Toán 9 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Hoạt động khám phá 2 trang 54 Toán 9 Tập 1: Hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như Hình 3.

a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông AMIN và CEIF.

b) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông ABCD theo hai cách khác nhau.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông AMI có AI = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng $2\sqrt{2}$ cm

Xét tam giác vuông IFC có IC = $\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$cm

Vậy độ dài đường chéo AMIN bằng $3\sqrt{2}$ cm.

b) Cách 1:

Ta có: độ dài đường chéo ABCD = độ dài đường chéo AMNI + độ dài đường chéo IFCE = $2\sqrt{2}$ + $3\sqrt{2}$ = $5\sqrt{2}$ cm.

Cách 2:

Độ dài cạnh AB là : 2 + 3 = 5 cm

Độ dài cạnh BC là : 2 + 3 = 5 cm

Xét tam giác vuông ABC có: AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$ cm.

Vậy độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là $5\sqrt{2}$ cm.

Thực hành 3 trang 55 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{20}-\sqrt{5}$

b) $\sqrt{32}-\sqrt{18}+\frac{4}{\sqrt{2}}$

c) $\left(2-\sqrt{10}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)$

Lời giải:

a) $\sqrt{20}-\sqrt{5}=\sqrt{2^2.5}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$

b)$\sqrt{32}-\sqrt{18}+\frac{4}{\sqrt{2}}$$=\sqrt{16.2}-\sqrt{9.2}+\frac{4}{\sqrt{2}}$$=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}$$=\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{2}}$$=\sqrt{2}.\sqrt{2}+4$$=2+4=6$

c) $\left(2-\sqrt{10}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)$$=4-2\sqrt{5}-2\sqrt{10}+\sqrt{10}.\sqrt{5}$$=4-2\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}-2\right)\sqrt{10}$

Thực hành 4 trang 56 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3}+4x\sqrt{\frac{x}{4}}-x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$ với x > 0

b) $\frac{a^2-5}{a+\sqrt{15}}$ với a $\ne -\sqrt{5}$

Lời giải:

a) $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3}+4x\sqrt{\frac{x}{4}}-x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$

$\begin{array}{l}=\frac{2}{3}.3\sqrt{x^2.x}+4x.\frac{1}{2}\sqrt{x}-\sqrt{x^4\frac{1}{x}}\\ =2x\sqrt{x}+2x\sqrt{x}-\sqrt{x^3}\\ =4x\sqrt{x}-x\sqrt{x}\\ =3x\sqrt{x}\end{array}$

b) $\frac{a^2-5}{a+\sqrt{5}}$ với a $\ne -\sqrt{5}$

$\frac{a^2-5}{a+\sqrt{5}}=\frac{\left(a+\sqrt{5}\right)\left(a-\sqrt{5}\right)}{a+\sqrt{5}}=a-\sqrt{5}$

Vận dụng 2 trang 56 Toán 9 Tập 1: Trả lời câu hỏi trong hoạt động khởi động trang 52.

Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp với hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình bên. Khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không? Kiểm tra bằng cách nào?

Lời giải:

Cạnh thửa ruộng bé hình vuông là: $\sqrt{1800}=30\sqrt{2}$m.

Chu vi thửa ruộng bé là: $30\sqrt{2}.4=120\sqrt{2}$m

Cạnh thửa ruộng lớn hình vuông là: $\sqrt{3200}=40\sqrt{2}$ m

Cạnh của tam giác vuông là: $\sqrt{{(30\sqrt{2})}^2+{(40\sqrt{2})}^2}=50\sqrt{2}$ m

Chu vi tam giác vuông là: $30\sqrt{2}+40\sqrt{2}+50\sqrt{2}=120\sqrt{2}$ m.

Vậy khu đất hình tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé.

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

b) $\frac{10}{3\sqrt{5}}$

c) $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12}a}$ với a > 0

a) $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$

b) $\frac{10}{3\sqrt{5}}=\frac{10.\sqrt{5}}{3\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{15}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$

c) $-\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12}a}=-\frac{3\sqrt{a}.\sqrt{12}}{\sqrt{12}a.\sqrt{12}}=\frac{6\sqrt{3a}}{12a}=\frac{\sqrt{3a}}{2a}$ với a > 0

Bài 2 trang 56 Toán 9 Tập 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{4}{7}}$

b) $\sqrt{\frac{5}{24}}$

c) $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}$ với a > 0

d) $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}$ với a < 0, b > 0

a) $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7.7}}=\frac{\sqrt{28}}{7}$

b) $\sqrt{\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{5.24}{24.24}}=\frac{\sqrt{120}}{24}=\frac{2\sqrt{30}}{24}=\frac{\sqrt{30}}{12}$

c) $\sqrt{\frac{2}{3a^3}}=\sqrt{\frac{2.3a^3}{3a^3.3a^3}}=\frac{\sqrt{6a^3}}{3\left|a^3\right|}$ với a > 0

d) $2ab\sqrt{\frac{a^2}{2b}}=2ab\sqrt{\frac{a^2.2b}{2b.2b}}=2ab\frac{\sqrt{2b}\left|a\right|}{2\left|b\right|}=-a^2\sqrt{2b}$ với a < 0, b > 0

Bài 3 trang 56 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$

b) $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}$

c) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ với a > 0; b > 0, $a\ne b$.

a) $\frac{4}{\sqrt{13}-3}$$=\frac{4.\left(\sqrt{13}+3\right)}{\left(\sqrt{13}-3\right)\left(\sqrt{13}+3\right)}$$=\frac{4.\left(\sqrt{13}+3\right)}{{\left(\sqrt{13}\right)}^2-3^2}$$=\frac{4.\left(\sqrt{13}+3\right)}{13-9}$$=\left(\sqrt{13}+3\right)$

b) $\frac{10}{5+2\sqrt{5}}$$=\frac{10.\left(5-2\sqrt{5}\right)}{\left(5+2\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}$$=\frac{10.\left(5-2\sqrt{5}\right)}{5^2-{\left(2\sqrt{5}\right)}^2}$$=\frac{10.\left(5-2\sqrt{5}\right)}{5}$$=2\left(5-2\sqrt{5}\right)$

c) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$$=\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}$$=\frac{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}{a-b}$ với a > 0; b > 0, $a\ne b$.

Bài 4 trang 56 Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{3}-\sqrt{27}$

b) $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$

c) $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ với a > 0

a) $2\sqrt{3}-\sqrt{27}$ $=2\sqrt{3}-\sqrt{9.3}$ $=2\sqrt{3}-3\sqrt{3}$ $=-\sqrt{3}$

b) $\sqrt{45}-\sqrt{20}+\sqrt{5}$ $=\sqrt{5.9}-\sqrt{4.5}+\sqrt{5}$ $=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{5}$ $=2\sqrt{5}$

c) $\sqrt{64a}-\sqrt{18}-a\sqrt{\frac{9}{a}}+\sqrt{50}$ với a > 0

$\begin{array}{l}=8\sqrt{a}-\sqrt{2.9}-3\sqrt{\frac{a^3}{a}}+\sqrt{25.2}\\ =8\sqrt{a}-3\sqrt{2}-3a+5\sqrt{2}\\ =8\sqrt{a}+2\sqrt{2}-3a\end{array}$

Bài 5 trang 56 Toán 9 Tập 1: Tính

a) $\left(\sqrt{\frac{4}{3}}+\sqrt{3}\right)\sqrt{6}$

b) $\sqrt{18}:\sqrt{6}+\sqrt{8}.\sqrt{\frac{27}{2}}$

c) ${\left(1-2\sqrt{5}\right)}^2$

a) $\left(\sqrt{\frac{4}{3}}+\sqrt{3}\right)\sqrt{6}=\sqrt{\frac{4}{3}}.\sqrt{6}+\sqrt{3}.\sqrt{6}$ $=\sqrt{\frac{24}{3}}+\sqrt{18}$$=\sqrt{8}+\sqrt{18}$$=\sqrt{2.4}+\sqrt{2.9}$$=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}$$=5\sqrt{2}$

b) $\sqrt{18}:\sqrt{6}+\sqrt{8}.\sqrt{\frac{27}{2}}$$=\sqrt{\frac{18}{6}}+\sqrt{8.\frac{27}{2}}$$=\sqrt{3}+\sqrt{108}$$=\sqrt{3}+\sqrt{36.3}$$=\sqrt{3}+6\sqrt{3}$$=7\sqrt{3}$

c) ${\left(1-2\sqrt{5}\right)}^2=1-4\sqrt{5}+20=21-4\sqrt{5}$

Bài 6 trang 56 Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=a-b$ với a > 0; b > 0

b) $\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a$ với a $\ge$ 0 và a $\ne$1

a) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=a-b$ với a > 0; b > 0

Xét vế trái ta có:

$\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\frac{\left(a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}$

$=\frac{a\sqrt{ab}+ab-ab-b\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=a-b$ = VP

b) $\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a$ với a $\ge$ 0 và a $\ne$1

Xét vế trái ta có:

$\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)$

$=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-{\left(\sqrt{a}\right)}^2=1-a$ = VP.

Bài 7 trang 56 Toán 9 Tập 1: Tam giác ABC được vẽ trên ô vuông như Hình 4. Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC

Ta có: AB = 2cm; BC = 4cm; AC = 5cm

Chu vi tam giác ABC là: 2 + 4 + 5 = 11 cm

Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}AB.BC$= $\frac{1}{2}.2.4=4$cm²

Bài 8 trang 56 Toán 9 Tập 1: Một vườn hoa gồm ba thửa hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích như Hình 5. Tính chu vi của vườn hoa đó.

Ta có cạnh hình vuông X là: $\sqrt{32}=4\sqrt{2}$m

Suy ra chu vi hình vuông X là: $4\sqrt{2}.4=16\sqrt{2}$m

Ta có cạnh hình vuông Y là: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$m

Suy ra chu vi hình vuông Y là: $3\sqrt{2}.4=12\sqrt{2}$m

Ta có cạnh hình vuông Z là: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$m

Suy ra chu vi hình vuông Z là: $2\sqrt{2}.4=8\sqrt{2}$m

Vậy chu vi của vườn hoa đó là: $16\sqrt{2}+12\sqrt{2}+8\sqrt{2}=36\sqrt{2}$m.