Lý thuyết Tứ giác nội tiếp đường tròn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay còn gọi là tứ giác nội tiếp).

Chú ý:Trong hình vẽ sau, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và đường tròn (O) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ví dụ 1. Trong các hình sau, hình nào biểu diễn một tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Hướng dẫn giải

– Ở Hình a), tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh A không thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình b), tứ giác OMNP không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh O không thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình c), tứ giác DEFG nội tiếp đường tròn (O) vì cả bốn đỉnh D, E, F, G đều thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình d), tứ giác IJHK không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh J không thuộc đường tròn (O).

2. Tính chất

Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng 180°.

Ví dụ 2. Tính số đo $\widehat{BAD},\widehat{ADC}$ ở hình vẽ dưới đây.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{BAD}=180°-\widehat{BCD}=180°-90°=90°.$

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-72°=108°.$

Vậy $\widehat{BAD}=90°;\widehat{ADC}=108°.$

3. Hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp đường tròn

3.1. Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

Ví dụ 3. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo ở hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD và O là trung điểm của BD.

Tam giác ABD vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BD² = AB² + AD² = 8² + 6² = 100.

Suy ra BD = 10.

Do đó $OB=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính R = OB = 5.

3.2. Hình vuông nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

– Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Ví dụ 4. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo ở hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Hình vuông MNPQ có cạnh a = 5.

Hình vuông MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông MNPQ.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm I và bán kính $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Bài tập Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài 1. Cho hình vẽ bên dưới.

Giá trị của x và số đo $\widehat{ADC}$ lần lượt bằng

A. 95° và 120°;

B. 60° và 95°;

C. 30° và 60°;

D. 95° và 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra 2x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-85°=95°.$

Vậy x = 60° và $\widehat{ADC}=95°.$

Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn là

A. tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

B. tứ giác có nhiều nhất bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

C. tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 90°;

D. tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $a\sqrt{2};$

B. Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó;

C. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°;

D. Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là trung điểm của một cạnh bất kì của hình vuông đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương án A sai. Sửa lại: Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Phương án B sai. Sửa lại: Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.

Phương án C đúng.

Phương án D sai. Sửa lại: Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông đó.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Biết rằng $\widehat{ABC}=70°;\widehat{ODC}=50°.$ Tính số đo $\widehat{AOD}.$

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-70°=110°.$

Ta có $\widehat{ADO}+\widehat{ODC}=\widehat{ADC}.$

Suy ra $\widehat{ADO}=\widehat{ADC}-\widehat{ODC}=110°-50°=60°.$

Tam giác OAD cân tại O (do OA = OD = R) có $\widehat{ADO}=60°$ nên ∆OAD là tam giác đều. Do đó $\widehat{AOD}=60°.$

Bài 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và đường thẳng không đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm C, D (C nằm giữaA và D, đường thẳng AD không cắt đoạn thẳng OB). Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB ⊥ OB hay $\widehat{OBA}=90°.$

Xét ∆OCD cân tại O (do OC = OD) có OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó OE ⊥ CD hay $\widehat{OEC}=90°.$

Khi đó, ∆OAB vuông tại B và OAE vuông tại E cùng nội tiếp đường tròn đường kính OA là cạnh huyền của hai tam giác đó.

Do đó bốn điểm O, A, B, E cùng nằm trên đường tròn đường kính OA hay tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Bài 6. Người ta cần xây dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa hình tròn (như hình vẽ).

Tính chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Gọi ABCD là khung cổng hình chữ nhật.

Vẽ hình chữ nhật ABEF (hình vẽ) và O là giao điểm của hai đường chéo AE, BF.

Khi đó ta có AF = 2AD = 2.3 = 6 (m).

Tam giác ABF vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BF² = AF² + AB²= 6² + 4² = 52.

Do đó $BF=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (cm).

Vì vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $R=\frac{BF}{2}=\sqrt{13}$ (cm).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $C=2\pi R=2\pi \sqrt{13}$ (cm).

Vậy chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn là $\frac{C}{2}=\frac{2\pi \sqrt{13}}{2}\approx 11,33$ cm.