Toán 9 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Giải Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khởi động trang 98 Toán 9 Tập 1: Số lượng cây ăn trái của trang trại Đất Lành được cho trong bảng sau:

Số liệu trên được biểu diễn trong biểu đồ hình quạt tròn bên.

Hình các phần được chia từ hình tròn trong biểu đồ bên gọi là gì? Làm thế nào để vẽ được chúng?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hình các phần được chia từ hình tròn trong biểu đồ gọi là hình quạt tròn.

Để vẽ được hình quạt tròn, ta vẽ một đường tròn và chia đường tròn đã vẽ thành các cung, tô màu phần bên trong các cung ta được các hình quạt tròn.

1. Độ dài cung tròn

Khám phá 1 trang 98 Toán 9 Tập 1: Một hàng rào bao quanh một sân cỏ hình tròn có bán kính 10 m (Hình 1) được ghép bởi 360 phần bằng nhau. Hãy tính:

a) Độ dài của toàn bộ hàng rào.

b) Độ dài của mỗi phần hàng rào.

c) Độ dài của n phần hàng rào.

Lời giải:

a) Độ dài củ toàn bộ hàng rào (chu vi của đường tròn) là: 2π.10 = 20π (m).

b) Độ dài của mỗi phần hàng rào là: $\frac{20\pi }{360}=\frac{\pi }{18}$ (m).

c) Độ dài của n phần hàng rào là: $n\cdot \frac{\pi }{18}$ (m).

Thực hành 1 trang 99 Toán 9 Tập 1: Tính độ dài cung 72° của một đường tròn có bán kính 25 cm.

Lời giải:

Cung 72°, bán kính 25 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 25\cdot 72}{180}=10\pi \approx 31,42\text{(cm).}$

Vận dụng 1 trang 99 Toán 9 Tập 1: Tính độ dài của đoạn hàng rào từ A đến B của sân cỏ trong Hình 3, cho biết $\widehat{AOB}=80°$.

Lời giải:

Xét đường tròn (O), có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=80°.$

Cung AB có số đo 80°, bán kính 10 m có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 10\cdot 80}{180}=\frac{40}{9}\pi \approx 13,96\text{(cm).}$

Vậy độ dài của đoạn hàng rào từ A đến B của sân cỏ trong Hình 3 khoảng 13,96 m.

2. Hình quạt tròn

Khám phá 2 trang 99 Toán 9 Tập 1: a) Ta có thể tính diện tích của miếng bánh pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh hay không?

b) Chia một hình tròn bán kính R thành 360 phần bằng nhau.

i) Tính diện tích của mỗi phần đó.

ii) Tính diện tích phần hình tròn ghép bởi n phần bằng nhau nói trên (Hình 4b).

Lời giải:

a) Ta có thể tính diện tích của miếng bánh pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh.

b) Một hình tròn bán kính R có diện tích là: πR² (đơn vị diện tích).

i) Chia hình tròn thành 360 phần bằng nhau thì diện tích mỗi phần là: $\frac{\pi R^2}{360}$ (đơn vị diện tích).

ii) Diện tích phần hình tròn ghép bởi n phần bằng nhau là: $n\cdot \frac{\pi R^2}{360}$ (đơn vị diện tích).

Thực hành 2 trang 100 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R = 20 cm, ứng với cung 72°.

Lời giải:

Hình quạt tròn bán kính R = 20 cm, ứng với cung 72° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {20}^2\cdot 72}{360}=80\pi \approx 251,33{\text{(cm}}^2\text{).}$

Vận dụng 2 trang 100 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích của miếng bánh pizza có dạng hình quạt tròn trong Hình 8. Biết OA = 15 cm và $\widehat{AOB}=55°$

Lời giải:

Ta có $sđ\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=55°.$

Diện tích hình quạt tròn OAB bán kính 15 cm, ứng với cung 55° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {15}^2\cdot 55}{360}=\frac{275}{8}\pi \approx 108,00{\text{(cm}}^2\text{).}$

3. Hình vành khuyên

Khám phá 3 trang 101 Toán 9 Tập 1: a) Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính r = 5 cm và đường tròn (C’) tâm O bán kính R = 8 cm.

b) Tính diện tích S của (C) và diện tích S’ của (C’).

c) Hãy cho biết hiệu số (S’ – S) biểu diễn diện tích của phần nào trên Hình 9.

Lời giải:

a)

b) Diện tích S của đường tròn (C) là: S = π.5² = 25π (cm²).

Diện tích S’ của đường tròn (C’) là: S’ = π.8² = 64π (cm²).

c) Hiệu số (S’ – S) biểu diễn diện tích phần giới hạn bởi hai đường tròn (C) và (C’).

Thực hành 3 trang 101 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 10 cm) và (O; 20 cm) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 10 cm) và (O; 20 cm) là:

S = π(R² – r²) = π(20² – 10²) = 300π ≈ 942,48 (cm²).

Vận dụng 3 trang 101 Toán 9 Tập 1: Cho hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) với R > r. Trên đường tròn (O; R) lấy hai điểm B, C sao cho BC vừa là dây cung của (O; R), vừa là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) tại A (Hình 11).

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC theo r và R.

b) Cho $BC=a\sqrt{3}.$ Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) theo a.

Lời giải:

a) Vì BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; r) tại A nên BC ⊥ OA.

Xét ∆OBC có OB = OC nên ∆OBC cân tại O. Do đó đường cao OA đồng thời là đường trung tuyến của tam giác.

Suy ra A là trung điểm của BC nên BC = 2AB.

Xét ∆OAB vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: OB² = OA² + AB².

Suy ra AB² = OB² – OA² = R² – r².

