Toán 9 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khởi động trang 15 Toán 9 Tập 1: Tại một cửa hàng, chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng; chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng. Làm thế nào để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò?

Lời giải:

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò (x, y > 0)

Giá tiền 1,2 kg thịt lợn ta có 1,2x (kg).

Giá tiền 0,7 kg thịt lợn ta có 0,7y (kg).

Số tiền chị An mua là hết 362 000 đồng nên ta có 1,2x + 0,7y = 362 000. (1)

Giá tiền 0,8 kg thịt lợn là 0,8x (kg).

Giá tiền 0,5 kg thịt bò là 0,5y (kg).

Số tiền chị Ba mua là hết 250 000 đồng nên ta có 0,8x + 0,5y = 250 000. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}\right.$

Để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò thì ta cần giải phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}\right.$.

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Khám phá 1 trang 15 Toán 9 Tập 1: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=1\left(1\right)\\ -2x+3y=-1.\left(2\right)\end{array}\right.$

Thực hiện giải hệ phương trình này theo hướng dẫn sau:

– Từ phương trình (1), hãy biểu diễn x theo y.

– Thế x được biểu diễn ở trên vào phương trình (2), để nhận được một phương trình ẩn y.

– Giải phương trình ẩn y đó, rồi suy ra nghiệm của hệ.

Lời giải:

– Từ phương trình (1), ta có x = 2y + 1.

– Thế x = 2y + 1 vào phương trình (2), ta có –2(2y + 1) + 3y = –1.

– Giải phương trình ẩn y thu được:

–2(2y + 1) + 3y = –1

–4y – 2 + 3y = –1

4y – 3y = –2 + 1

y = –1.

Suy ra x = 2 . (–1) + 1 = (–2) + 1 = –1.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (–1; –1).

Thực hành 1 trang 16 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=-2\\ 5x-4y=11;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=-5\\ -2x+y=11;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=2\\ 6x+2y=4.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y=-2\\ 5x-4y=11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-2y-2\\ 5\left(-2y-2\right)-4y=11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-2y-2\\ -10y-10-4y=11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-2y-2\\ 14y=-21\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(1;-\frac{3}{2}\right)$.

b) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=-5\\ -2x+y=11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+5\\ -2x+\left(2x+5\right)=11\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+5\\ 0x=6\end{array}\right.$

Phương trình 0x = 6 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=2\\ 6x+2y=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2-3x\\ 6x+2\left(2-3x\right)=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2-3x\\ 6x+4-6x=4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2-3x\\ 0x=0\end{array}\right.$

Phương trình 0x = 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm của hệ được viết như sau: $\left\{\begin{array}{l}x\in ℝ\\ y=2-3x.\end{array}\right.$

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Khám phá 2 trang 17 Toán 9 Tập 1: Cho hệ hai phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ x+y=5;\end{array}\right.\left(I\right) và \left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=5.\end{array}\right.\left(II\right)$

a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?

b) Bằng cách cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả nhận được?

Lời giải:

a) Xét hệ (I): $\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ x+y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$

Do đó, hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất là (2; 3).

Xét hệ (II): $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ x+2x-1=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 3x=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2x-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}\right.$

Do đó, hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất là (2; 3).

Nhận xét: Hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) có nghiệm như nhau.

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận được một phương trình 3x = 6.

Thay phương trình thứ nhất của hệ (II) bằng phương trình 3x = 6, ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ x+y=5\end{array}\right..$

Nhận xét: Ta thu được hệ phương trình bằng giống với hệ phương trình (I).

Thực hành 2 trang 18 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-5y=-14\\ 2x+3y=2;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=15\\ 6x-4y=11.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho, ta được –8y = –16. Suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x + 3 . 2 = 2 hay 2x = –4. Do đó x = –2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (–2; 2).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}12x+15y=45\\ 12x-8y=22.\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 23y = 23. Suy ra y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được 4x + 5 . 1 = 15 hay 4x = 10. Do đó $x=\frac{5}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(\frac{5}{2};1\right).$

Vận dụng 1 trang 18 Toán 9 Tập 1: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; –2) và B(–1; 3).

Lời giải:

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; –2) nên

–2 = a . 2 + b hay 2a + b = –2. (1)

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(–1; 3) nên

3 = a . (–1) + b hay –a + b = 3. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a+b=-2\\ -a+b=3\end{array}\right.$(I)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được 3a = –5. Suy ra $a=-\frac{5}{3}$

Thay$a=-\frac{5}{3}$ vào phương trình thứ hai của hệ (I), ta được $\frac{5}{3}+b=3$. Do đó $b=\frac{4}{3}.$

Vậy $a=-\frac{5}{3}; b=\frac{4}{3}.$

3. Tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay

Thực hành 3 trang 19 Toán 9 Tập 1: Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ 3x+5y=-19;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}-3x+5y=12\\ 2x+y=5.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=4\\ 3x+5y=-19;\end{array}\right.$

– Ấn nút ON để khởi động máy.

– Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

– Ấn , kết quả như hình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{1}{13};-\frac{50}{13}\right).$

b) $\left\{\begin{array}{l}-3x+5y=12\\ 2x+y=5.\end{array}\right.$

– Ấn nút ON để khởi động máy.

– Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

– Ấn , kết quả như hình sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1; 3).

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Khám phá 3 trang 19 Toán 9 Tập 1: Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp tết trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai lớp trồng được tổng số 288 cây. Gọi x, y lần lượt là số học sinh lớp 9A và lớp 9B (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).

a) Từ dữ liệu đã cho, lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị số học sinh của hai lớp và số cây trồng được.

b) Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và cho biết mỗi lớp bao nhiêu học sinh.

Lời giải:

a) Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh nên x + y = 82. (1)

Số cây lớp 9A trồng được là: 3x (cây).

Số cây lớp 9B trồng được là: 4y (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình 3x + 4y = 288. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=82\\ 3x+4y=288\end{array}\right.$

b) Từ hệ phương trình ở câu a, ta có $\left\{\begin{array}{l}y=82-x\\ 3x+4y=288\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=82-x\\ 3x+4\left(82-x\right)=288\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=82-x\\ 3x+328-4x=288\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=82-x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=42\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Vậy lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.

Thực hành 4 trang 20 Toán 9 Tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 64 m. Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 88 m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Gọi x (m), y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật (0 < x, y < 64).

Chu vi hình chữ nhật là 64 m nên 2(x + y) = 64 hay x + y = 32. (1)

Chiều dài hình chữ nhật sau khi tăng là: x + 2 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật sau khi tăng là: y + 3 (m)

Chu vi hình chữ nhật sau khi chiều dài và chiều rộng thay đổi là: xy + 88 (m²)

Theo đề bài, ta có: (x + 2)(y + 3) = xy + 88

xy + 3x + 2y + 6 = xy + 88

3x + 2y = 82. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=32\\ 3x+2y=82\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=32-x\\ 3x+2y=82\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=32-x\\ 3x+2\left(32-x\right)=82\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=32-x\\ 3x+64-2x=82\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=18\\ y=32-x\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=18\\ y=14\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 18 m, chiều rộng của mảnh vườn là 14 m.

Thực hành 5 trang 20 Toán 9 Tập 1: Cân bằng phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số.

NO + O₂ → NO₂

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là hệ số của NO và O₂ thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

xNO + yO₂ → NO₂

Cân bằng số nguyên tử N, số nguyên tử O ở hai vế, ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$NO+\frac{1}{2}{O}_2\to N{O}_2$

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được

2NO + O₂ → 2NO₂

Vận dụng 2 trang 20 Toán 9 Tập 1: Giải bài toán trong Hoạt động khởi động (trang 15).

Lời giải:

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò (x, y > 0)

Giá tiền 1,2 kg thịt lợn ta có 1,2x (kg).

