Toán 9 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Đường tròn

Giải Toán 9 Bài 1: Đường tròn

Khởi động trang 75 Toán 9 Tập 1: Hãy chỉ ra các bộ phận có dạng đường tròn của chiếc xe đạp trong hình dưới đây. Em hãy tìm thêm một số hình ảnh về đường tròn trong thực tế.

Lời giải:

⦁ Các bộ phận có dạng đường tròn của chiếc xe đạp trong hình trên là: bánh xe đạp (lốp xe, vành xe), đĩa xe đạp, líp xe đạp.

⦁ Một số hình ảnh về đường tròn trong thực tế: các đường tròn đồng tâm trên tấm bia bắn cung; guồng nước (cọn nước), viền khung mặt đồng hồ hình tròn, …

1. Khái niệm đường tròn

Khám phá 1 trang 75 Toán 9 Tập 1: Mở một chiếc compa sao cho hai đầu compa cách nhau một khoảng R cho trước. Tì đầu nhọn của compa lên một điểm O cố định trên tờ giấy, xoay compa để đầu bút M của compa vạch trên giấy một đường cong. Nêu nhận xét về các khoảng cách từ một điểm M tuỳ ý trên đường cong vừa vẽ đến điểm O.

Lời giải:

2. Tính đối xứng của đường tròn

Khám phá 2 trang 76 Toán 9 Tập 1: a) Cho đường tròn (O; R).

i) Lấy điểm A nằm trên đường tròn. Vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn tại điểm A’ khác A. Giải thích tại sao O là trung điểm của đoạn thẳng AA’.

ii) Lấy điểm B khác A thuộc đường tròn (O; R). Tìm điểm B’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng BB’. Điểm B’ có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

b) Cho đường tròn (O; R), d là đường thẳng đi qua tâm O. Lấy điểm M nằm trên đường tròn. Vẽ điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ (khi M thuộc d thì lấy M’ trùng với M). Điểm M’ có thuộc đường tròn (O; R) không? Giải thích.

Lời giải:

a)

i) Vì hai điểm A, A’ cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OA’ = R.

Mà điểm O nằm giữa hai điểm A và A’ nên O là trung điểm của AA’.

ii) Vì O là trung điểm của BB’ nên OB = OB’ (tính chất trung điểm một đoạn thẳng).

Lại có điểm B thuộc đường tròn (O; R) nên OB = R. Do đó OB’ = R.

Vậy điểm B’ thuộc đường tròn (O; R).

b) Nối OM, OM’.

⦁ Trường hợp 1: Điểm M thuộc d thì điểm M’ trùng điểm M.

Mà điểm M thuộc đường tròn (O; R) nên điểm M’ thuộc đường tròn (O; R).

⦁ Trường hợp 1: Điểm M không thuộc d.

Vì đường trung trực d của đoạn thẳng MM’ đi qua điểm O nên O cách đều hai đầu mút hay OM = OM’.

Mà điểm M thuộc đường tròn (O; R) nên OM = R, do đó OM’ = R.

Vậy điểm M’ thuộc đường tròn (O; R).

Thực hành 1 trang 77 Toán 9 Tập 1: Xác định tâm đối xứng và trục đối xứng của bánh xe trong Hình 7. Giải thích cách làm.

Lời giải:

⦁ Tâm đối xứng O của bánh xe là trục của bánh xe (hình vẽ);

⦁ Trục đối xứng của bánh xe là là các nan vành của bánh xe (hình vẽ).

Vận dụng 1 trang 77 Toán 9 Tập 1: Nêu cách chia một cái bánh có dạng hình tròn tâm O (Hình 8) thành hai phần bằng nhau.

Lời giải:

Vì mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của nó, nên ta sẽ chia bánh thành hai phần bằng nhau bằng cách cắt qua tâm O của chiếc bánh (hình vẽ).

3. Đường kính và dây cung của đường tròn

Khám phá 3 trang 77 Toán 9 Tập 1: Trên đường tròn (O; R), lấy bốn điểm A, B, M, N sao cho AB đi qua O và MN không đi qua O (Hình 9).

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB theo R.

b) So sánh độ dài của MN và OM + ON. Từ đó, so sánh độ dài của MN và AB.

Lời giải:

a) Vì hai điểm A, B cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

Mà AB đi qua O hay O nằm giữa A, B nên AB = OA + OB = R + R = 2R.

Vậy AB = 2R.

b) Xét ∆OMN có: OM + ON > MN (bất đẳng thức trong tam giác). (1)

Ta có hai điểm M, N cùng nằm trên đường tròn (O; R) nên OM = ON = R.

Do đó từ (1) ta có R + R > MN hay 2R > MN.

Mà AB = 2R (câu a) nên AB > MN.

Thực hành 2 trang 78 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi qua I (Hình 11). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF.

Lời giải:

Trong đường tròn (I), AB và CD là đường kính đi qua tâm I, EF là dây cung không đi qua I.

Do đó AB = CD và EF < AB, EF < CD.