Do đó $AB=\sqrt{R^2-r^2}.$

Khi đó $BC=2\sqrt{R^2-r^2}.$

b) Theo bài, $BC=a\sqrt{3},$ do đó $2\sqrt{R^2-r^2}=a\sqrt{3}$

Suy ra $\sqrt{R^2-r^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $R^2-r^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}.$

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; r) và (O; R) là:

$S=\pi \left(R^2–r^2\right)=\pi \cdot \frac{3a^2}{4}=\frac{3\pi }{4}{a}^2.$

Bài tập

Bài 1 trang 102 Toán 9 Tập 1: Tính độ dài các cung 30°; 90°; 120° của đường tròn (O; 6 cm).

Lời giải:

Xét đường tròn (O; 6 cm):

⦁ Cung 30°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 30}{180}=\pi \approx 3,14\text{(cm).}$

⦁ Cung 90°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 90}{180}=3\pi \approx 9,42\text{(cm).}$

⦁ Cung 120°, bán kính 6 cm có độ dài là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 120}{180}=4\pi \approx 12,57\text{(cm).}$

Bài 2 trang 102 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có số đo lần lượt là 30°; 90°; 120° của hình tròn (O; 12 cm).

Lời giải:

Xét hình tròn (O; 12 cm):

⦁ Hình quạt tròn bán kính R = 12 cm, ứng với cung 30° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {12}^2\cdot 30}{360}=12\pi \approx 37,70{\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Hình quạt tròn bán kính R = 12 cm, ứng với cung 90° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {12}^2\cdot 90}{360}=36\pi \approx 113,10{\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Hình quạt tròn bán kính R = 12 cm, ứng với cung 120° có diện tích là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot {12}^2\cdot 120}{360}=48\pi \approx 150,80{\text{(cm}}^2\text{).}$

Bài 3 trang 102 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích các hình quạt tròn ứng với cung có độ dài lần lượt là 8 cm, 15 cm của hình tròn (O; 5 cm).

Lời giải:

Diện tích của hình quạt tròn bán kính R (cm), ứng với cung n° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}\cdot \frac{R}{2}=l\cdot \frac{R}{2}{\text{(cm}}^2\text{).}$

Xét hình tròn (O; 5 cm):

⦁ Nếu cung có độ dài 8 cm thì diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$S=l\cdot \frac{R}{2}=8\cdot \frac{5}{2}=20{\text{(cm}}^2\text{).}$

⦁ Nếu cung có độ dài 15 cm thì diện tích hình quạt tròn tương ứng là:

$S=l\cdot \frac{R}{2}=15\cdot \frac{5}{2}=37,5{\text{(cm}}^2\text{)}.$

Bài 4 trang 102 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 cm) và (O; 12 cm).

Lời giải:

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 9 cm) và (O; 12 cm) là:

S = π(R² – r²) = π(12² – 9²) = 63π ≈ 197,92 (cm²).

Bài 5 trang 102 Toán 9 Tập 1: Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung có số đo là 95° (Hình 12).

Lời giải:

Gọi các điểm như hình vẽ. Kẻ OH ⊥ AB.

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH đồng thời là đường phân giác và đường trung tuyến của tam giác.

Khi đó $\widehat{AOH}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 95°=47,5°$ và H là trung điểm của AB hay $AH=\frac{AB}{2}=\frac{55}{2}=27,5\text{(cm).}$

Xét ∆OAH vuông tại H, ta có:

⦁ $AH=OA\cdot cos\widehat{AOH}.$ Suy ra $OA=\frac{AH}{cos\widehat{AOH}}=\frac{27,5}{cos47,5°}\approx 40,71\text{(cm).}$

⦁ $OH=AH\cdot \cot \widehat{AOH}=27,5\cdot \cot 47,5\approx 25,20\text{(cm).}$

Diện tích tam giác OAB là: $S_1=\frac{1}{2}OH\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 25,20\cdot 55=693{\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích hình quạt tròn OAB là:

$S_2=\frac{\pi \cdot O{A}^2\cdot n}{360}\approx \frac{\pi \cdot 40,{71}^2\cdot 95}{360}\approx 1373,96{\text{(cm}}^2\text{).}$

Diện tích hình viên phân cần tìm là:

$S=S_2-S_1\approx 1373,96-693=680,96{\text{(cm}}^2\text{).}$

Bài 6 trang 102 Toán 9 Tập 1: Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 124 cm và đường kính bánh xe trước là 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?

Lời giải:

Chu vi của bánh xe sau là: 2πR = dπ = 124π (cm).

Quãng đường mà bánh xe sau lăn được 20 vòng là: 124π.20 = 2 480π (cm).

Chu vi của bánh xe trước là: 2πR’ = d’π = 80π (cm).

Khi đó, số vòng mà bánh xe trước lăn được là: $\frac{2480\pi }{80\pi }=31$ (vòng).

Bài 7 trang 102 Toán 9 Tập 1: Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11°58’ vĩ độ Bắc. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo.

(Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đà-Lạt.)

Lời giải:

Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng 40 000 km nên bán kính của Trái Đất là khoảng: $R=\frac{40000}{2\pi }=\frac{20000}{\pi }\text{(km).}$

Thành phố Đà Lạt nằm vào khoảng 11°58’ vĩ độ Bắc nên cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo có số đo là $11°{58}^{\text{'}}=\left(11\frac{58}{60}\right)°.$

Vậy độ dài cung kinh tuyến từ Đà Lạt đến xích đạo là:

$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \cdot \frac{20000}{\pi }\cdot \left(11\frac{58}{60}\right)}{180}=\frac{35900}{27}\approx 1329,63\text{(km).}$