầu.

Lời giải:

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là x (g) (x > 0).

Khối lượng dung dịch khi đó là x + 50 (g).

Nồng độ muối trong dung dịch khi đó là: $\frac{50}{x+50}$.

Nếu đổ thêm 250 g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch là:

x + 50 + 250 = x + 300 (g)

Nồng độ dung dịch lúc này là $\frac{50}{x+300}$.

Vì nồng độ dung dịch giảm 10% nên ta có phương trình:

$\frac{50}{x+50}-\frac{50}{x+300}=10\%$

Suy ra x² + 350x – 110 000 = 0

Giải phương trình trên, ta được:

x₁ = 200 (thỏa mãn), x₂ = 550 (loại)

Vậy trước khi đổ nước vào dung dịch có 200 g nước.

Nồng độ lúc đầu dung dịch là $\frac{50}{200+50}=\frac{1}{5}\%=0,2\%.$

Vậy nồng độ lúc đầu dung dịch là 0,2%.

Bài 7 trang 17 Toán 9 Tập 2: Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xen còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết rằng khối lượng chở ở mỗi xe là như nhau.

Lời giải:

Gọi số xe được điều đến chở hàng là x (xe).

Số xe thực tế chở hàng là: x – 2 (xe).

Số hàng mỗi xe chở thực tế là: $\frac{90}{x-2}$ (tấn).

Số hàng mỗi xe chở theo dự định là: $\frac{90}{x}$ (tấn).

Theo bài ra ta có phương trình: $\frac{90}{x}+0,5=\frac{90}{x-2}$ suy ra x² − 2x − 360 = 0

Giải phương trình trên, ta được: x₁ = 20 (thỏa mãn), x₂ = −18 (loại).

Vậy số xe được điều đến chở hàng là 20 xe.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3: Định lí Viète

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối