Giải các hệ phương trình: 4x+y=2 và 4/3x+1/3y=1

Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2 trang 21 Toán 9 Tập 1: Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ \frac{4}{3}x+\frac{1}{3}y=1;\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y\sqrt{2}=0\\ 2x+y\sqrt{2}=3;\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5.\end{array}\right.$

Lời giải:

a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được

$\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 4x+y=3\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x = −1. Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 3x = 3. Suy ra x = 1.

Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được $1-y\sqrt{2}=0$. Do đó $y=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(1;\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

c) Chia hai vế của phương trình thứ hai cho $\sqrt{2}$, ta được

$\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{3}-y=\sqrt{2}\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được $6x\sqrt{3}=3\sqrt{2}$. Suy ra $x=\frac{\sqrt{6}}{6}.$

Thay $x=\frac{\sqrt{6}}{6}$ vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được $\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot \sqrt{6}-y\sqrt{2}=2$. Do đó $y=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}}{6}\right).$

d) $\left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x+2y+3x-3y=4\\ x+y+2x-2y=5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}5x-y=4\\ 3x-y=5\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2x = −1. Suy ra $x=-\frac{1}{2}.$

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được $3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-y=5$ hay $\frac{-3}{2}-y=5$. Do đó $y=-\frac{13}{2}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{1}{2};-\frac{13}{2}\right).$