Giá tiền 0,7 kg thịt lợn ta có 0,7y (kg).

Số tiền chị An mua là hết 362 000 đồng nên ta có 1,2x + 0,7y = 362 000. (1)

Giá tiền 0,8 kg thịt lợn là 0,8x (kg).

Giá tiền 0,5 kg thịt bò là 0,5y (kg).

Số tiền chị Ba mua là hết 250 000 đồng nên ta có 0,8x + 0,5y = 250 000. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}\right.$.

Để tính được giá tiền 1 kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò thì ta cần giải phương trình thu được.

Ta giải phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,7}y=362000\\ \mathrm{0,8}x+\mathrm{0,5}y=250000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}12x+7y=3620000\\ 8x+5y=2500000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}48x+28y=14480000\\ 48x+30y=15000000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}8x+5y=2500000\\ 2y=520000\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=150000\\ y=260000\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy giá tiền 1 kg thịt lợn là 150 000 đồng và giá tiền 1 kg thịt bò là 260 000 đồng.

Bài tập

Bài 1 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ -3y=5.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 3x+y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 3x+2x-7=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x-7\\ 5x=10\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2x-7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; −3).

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3\left(y+3\right)-4y=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3y+9-4y=2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=7\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10; 7).

c) $\left\{\begin{array}{l}4x+5y=-2\\ 2x-y=-8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+8\\ 4x+5y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+8\\ 4x+5\left(2x+8\right)=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+8\\ 4x+10x+40=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=2x+8\\ 14x=-42\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=2\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (−3; 2).

d) $\left\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ -3y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3x-\frac{5}{3}=3\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}3x=\frac{14}{3}\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{14}{9}\\ y=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{14}{9};-\frac{5}{3}\right)$

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}y=1;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y\sqrt{2}=0\\ 2x+y\sqrt{2}=3;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được

$\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 4x+y=3\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x = −1. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 3x = 3. Suy ra x = 1.

Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được $1-y\sqrt{2}=0$. Do đó $y=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

c) Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $\sqrt{2}$, ta được

$\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{3}-y=\sqrt{2}\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được $6x\sqrt{3}=3\sqrt{2}$. Suy ra $x=\frac{\sqrt{6}}{6}.$

Thay $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$ vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được $\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \sqrt{6}-y\sqrt{2}=2$. Do đó $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}}{6}\right).$

d) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x+2y+3x-3y=4\\ x+y+2x-2y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5x-y=4\\ 3x-y=5\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2x = −1. Suy ra $x=-\frac{1}{2}.$

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được $3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-y=5$ hay $\frac{-3}{2}-y=5$. Do đó $y=-\frac{13}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{1}{2};-\frac{13}{2}\right).$

Bài 3 trang 21 Toán 9 Tập 1: Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(1; 2) và B(3; 8);

b) A(2; 1) và B(4; –2).

Lời giải:

a) • Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 2) nên

2 = a . 1 + b hay a + b = 2. (1)

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(3; 8) nên

8 = a . 3 + b hay 3a + b = 8. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ 3a+b=8\end{array}\right.$(I)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được –2a = –6. Suy ra a = 3.

Thay a = 3 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta được 3 + b = 2. Do đó b = –1.

Vậy a = 3; b = –1.

b) • Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; 1) nên

1 = a . 2 + b hay 2a + b = 1. (1)

• Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(4; –2) nên

–2 = a . 4 + b hay 4a + b = –2. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ 4a+b=-2\end{array}\right.$(I)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được –2a = 3. Suy ra $a=-\frac{3}{2}$.

Thay $a=-\frac{3}{2}$ vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta được $2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+b=1$ hay –3 + b = 1. Do đó b = 4.

Vậy $a=-\frac{3}{2}$; b = 4.

Bài 4 trang 21 Toán 9 Tập 1: Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy. So với tháng thứ nhất, trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất vược 15%, tổ hai sản xuất vượt 20% nên trong tháng này, cả hai tổ đã sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được (x, y ∈ ℕ*).

Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy nên ta có x + y = 800. (1)

Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất được là:

x + 15%x = 115%x = 1,15x (chi tiết máy)

Trong tháng thứ hai, tổ hai sản xuất được là:

y + 20%y = 120%y = 1,2y (chi tiết máy).

Theo đề bài, ta có phương trình 1,15x + 1,2y = 945. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y =800\\ \mathrm{1,15}x+\mathrm{1,2}y=945\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y =800-x\\ \mathrm{1,15}x+\mathrm{1,2}\left(800-x\right)=945\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y =800-x\\ \mathrm{1,15}x+960-\mathrm{1,2}x=945\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y =800-x\\ \mathrm{0,05}x=15\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=300\\ y =500\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy trong tháng thứ nhất, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.

Bài 5 trang 21 Toán 9 Tập 1: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo khoác xuất khẩu. Nếu tổ thứ nhất may trong 7 ngày và tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1540 chiếc áo. Biết rằng mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi trong một ngày mỗi tổ may được bao nhiêu chiếc áo? (Năng suất may áo của mỗi tổ trong các ngày là như nhau.)

Lời giải:

Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo trong một ngày mỗi tổ may được (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).

Số chiếc áo tổ thứ nhất may trong 7 ngày là: 7x (chiếc)

Số chiếc áo tổ thứ hai may trong 5 ngày là: 5y (chiếc)

Theo đề bài ta có phương trình 7x + 5y = 1540. (1)

Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo nên ta có

y – x = 20. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}7x+5y=1540\\ y-x=20\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+20\\ 7x+5\left(x+20\right)=1540\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+20\\ 7x+5x+100=1540\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=x+20\\ 12x=1440\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=120\\ y=140\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy trong một ngày, tổ một may được 120 chiếc áo và tổ hai may được 140 chiếc áo.

Bài 6 trang 21 Toán 9 Tập 1: Trên một cánh đồng, người ta cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng bao nhiêu? Biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn.

Lời giải:

Gọi x, y (tấn thóc) lần lượt là năng suất lúa giống mới và năng suất lúa giống cũ trên 1 ha (x, y ∈ ℕ*).

Số tấn thóc khi cấy 60 ha lúa giống mới là 60x (tấn thóc).

Số tấn thóc khi cấy 40 ha lúa giống cũ là 40x (tấn thóc).

Trên một cánh đồng, người ta thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc nên

60x + 40y = 660 hay 3x + 2y = 33. (1)

Với 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn nên ta có 4y – 3x = 3 hay – 3x + 4y = 3. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=33\\ -3x+4y=3\end{array}\right.$.

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 6y = 36. Suy ra y = 6 (thỏa mãn).

Thay y = 6 vào phương trình thứ nhất, ta được 3x + 2 . 6 = 33. Do đó x = 7 (thỏa mãn).

Vậy năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng 7 ha.

Bài 7 trang 21 Toán 9 Tập 1: Cân bằng các phương trình hóa học sau bằng phương pháp đại số.

a) Ag + Cl₂ → AgCl

b) CO₂ + C → CO

Lời giải:

a) Gọi x, y lần lượt là hệ số của Ag và Cl₂ thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

xAg + yCl₂ → AgCl

Cân bằng số nguyên tử Ag, số nguyên tử Cl ở hai vế, ta được $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$Ag+\frac{1}{2}C{l}_2\to AgCl$

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được

2Ag + yCl₂ → 2AgCl

b) Gọi x, y lần lượt là hệ số của CO₂ và C thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học

xCO₂ + yC → CO

Cân bằng số nguyên tử C, số nguyên tử O ở hai vế, ta được $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có

$\frac{1}{2}C{O}_2+\frac{1}{2}C\to CO$

Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được

CO₂ + C → 2CO

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 1 trang 22

Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài tập cuối chương 2