Giải Toán 9 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Định lí Viète

Với giải bài tập Toán 9 Bài 3: Định lí Viète sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 9.

1 125 04/08/2024


Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Khởi động trang 18 Toán 9 Tập 2: Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m2. Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Khởi động trang 18 Toán 9 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 9

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x1 + x2 = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m2 hay x1 . x2 = 884.

Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 60x + 884 = 0.

Ta có Δ'=3021884=16>0;  Δ'=16=4.

Do đó x1=30+41=34;  x2=3041=26 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

1. Định lí Viète

Khám phá 1 trang 18 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Tính x1 + x2 và x1 . x2.

Lời giải:

Phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 nên ta có:

x1+x2=b+Δ2a+bΔ2a=2b2a=ba;

x1x2=b+Δ2abΔ2a=b2Δ4a2=b2b24ac4a2=4ac4a2=ca.

Vậy x1+x2=ba;  x1x2=ca.

Thực hành 1 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) x227x+7=0;

b) 15x2 – 2x – 7 = 0;

c) 35x2 – 12x + 2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có Δ=272417=0 nên phương trình có nghiệm kép x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=27;  x1x2=7.

b) Ta có Δ=224157=424>0 nên phương trình có hai nghiệm x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=215;  x1x2=715.

c) Ta có Δ=1224352=136<0 nên phương trình vô nghiệm.

Thực hành 2 trang 19 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 + 4x – 21 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) 2x1+2x2;

b) x12+x22x1x2.

Lời giải:

Phương trình x2 + 4x – 21 = 0 có ∆' = 42 – 4 . (–21) = 100 > 0

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=41=4;  x1x2=211=21.

a) Ta có 2x1+2x2=2x1+x2x1x2=2421=821.

Vậy 2x1+2x2=821.

b) Ta có x12+x22x1x2=x12+2x1x2+x223x1x2=x1+x223x1x2

= (–4)2 – 3. (–21) = 79.

Vậy x12+x22x1x2=79.

Thực hành 3 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x2 – 27x + 342 = 0;

b) 2 022x2 + 2 023x + 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình –315x2 – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=342315=3835.

b) Phương trình 2 022x2 + 2 023x + 1 = 0 có a – b + c = 2 022 – 2 023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=12  022

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Khám phá 2 trang 20 Toán 9 Tập 2: Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay vào uv = 15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Lời giải:

a) Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:

(8 – v)v = 15 hay 8v – v2 = 15.

Vậy phương trình ẩn v nhận được là 8v – v2 = 15.

b) Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:

u(8 – u) = 15 hay 8u – u2 = 15.

Vậy phương trình ẩn u nhận được là 8u – u2 = 15.

Thực hành 4 trang 20 Toán 9 Tập 2:

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Lời giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 15x + 44 = 0.

Ta có: Δ = (−15)2 – 4 . 1 . 44 = 49 > 0.

Do đó x1=15+492=11;  x2=15492=4.

Vậy hai số cần tìm là 11 và 4.

b) Để tồn tại hai số a và b phải thỏa mãn S2 − 4P ≥ 0.

Ta có 72 – 4 . 13 = −3 < 0.

Suy ra không tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13.

Vận dụng trang 20 Toán 9 Tập 2: Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong Hoạt động khởi động (trang 18).

Lời giải:

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x1 + x2 = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m2 hay x1 . x2 = 884.

Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 60x + 884 = 0.

Ta có Δ'=3021884=16>0;  Δ'=16=4.

Do đó x1=30+41=34;  x2=3041=26 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

Bài tập

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) 3x2 – 9x + 5 = 0;

b) 25x2 – 20x + 4 = 0;

c) 5x2 – 9x + 15 = 0.

d) 5x223x3=0.

Lời giải:

a) Ta có Δ = (−9)2 – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=93=3;  x1x2=53.

b) Ta có Δ = (−20)2 – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=2025=45;  x1x2=425.

c) Ta có Δ = (−9)2 – 4 . 5 . 15 = –219 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có Δ=232453=72>0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=235=3;  x1x2=35.

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x2 – 19x – 5 = 0;

b) 2,5x2 + 7,2x + 4,7 = 0;

c) 32x2+5x+72=0;

d) 2x22+3x+3=0

Lời giải:

a) Phương trình 24x2 – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=524.

b) Phương trình 2,5x2 + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=4,72,5=4725.

c) Phương trình 32x2+5x+72=0ab+c=325+72=0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=72:32=73.

d) Phương trình 2x22+3x+3=0a+b+c=22+3+3=0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1=1;  x2=ca=32.

Bài 3 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;

b) u + v = –6, uv = –135;

c) u + v = 5, uv = 24.

Lời giải:

a) Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 suy ra 292 – 4 . 154 = 225 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 29x + 154 = 0.

Ta có Δ=29241154=225>0;  Δ=225=15.

Suy ra u=29+152=22;  v=29152=17.

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

b) Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 suy ra (–6)2 – 4 . (–135) = 576 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 + 6x –135 = 0.

Ta có Δ'=321135=144>0;  Δ=144=12.

Suy ra u=3+121=9;  v=3121=15.

Vậy hai số cần tìm là 9 và –15 .

c) Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 mà 52 – 4 . 24 = –71 < 0.

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x2 – 19x – 5 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) A=x12+x22;

b) B=2x1+2x2;

c) C=3x1+2+3x2+2.

Lời giải:

Phương trình x2 – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)2 – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

Theo định lí Viète, ta có: x1+x2=ba=19;  x1x2=ca=5.

a) Ta có A=x12+x22=x12+2x1x2+x222x1x2

=x1+x222x1x2= 192 – 2 . (–5) = 371.

Vậy A=x12+x22=371.

b) Ta có B=2x1+2x2=2x1+x2x1x2=2195=385.

Vậy B=2x1+2x2=385 .

c) Ta có C=3x1+2+3x2+2=3x2+2+x1+2x1+2x2+2

=3x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4=319+45+219+4=6937.

Vậy C=3x1+2+3x2+2=6937.

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 116).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 1162=58 (m) hay x1 + x2 = 58.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m2 hay x1 . x2 = 805.

Khi đó, x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 58x + 805 = 0

Ta có Δ'=2921805=36;  Δ'=36=6.

Suy ra x1=29+61=35;  x2=2961=23 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Bài 3: Biểu diễn số liệu ghép nhóm

1 125 04/08/2024