Giải Toán 9 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Định lí Viète

Giải bài tập Toán 9 Bài 3: Định lí Viète

Khởi động trang 18 Toán 9 Tập 2: Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m². Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Lời giải:

Sau bài học này ta giải quyết được bài toán như sau:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x₁ + x₂ = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m² hay x₁ . x₂ = 884.

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 60x + 884 = 0.

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-30\right)}^2-1\cdot 884=16>0;\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{16}=4$.

Do đó $x_1=\frac{30+4}{1}=34;x_2=\frac{30-4}{1}=26$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

1. Định lí Viète

Khám phá 1 trang 18 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình ax² + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁ + x₂ và x₁ . x₂.

Lời giải:

Phương trình ax² + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ nên ta có:

• $x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{2b}{2a}=-\frac{b}{a};$

• $x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{{\left(-b\right)}^2-\Delta }{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

Vậy $x_1+x_2=-\frac{b}{a};x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Thực hành 1 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) $x^2-2\sqrt{7}x+7=0;$

b) 15x² – 2x – 7 = 0;

c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có $\Delta ={\left(-2\sqrt{7}\right)}^2-4\cdot 1\cdot 7=0$ nên phương trình có nghiệm kép x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=2\sqrt{7};x_1\cdot x_2=7.$

b) Ta có $\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 15\cdot \left(-7\right)=424>0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{2}{15};x_1\cdot x_2=\frac{-7}{15}.$

c) Ta có $\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 35\cdot 2=-136<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Thực hành 2 trang 19 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + 4x – 21 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2};$

b) $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2.$

Lời giải:

Phương trình x² + 4x – 21 = 0 có ∆' = 42 – 4 . (–21) = 100 > 0

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=-\frac{4}{1}=-4;x_1\cdot x_2=-\frac{21}{1}=-21.$

a) Ta có $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1\cdot x_2}=\frac{2\cdot \left(-4\right)}{-21}=\frac{8}{21}.$

Vậy $\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{8}{21}.$

b) Ta có $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-3x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2$

= (–4)² – 3. (–21) = 79.

Vậy $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=79.$

Thực hành 3 trang 19 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x² – 27x + 342 = 0;

b) 2 022x² + 2 023x + 1 = 0.

Lời giải:

a) Phương trình –315x² – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{342}{-315}=\frac{-38}{35}$.

b) Phương trình 2 022x² + 2 023x + 1 = 0 có a – b + c = 2 022 – 2 023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{2022}$

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Khám phá 2 trang 20 Toán 9 Tập 2: Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay vào uv = 15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Lời giải:

a) Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:

(8 – v)v = 15 hay 8v – v² = 15.

Vậy phương trình ẩn v nhận được là 8v – v² = 15.

b) Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:

u(8 – u) = 15 hay 8u – u² = 15.

Vậy phương trình ẩn u nhận được là 8u – u² = 15.

Thực hành 4 trang 20 Toán 9 Tập 2:

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Lời giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² − 15x + 44 = 0.

Ta có: Δ = (−15)² – 4 . 1 . 44 = 49 > 0.

Do đó $x_1=\frac{15+\sqrt{49}}{2}=11;x_2=\frac{15-\sqrt{49}}{2}=4.$

Vậy hai số cần tìm là 11 và 4.

b) Để tồn tại hai số a và b phải thỏa mãn S² − 4P ≥ 0.

Ta có 72 – 4 . 13 = −3 < 0.

Suy ra không tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13.

Vận dụng trang 20 Toán 9 Tập 2: Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong Hoạt động khởi động (trang 18).

Lời giải:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 60).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay x₁ + x₂ = 60.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m² hay x₁ . x₂ = 884.

Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 60x + 884 = 0.

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-30\right)}^2-1\cdot 884=16>0;\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{16}=4$.

