Khi nào phương trình đổi dấu bé lớn ?

Lời giải

Bất đẳng thức đổi chiều khi chia hoặc nhân hai vế với số âm

VD: $-2x>3$

$\to x<-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Hoặc

$x>4$

$\to -2x<-8.$

*Phương pháp giải:

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng:$ax+b>0,ax+b<0,$ $ax+b\ge 0,ax+b\le 0$ với $a,b\in ℝ.$

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: $ax+b>0$ (1).

+) Nếu $a>0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x>-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{b}{a};+\infty \right)\cdot$

+) Nếu $a<0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x<-\frac{b}{a}$

*Lý thuyết:

a. Bất phương trình một ẩn:

- Bất phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) $\left(f\left(x\right)\le g\left(x\right)\right)$ trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x.

- Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa.

- Giá trị thỏa mãn điều kiện xác định sao cho $f\left(x_0\right)<g\left(x_0\right)\left(f\right(x_0)\le g(x_0\left)\right)$ là một mệnh đề đúng thì $x_0$ là một nghiệm của bất phương trình $f\left(x_0\right)<g\left(x_0\right)$$\left(f\right(x_0)\le g(x_0\left)\right)$ .

- Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

b. Một số phép biến đổi bất phương trình:

- Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

- Một số phép biến đổi tương đương:

Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với $\forall x\in D$ thì:

+) P(x) < Q(x)$\iff$P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x)$\iff$P(x) − f(x) < Q(x)

+) P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0,$\forall x$

P(x) < Q(x)$\iff$ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0,$\forall x$

+) P(x) < Q(x) $\iff P^2\left(x\right)<Q^2\left(x\right)$ nếu $P\left(x\right)\ge 0,Q\left(x\right)\ge 0,\forall x.$

Dạng 2.1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng:$ax+b>0,ax+b<0,$ $ax+b\ge 0,ax+b\le 0$ với $a,b\in ℝ.$

- Giải và biện luận bất phương trình dạng: $ax+b>0$ (1).

+) Nếu $a>0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x>-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{b}{a};+\infty \right)\cdot$

+) Nếu $a<0$ thì $\left(1\right)\iff ax>-b\iff x<-\frac{b}{a}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\infty ;-\frac{b}{a}\right)\cdot$

+) Nếu a=0 thì $\left(1\right)\iff 0.x>-b.$ Khi đó, ta xét:

Với $-b\ge 0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\varnothing$

Với $-b<0\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$

Lưu ý: Ta giải tương tự với $ax+b<0,ax+b\le 0,ax+b\ge 0.$

Xem thêm

50 bài tập về Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp (có đáp án 2025) chi tiết nhất 

Bất phương trình bậc nhất và cách giải bài tập  chi tiết nhất