Vậy EF < AB = CD.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 9 Tập 1: Bạn Mai căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 16 cm, 14 cm và 20 cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 10 cm (Hình 12). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giải thích.

Lời giải:

Gọi (O; R) là đường tròn có bán kính 10 cm.

Ta có EF = 20 cm = 2 . 10 cm = 2R.

Do đó, trong ba dây AB, CD và EF thì có dây EF đi qua tâm của đường tròn.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Khám phá 4 trang 78 Toán 9 Tập 1: Tìm số điểm chung của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải:

Hình 13a): Hai đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung.

Hình 13b): Hai đường tròn (O) và (O’) không có điểm chung.

Hình 13c): Hai đường tròn (O) và (O’) có một điểm chung là điểm M.

Hình 13d): Hai đường tròn (O) và (O’) có một điểm chung là điểm M.

Hình 13e): Hai đường tròn (O) và (O’) có hai điểm chung là điểm M và điểm N.

Khám phá 5 trang 79 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn phân biệt (O; R) và (O’; R’) với R ≥ R’. Hãy so sánh OO’ với R + R’ và R – R’ trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp 1: (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung (Hình 15).

Trường hợp 2: (O; R) và (O’; R’) chỉ có một điểm chung (Hình 16).

Trường hợp 3: (O; R) và (O’; R’) có đúng hai điểm chung (Hình 17).

Lời giải:

– Trường hợp 1: (O; R) và (O’; R’) không có điểm chung (Hình 15).

⦁ Hình 15a): OO’ > R + R’; OO’ > R – R’;

⦁ Hình 15b): OO’ < R + R’; OO’ < R – R’.

– Trường hợp 2: (O; R) và (O’; R’) chỉ có một điểm chung (Hình 16).

⦁ Hình 16a): OO’ = R + R’; OO’ > R – R’;

⦁ Hình 16b): OO’ < R + R’; OO’ = R – R’.

– Trường hợp 3: (O; R) và (O’; R’) có đúng hai điểm chung (Hình 17).

OO’ < R + R’; OO’ > R – R’.

Thực hành 3 trang 80 Toán 9 Tập 1: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I; R) và (J; R’) trong mỗi trường hợp sau:

a) IJ = 5; R = 3; R’ = 2;

b) IJ = 4; R = 11; R’ = 7;

c) IJ = 6; R = 9; R’ = 4;

d) IJ = 10; R = 4; R’ = 1.

Lời giải:

a) Ta có 5 = 3 + 2 nên IJ = R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) tiếp xúc ngoài.

b) Ta có 4 = 11 – 7 nên IJ = R – R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) tiếp xúc trong.

c) Ta có: 9 – 4 < 6 < 9 + 4 nên R – R’ < IJ < R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) cắt nhau.

d) Ta có: 10 > 4 + 1 nên IJ > R + R’, suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R’) ở ngoài nhau.

Vận dụng 3 trang 81 Toán 9 Tập 1: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên trong Hình 18.

Lời giải:

Hình 18a): Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Hình 18b): Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Hình 18c): Hai đường tròn cắt nhau.

Vận dụng 4 trang 81 Toán 9 Tập 1: Dùng compa đo bán kính và vẽ lại các hình trong Hình 19.

Lời giải:

– Hình 19a):

Bước 1. Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn lớn, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn lớn, ta đo được bán kính của đường tròn lớn.

Bước 2. Vẽ đường tròn với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn lớn.

Bước 3. Kẻ đường kính AB của đường tròn lớn.

Bước 4. Vẽ nửa đường tròn đường kính OA sao cho nửa đường tròn nằm phía trên so với AB.

Bước 5. Vẽ nửa đường tròn đường kính OB sao cho nửa đường tròn nằm phía dưới so với AB.

Bước 6. Xóa tên các điểm vừa đặt, tô màu giống Hình 19a).

– Hình 19b):

Bước 1.

⦁ Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn nhỏ nhất, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn đó, ta đo được bán kính của đường tròn nhỏ nhất.

⦁ Vẽ đường tròn với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn nhỏ nhất.

Bước 2.

⦁ Đặt đầu nhọn vào tâm đường tròn thứ hai, mở cung của compa sao cho đầu bút nằm trên đường tròn đó, ta đo được bán kính của đường tròn thứ hai.

⦁ Vẽ đường tròn có tâm trùng với tâm đường tròn nhỏ nhất, với bán kính ta vừa đo được, ta được đường tròn thứ hai.

Bước 3. Thực hiện lặp lại Bước 2 với 4 đường tròn còn lại.

Bước 4. Tô màu giống Hình 19b).

Bài tập

Bài 1 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), bán kính 5 cm và bốn điểm A, B, C, D thoả mãn OA = 3 cm, OB = 4 cm, OC = 7 cm, OD = 5 cm. Hãy cho biết mỗi điểm A, B, C, D nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O).

Lời giải:

Với R = 5 cm, ta có:

⦁ 3 < 5 hay OA < R nên điểm A nằm trong đường tròn;

⦁ 4 < 5 hay OB < R nên điểm B nằm trong đường tròn;

⦁ 7 > 5 hay OC > R nên điểm C nằm ngoài đường tròn;

⦁ 5 = 5 hay OD = R nên điểm D nằm trên đường tròn.