Do đó $x_1=\frac{30+4}{1}=34;x_2=\frac{30-4}{1}=26$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

Bài tập

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) 3x² – 9x + 5 = 0;

b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) 5x² – 9x + 15 = 0.

d) $5x^2-2\sqrt{3}x-3=0.$

Lời giải:

a) Ta có Δ = (−9)² – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{9}{3}=3;x_1\cdot x_2=\frac{5}{3}.$

b) Ta có Δ = (−20)² – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{-20}{25}=\frac{-4}{5};x_1\cdot x_2=\frac{4}{25}.$

c) Ta có Δ = (−9)² – 4 . 5 . 15 = –219 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có $\Delta ={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2–4\cdot 5\cdot \left(-3\right)=72>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{2\sqrt{3}}{5}=3;x_1\cdot x_2=\frac{-3}{5}.$

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;

b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0;$

d) $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0$

Lời giải:

a) Phương trình 24x² – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{24}.$

b) Phương trình 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{4,7}{2,5}=-\frac{47}{25}.$

c) Phương trình $\frac{3}{2}{x}^2+5x+\frac{7}{2}=0$ có $a-b+c=\frac{3}{2}-5+\frac{7}{2}=0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{7}{2}:\frac{3}{2}=-\frac{7}{3}.$

d) Phương trình $2x^2-\left(2+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}=0$ có $a+b+c=2-\left(2+\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=0$.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Bài 3 trang 21 Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;

b) u + v = –6, uv = –135;

c) u + v = 5, uv = 24.

Lời giải:

a) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 suy ra 29² – 4 . 154 = 225 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² − 29x + 154 = 0.

Ta có $\Delta ={29}^2-4\cdot 1\cdot 154=225>0;\sqrt{\Delta }=\sqrt{225}=15.$

Suy ra $u=\frac{29+15}{2}=22;v=\frac{29-15}{2}=17.$

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

b) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 suy ra (–6)² – 4 . (–135) = 576 ≥ 0.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x² + 6x –135 = 0.

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}=3^2-1\cdot \left(-135\right)=144>0;\sqrt{\Delta }=\sqrt{144}=12.$

Suy ra $u=\frac{-3+12}{1}=9;v=\frac{-3-12}{1}=-15.$

Vậy hai số cần tìm là 9 và –15 .

c) Điều kiện để có hai số đó là: S² − 4P ≥ 0 mà 5² – 4 . 24 = –71 < 0.

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² – 19x – 5 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=x_1^2+x_2^2;$

b) $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2};$

c) $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}.$

Lời giải:

Phương trình x² – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)² – 4 . 1 . (–5) = 381 > 0 nên nó có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=\frac{-b}{a}=19;x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=-5.$

a) Ta có $A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2$

$={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$= 19² – 2 . (–5) = 371.

Vậy $A=x_1^2+x_2^2=371.$

b) Ta có $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=\frac{2\left(x_1+x_2\right)}{x_1\cdot x_2}=\frac{2\cdot 19}{-5}=-\frac{38}{5}$.

Vậy $B=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}=-\frac{38}{5}$ .

c) Ta có $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}=\frac{3\left(x_2+2+x_1+2\right)}{\left(x_1+2\right)\left(x_2+2\right)}$

$=\frac{3\left(x_1+x_2+4\right)}{x_1{x}_2+2\left(x_1+x_2\right)+4}=\frac{3\cdot \left(19+4\right)}{-5+2\cdot 19+4}=\frac{69}{37}.$

Vậy $C=\frac{3}{x_1+2}+\frac{3}{x_2+2}=\frac{69}{37}.$

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi x₁, x₂ (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x₁, x₂ < 116).

Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là $\frac{116}{2}=58$ (m) hay x₁ + x₂ = 58.

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m² hay x₁ . x₂ = 805.

Khi đó, x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² − 58x + 805 = 0

Ta có ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-29\right)}^2-1\cdot 805=36;\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{36}=6.$

Suy ra $x_1=\frac{29+6}{1}=35;x_2=\frac{29-6}{1}=23$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Bảng tần số và biểu đồ tần số

Bài 2: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

Bài 3: Biểu diễn số liệu ghép nhóm