Chi đoàn lớp 12A có 20 đoàn viên trong đó có 12 đoàn viên nam và 8 đoàn viên nữ. Tính xác suất khi chọn 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ.

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Chọn 3 đoàn viên trong 20 đoàn viên có $C_{20}^3$ cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right)=C_{20}^3$.

Gọi X là biến cố “chọn được 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ”

TH1: Chọn được 2 nam và 1 nữ => có $C_{12}^2.C_8^1=528$ cách.

TH2: Chọn được 1 nam và 2 nữ => có $C_{12}^1.C_8^2=336$ cách.

TH3: Chọn được 0 nam và 3 nữ => có $C_{12}^0.C_8^3=56$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến có X là n = 528 + 336 + 56 = 920.

Vậy xác suất cần tính là: $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{920}{C_{20}^3}=\frac{46}{57}.$

* Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối.

- Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu $\left|\Omega \right|$

- Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố $\overline{A}$

- Tính số phần tử tập mô tả biến cố $\left|{\Omega }_{\overline{A}}\right|$ và tính xác suất $P\left(\overline{A}\right)=\frac{\left|{\Omega }_{\overline{A}}\right|}{\left|\Omega \right|}$

* Lý thuyết nắm thêm 

a) Công thức cộng xác suất

- Nếu $A\cap B=\varnothing$ thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

- Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

- Nếu các biến cố A₁ ; A₂; A₃ ; _… A_n đôi một xung khắc với nhau thì

$P\left(A_1\cup A_2\cup \mathrm{...}\cup A_k\right)$$=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\mathrm{...}+P\left(A_k\right)$

- Công thức tính xác suất của biến cố đối: $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

- Mở rộng: Với hai biến cố bất kì cùng liên quan đến phép thử thì:

$P\left(A\cup B\right)$$=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

b) Công thức nhân xác suất

- Hai biến cố gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra biến cố kia.

- Nếu A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right).P\left(B\right)$

- Một cách tổng quát, nếu k biến cố A1,A2,A3,...,Ak là độc lập thì

$P\left(A_1\cap A_2\cap A_3\cap \mathrm{...}\cap A_k\right)$$=P\left(A_1\right).P\left(A_2\right).P\left(A_3\right)\mathrm{...}P\left(A_k\right)$

* Chú ý:

Nếu A và B độc lập thì A và $\overline{B}$ độc lập, B và $\overline{A}$ độc lập, $\overline{B}$ và $\overline{A}$ độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức

$\begin{array}{l}P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right).P\left(\overline{B}\right)\\ \\ P\left(\overline{A}\cap B\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(B\right)\\ \\ P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)\end{array}$

Dạng 1: Tính xác suất của biến cố xung khắc, biến cố đối

Phương pháp giải:

+ Tính gián tiếp xác suất thông qua biến cố đối.

- Xác định phép thử T và tính số phần tử của không gian mẫu $\left|\Omega \right|$

- Xác định biến cố A, từ đó suy ra biến cố $\overline{A}$

- Tính số phần tử tập mô tả biến cố $\left|{\Omega }_{\overline{A}}\right|$ và tính xác suất $P\left(\overline{A}\right)=\frac{\left|{\Omega }_{\overline{A}}\right|}{\left|\Omega \right|}$

- Xác suất biến cố A là $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)$.

+ Tính biến cố xung khắc:

- Xác định biến cố xung khắc

- Tính biến cố xung khắc theo công thức cộng xác suất.

Dạng 2: Tính xác suất sử dụng công thức cộng và nhân

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính xác suất và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất 

Lý thuyết Xác suất của biến cố (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11