Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC và bán kính R. A là một điểm thay đổi trên nửa đường tròn sao cho AB > AC. Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực của BC tại D. Hạ DH và DK lần lượt vuông góc tới AB và AC.

a) Chứng minh tứ giác AHDK là một hình vuông.

b) Chứng minh bốn điểm A, B, C và D cùng nằm trên một đường tròn.

c, qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E , qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng BD tại X . CMR X là điểm cố định

d, hạ AM vuông góc vơi BC . Tìm GTLN của tổng (2AM+MB)

Lời giải

a.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to AB\perp AC$

Mà $DH\perp AB,DK\perp AC$

$\to AHDK$ là hình chữ nhật

Lại có $AD$ là phân giác $\hat{A}$

$\to AHDK$ là hình vuông

b.Từ câu a $\to DH=DK$

Do $D\in$ trung trực của $BC\to DB=DC$

$\to \sin \widehat{HBD}={\displaystyle \frac{DH}{BD}}={\displaystyle \frac{DK}{DC}}=\sin \widehat{DCK}$

$\to \widehat{DBH}=\widehat{DCK}$

$\to \widehat{DCK}=\widehat{ABD}$

$\to ABDC$ nội tiếp

$\to A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn

c.Ta có $ABCD$ nội tiếp, $A,B,C\in (O)$

$\to D\in (O)$

Mà $AD$ là phân giác $\hat{A}$

$\to D$ nằm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$

Do $B,C$ cố định

$\to D$ cố định

Mặt khác $\widehat{BDC}={180}^o-\widehat{BAC}={90}^o\to CD\perp BX$

Ta có $CE//AB,XE//AC,AB\perp AC\to EC\perp EX$

$\to \widehat{XDC}=\widehat{XEC}(={90}^o)$

$\to CXED$ nội tiếp

$\to \widehat{ECX}=\widehat{EDB}=\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$

$\to \widehat{BCX}=\widehat{BCE}+\widehat{ECX}=\widehat{BCE}+\widehat{ACB}=\widehat{ACE}={90}^o$

Vì $CE//AB,AB\perp AC\to AC\perp CE$

$\to BC\perp CX$

Mà $\widehat{CBD}=\widehat{DAC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\widehat{BAC}={45}^o$

$\to \mathrm{\Delta }CBX$ vuông cân tại $C$

$\to CX\perp BC,CX=BC$

$\to X$ cố định

d.Ta có:

$P=2AM+MB$

$\to P=2AM+(MO+OB)$

$\to P=2AM+MO+R$

$\to P=(2AM+MO)+R$

$\to P=\sqrt{(2AM+MO{)}^2}+R$

$\to P\le \sqrt{(2^2+1^2)(A{M}^2+M{O}^2)}+R$

$\to P\le \sqrt{5A{O}^2}+R$

$\to P\le \sqrt{5R^2}+R$

$\to P\le R(\sqrt{5}+1)$

Dấu = xảy ra khi $MA=MO$

$\to \mathrm{\Delta }MAO$ vuông cân tại $O\to \widehat{AOM}={45}^o\to \widehat{AOC}={45}^o$

*Phương pháp giải:

a) Dựa vào hình chữ nhật có tia phân giác

b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

c) Dựa vào tam giác vuông cân tại C

d) Dựa vào tam giác MAO vuông cân tại O

*Lý thuyết:

1. Định nghĩa

- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Trong hình vẽ trên, ta nói: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

2. Định lí

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng $180°$ .

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180°$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Xét hình vẽ:

- Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) $\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=180°$ hoặc $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$

- Tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{C}=180°$ hoặc $\widehat{B}+\widehat{D}=180°$ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Xem thêm

50 bài tập về Tứ giác nội tiếp (có đáp án 2025) và cách giải 

Lý thuyết Tứ giác nội tiếp đường tròn - Toán 9 Cánh diều