Bài 2 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 18 cm và CD = 12 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình chữ nhật.

Khi đó, O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình chữ nhật) nên $OA=OC=\frac{1}{2}AC;$ $OB=OD=\frac{1}{2}BD.$(2)

Từ (1) và (2) ta có $OA=OC=OB=OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD.$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn đường kính AC, BD.

⦁ Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ADC}=90°.$

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AD² + DC² = 18² + 12² = 468.

Do đó $AC=\sqrt{468}=\sqrt{6^2\cdot 13}=6\sqrt{13}\text{ (cm).}$

Vậy bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D là $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{13}=3\sqrt{13}\text{ (cm).}$

Bài 3 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai đường cao BB’ và CC’. Gọi O là trung điểm của BC.

a) Chứng minh đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng BC và B’C’.

Lời giải:

a) Xét ∆BCB’ vuông tại B’ có đường trung tuyến B’O ứng với cạnh huyền BC, do đó $B^{\text{'}}O=\frac{1}{2}BC.$

Mà O là trung điểm của BC nên $OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Do đó $B^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Chứng minh tương tự đối với ∆BCC’ vuông tại C’, ta cũng có $C^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $B^{\text{'}}O=C^{\text{'}}O=OB=OC=\frac{1}{2}BC.$

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’.

b) Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

Bài 4 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{D}}=90°.$

a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) So sánh độ dài của AC và BD.

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó $OA=OC=\frac{1}{2}AC.$

Xét ∆ABC vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC, do đó $BO=\frac{1}{2}AC.$

Suy ra $OA=OB=OC=\frac{1}{2}AC.$(1)

Chứng minh tương tự đối với ∆ADC vuông tại D, ta cũng có: $OA=OD=OC=\frac{1}{2}AC.$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $OA=OB=OC=OD=\frac{1}{2}AC.$

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AC.

b) Xét đường tròn tâm O đường kính AC có BD là dây cung không đi qua tâm O nên AC > BD.

Bài 5 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm) cắt nhau tại C, D, điểm A nằm trên đường tròn tâm O (Hình 20).

a) Vẽ đường tròn (C; 2 cm).

b) Đường tròn (C; 2 cm) có đi qua hai điểm O và A không? Vì sao?

Lời giải:

a) Mở một chiếc compa sao cho hai đầu compa cách nhau một khoảng bằng 2 cm. Đặt đầu nhọn của compa lên điểm C, xoay compa để đầu bút của compa vạch trên giấy một đường tròn, ta được đường tròn (C; 2 cm).

b) Vì C là giao điểm của hai đường tròn (O; 2 cm) và (A; 2 cm) nên C nằm trên cả hai đường tròn, do đó OC = 2 cm và CA = 2 cm.

Suy ra hai điểm O, A cùng nằm trên đường tròn (C; 2 cm).

Vậy đường tròn (C; 2 cm) đi qua hai điểm O và A.

Bài 6 trang 82 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D, AB = 8 cm. Gọi K, I lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB (Hình 21).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CB, DA và DB.

b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.

Lời giải:

a) Vì hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C và D nên C, D cùng nằm trên hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm), do đó AC = AD = 6 cm và BC = BD = 4 cm.

b) Do I là giao điểm của đường tròn (B; 4 cm) với đoạn thẳng AB nên I nằm giữa hai điểm A, B và I nằm trên đường tròn (B; 4 cm), do đó BI = 4 cm.

Vì I nằm giữa hai điểm A, B nên ta có: AI + IB = AB

Suy ra AI = AB – IB = 8 – 4 = 4 (cm).

Ta có I nằm giữa hai điểm A, B và AI = BI nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) Do K là giao điểm của đường tròn (A; 6 cm) với đoạn thẳng AB nên K nằm trên đường tròn (A; 6 cm), do đó AK = 6 cm.

Ta có AI < AK (4 cm < 6 cm) nên I nằm giữa hai điểm A, K.

Do đó AI + IK = AK

Suy ra IK = AK – AI = 6 – 4 = 2 (cm).

Vậy IK = 2 cm.

Bài 7 trang 82 Toán 9 Tập 1: Xác định vị trí tương đối của (O; R) và (O’; R’) trong mỗi trường hợp sau:

a) OO’ = 18; R = 10; R’ = 6;

b) OO’ = 2; R = 9; R’ = 3;

c) OO’ = 13; R = 8; R’ = 5;

d) OO’ = 17; R = 15; R’ = 4.

Lời giải:

a) Ta có 18 > 10 + 6 nên OO’ > R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) ở ngoài nhau.

b) Ta có 2 < 9 – 3 nên OO’ < R – R’, suy ra đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O’; R’).

c) Ta có 13 = 8 + 5 nên OO’ = R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài.

d) Ta có 15 – 4 < 17 < 15 + 4 nên R – R’ < OO’ = R + R’, suy ra hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau.