Toán 9 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 3 trang 57

Lời giải:

Bài 7 trang 57 Toán 9 Tập 1: Cho a = $2\sqrt{3}+\sqrt{2}$, b = $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$. Rút gọn biểu thức $\sqrt{3}a-\sqrt{2}b$, ta có kết quả

A. $3\sqrt{6}$

B. $-\sqrt{6}$

C. $6\sqrt{3}$

D. $12-\sqrt{6}$

Lời giải:

Thay a = $2\sqrt{3}+\sqrt{2}$, b = $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$ vào $\sqrt{3}a-\sqrt{2}b$ ta được:

$\begin{array}{l}\sqrt{3}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})-\sqrt{2}(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\ =2.3+\sqrt{3.2}-2.3+2.\sqrt{2.3}\\ =6+\sqrt{6}-6+2\sqrt{6}\\ =3\sqrt{6}\end{array}$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 8 trang 57 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}a}$ với a > 0, ta có kết quả

A. $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{a}}$

B. $\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)\sqrt{a}}{3a}$

C. $\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{a}}{a}$

D. $\sqrt{2a}-\sqrt{a}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{3a}}=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right).\sqrt{3a}}{{\left(\sqrt{3a}\right)}^2}=\frac{\sqrt{18a}-\sqrt{9a}}{3a}$

$=\frac{3\sqrt{2a}-3\sqrt{a}}{3a}=\frac{3\sqrt{a}(\sqrt{2}-1)}{3a}=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{a}}$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 9 trang 57 Toán 9 Tập 1: Kết quả của phép tính $\sqrt{27}:\sqrt{6}.2\sqrt{18}$ là

A. 12

B. 18

C. 72

D. 144

$\sqrt{27}:\sqrt{6}.2\sqrt{18}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{6}}.2\sqrt{18}=\sqrt{\frac{3.9}{2.3}}.2\sqrt{9.2}=\frac{3}{\sqrt{2}}.6\sqrt{2}=18$

Vậy chọn đáp án B.

Bài 10 trang 57 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2\sqrt{a}+\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{a}-\sqrt{2}}$ với $a\ge 0$, $a\ne \frac{1}{2}$, ta có kết quả

A. $\frac{\sqrt{2}}{1-2a}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2a-1}$

C. $\frac{\sqrt{a}}{2a-1}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{1-a}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{2\sqrt{a}+\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{a}-\sqrt{2}}\\ =\frac{2\sqrt{a}-\sqrt{2}-\left(2\sqrt{a}+\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{a}+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{a}-\sqrt{2}\right)}\\ =\frac{-2\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\frac{-2\sqrt{2}}{4a-2}\\ =\frac{-2\sqrt{2}}{2(a-1)}\\ =\frac{-\sqrt{2}}{(a-1)}=\frac{\sqrt{2}}{1-a}\end{array}$

Vậy chọn đáp án D

Bài 11 trang 58 Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

a) x² = 10

b) $\sqrt{x}=8$

c) x³ = - 0,027

d) $\sqrt[3]{x}=-\frac{2}{3}$

a) x² = 10

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2}=\sqrt{10}\\ [\begin{array}{c}x=\sqrt{10}\\ x=-\sqrt{10}\end{array}\end{array}$

b) $\sqrt{x}=8$

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt{x}\right)}^2=8^2\\ x=64\end{array}$

c) x³ = - 0,027

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{-0,027}\\ x=\sqrt[3]{{\left(-0,3\right)}^3}\\ x=0,3\end{array}$

d) $\sqrt[3]{x}=-\frac{2}{3}$

$\begin{array}{l}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3={\left(-\frac{2}{3}\right)}^3\\ x=-\frac{8}{27}\end{array}$

Bài 12 trang 58 Toán 9 Tập 1: Biết rằng 1 < a < 5, rút gọn biểu thức

A = $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-5\right)}^2}$.

A = $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-5\right)}^2}$

$\begin{array}{l}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-5\right)}^2}\\ =\left|a-1\right|+\left|a-5\right|\\ =a-1+5-a\\ =4\end{array}$

Bài 13 trang 58 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4-2\sqrt{6}}{\sqrt{48}}$

b) $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$

c) $\frac{a}{a-\sqrt{a}}$ với a > 0, a $\ne$1

a) $\frac{4-2\sqrt{6}}{\sqrt{48}}=\frac{\left(4-2\sqrt{6}\right).\sqrt{48}}{{\left(\sqrt{48}\right)}^2}=\frac{\left(4-2\sqrt{6}\right).4\sqrt{3}}{48}=\frac{\left(4-2\sqrt{6}\right)\sqrt{3}}{12}$

b) $\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}=\frac{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}{9-5}=\frac{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}{4}$

c) $\frac{a}{a-\sqrt{a}}=\frac{a\left(a+\sqrt{a}\right)}{\left(a-\sqrt{a}\right)\left(a+\sqrt{a}\right)}=\frac{a\left(a+\sqrt{a}\right)}{a^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2}$

$=\frac{a\left(a+\sqrt{a}\right)}{a^2-a}=\frac{a\left(a+\sqrt{a}\right)}{a(a-1)}=\frac{a+\sqrt{a}}{a-1}$ với a > 0, a $\ne$1

Bài 14 trang 58 Toán 9 Tập 1: Biết rằng a > 0, b > 0 và ab = 16. Tính giá trị của biểu thức $A=a\sqrt{\frac{12b}{a}}+b\sqrt{\frac{3a}{b}}$.

$A=a\sqrt{\frac{12b}{a}}+b\sqrt{\frac{3a}{b}}=\sqrt{a^2\frac{12b}{a}}+\sqrt{b^2\frac{3a}{b}}=\sqrt{12ab}+\sqrt{3ab}$

Thay ab = 16 vào ta có:

$A=\sqrt{12.16}+\sqrt{3.16}=\sqrt{64.3}+\sqrt{3.16}=8\sqrt{3}+4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$

Bài 15 trang 58 Toán 9 Tập 1: Tính $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$

$=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}$

$\begin{array}{l}=2\sqrt{3}.2\sqrt{2}\\ =4\sqrt{6}\end{array}$

Bài 16 trang 58 Toán 9 Tập 1: Một trục số được vẽ trên lưới ô vuông như Hình 1.

a) Đường tròn tâm O bán kính OA cắt trục số tại hai điểm M và N. Hai điểm M và N biểu diễn hai số thực nào?

b) Đường tròn tâm B bán kính BC cắt trục số tại hai điểm P và Q. Hai điểm P và Q biểu diễn hai số thực nào?

a) Ta có OM = OA = $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ (Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông)

Vậy điểm M và N biểu diễn hai số thực lần lượt là - $\sqrt{10}$ và $\sqrt{10}$.

b) Ta có BP = BC = $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ (Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông)

Vậy điểm Q và P biểu diễn hai số thực lần lượt là - $\sqrt{2}$ và $\sqrt{2}$.

Bài 17 trang 58 Toán 9 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài $\sqrt{12}$cm, chiều rộng$\sqrt{8}$cm, chiều cao $\sqrt{6}$ như Hình 2.

a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó.

b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó.

a) Thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

$\sqrt{12}$.$\sqrt{8}$.$\sqrt{6}$= $\sqrt{576}$= 24 (cm³)

b) Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó là:

2($\sqrt{12}$ +$\sqrt{8}$).$\sqrt{6}$=$8\sqrt{3}+12\sqrt{2}$ (cm²).

Bài 18 trang 58 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(a\sqrt{\frac{3}{a}}+3\sqrt{\frac{a}{3}}+\sqrt{12a^3}\right):\sqrt{3}a$ với a > 0

b) $\frac{1-a}{1+\sqrt{a}}+\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 1$

a) $\left(a\sqrt{\frac{3}{a}}+3\sqrt{\frac{a}{3}}+\sqrt{12a^3}\right):\sqrt{3}a$ với a > 0

$\begin{array}{l}=\left(\sqrt{a^2.\frac{3}{a}}+\sqrt{3^2.\frac{a}{3}}+\sqrt{4.3a^3}\right):\sqrt{3}a\\ =\left(\sqrt{3a}+\sqrt{3a}+2a\sqrt{3a}\right):\sqrt{3}a\\ =\frac{(2a+2)\sqrt{3a}}{\sqrt{3}a}\\ =2a+2\end{array}$

b) $\frac{1-a}{1+\sqrt{a}}+\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0;a\ne 1$

$\begin{array}{l}=\frac{\left(1-a\right)\left(1-\sqrt{a}\right)+\left(1-a\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}\\ =\frac{1-\sqrt{a}-a+a\sqrt{a}+1+\sqrt{a}-a\sqrt{a}-a.{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{1-a}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{2-a-a^2}{1-a}\\ =\frac{1-a+1-a^2}{1-a}\\ =\frac{1-a}{1-a}+\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}\\ =1+1+a\\ =2+a\end{array}$

Bài 19 trang 58 Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức $P=\left(\frac{1}{a+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}\right):\frac{\sqrt{a}-1}{a+2\sqrt{a}+1}$ với a > 0 và a $\ne$1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi a = 0,25

$\begin{array}{l}P=\left(\frac{1}{a+\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}\right):\frac{\sqrt{a}-1}{a+2\sqrt{a}+1}\\ =\left(\frac{\sqrt{a}+1-a-\sqrt{a}}{\left(a+\sqrt{a}\right).\left(\sqrt{a}+1\right)}\right):\frac{\sqrt{a}-1}{a+2\sqrt{a}+1}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\left(\frac{1-a}{a\sqrt{a}+2a+\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}-1}{a+2\sqrt{a}+1}\\ =\left(\frac{1-a}{\sqrt{a}\left(a+2\sqrt{a}+1\right)}\right).\frac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\\ =\frac{1-a}{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}\\ =\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\\ =1+\frac{1}{\sqrt{a}}\end{array}$

b) Thay a = 0,25 vào P = $1+\frac{1}{\sqrt{a}}$ ta có:

P = $1+\frac{1}{\sqrt{0,25}}=1+\frac{1}{\sqrt{{\left(0,5\right)}^2}}=1+\frac{1}{0,5}=3$.