Lý thuyết Tứ giác nội tiếp đường tròn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Tứ giác có bốn đỉnh thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay còn gọi là tứ giác nội tiếp).

Chú ý:Trong hình vẽ sau, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và đường tròn (O) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Ví dụ 1. Trong các hình sau, hình nào biểu diễn một tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Hướng dẫn giải

– Ở Hình a), tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh A không thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình b), tứ giác OMNP không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh O không thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình c), tứ giác DEFG nội tiếp đường tròn (O) vì cả bốn đỉnh D, E, F, G đều thuộc đường tròn (O).

– Ở Hình d), tứ giác IJHK không nội tiếp đường tròn (O) vì đỉnh J không thuộc đường tròn (O).

2. Tính chất

Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng 180°.

Ví dụ 2. Tính số đo $\widehat{BAD},\widehat{ADC}$ ở hình vẽ dưới đây.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{BAD}=180°-\widehat{BCD}=180°-90°=90°.$

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-72°=108°.$

Vậy $\widehat{BAD}=90°;\widehat{ADC}=108°.$

3. Hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp đường tròn

3.1. Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

Ví dụ 3. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo ở hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD và O là trung điểm của BD.

Tam giác ABD vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BD² = AB² + AD² = 8² + 6² = 100.

Suy ra BD = 10.

Do đó $OB=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính R = OB = 5.

3.2. Hình vuông nội tiếp đường tròn

– Mỗi hình vuông là một tứ giác nội tiếp đường tròn.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn đó.

– Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Ví dụ 4. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo ở hình vẽ bên dưới.

Hướng dẫn giải

Hình vuông MNPQ có cạnh a = 5.

Hình vuông MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông MNPQ.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ là: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có tâm I và bán kính $R=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$

Bài tập Tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài 1. Cho hình vẽ bên dưới.

Giá trị của x và số đo $\widehat{ADC}$ lần lượt bằng

A. 95° và 120°;

B. 60° và 95°;

C. 30° và 60°;

D. 95° và 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra 2x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-85°=95°.$

Vậy x = 60° và $\widehat{ADC}=95°.$

Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn là

A. tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

B. tứ giác có nhiều nhất bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó;

C. tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 90°;

D. tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $a\sqrt{2};$

B. Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó;

C. Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°;

D. Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là trung điểm của một cạnh bất kì của hình vuông đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương án A sai. Sửa lại: Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Phương án B sai. Sửa lại: Mỗi đường chéo của hình chữ nhật là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.

Phương án C đúng.

Phương án D sai. Sửa lại: Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông đó.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Biết rằng $\widehat{ABC}=70°;\widehat{ODC}=50°.$ Tính số đo $\widehat{AOD}.$

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R), có: $\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180°$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

Suy ra $\widehat{ADC}=180°-\widehat{ABC}=180°-70°=110°.$

Ta có $\widehat{ADO}+\widehat{ODC}=\widehat{ADC}.$

Suy ra $\widehat{ADO}=\widehat{ADC}-\widehat{ODC}=110°-50°=60°.$

Tam giác OAD cân tại O (do OA = OD = R) có $\widehat{ADO}=60°$ nên ∆OAD là tam giác đều. Do đó $\widehat{AOD}=60°.$

Bài 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm) và đường thẳng không đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm C, D (C nằm giữaA và D, đường thẳng AD không cắt đoạn thẳng OB). Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên AB ⊥ OB hay $\widehat{OBA}=90°.$

Xét ∆OCD cân tại O (do OC = OD) có OE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó OE ⊥ CD hay $\widehat{OEC}=90°.$

Khi đó, ∆OAB vuông tại B và OAE vuông tại E cùng nội tiếp đường tròn đường kính OA là cạnh huyền của hai tam giác đó.

Do đó bốn điểm O, A, B, E cùng nằm trên đường tròn đường kính OA hay tứ giác ABOE là tứ giác nội tiếp.

Bài 6. Người ta cần xây dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa hình tròn (như hình vẽ).

Tính chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Gọi ABCD là khung cổng hình chữ nhật.

Vẽ hình chữ nhật ABEF (hình vẽ) và O là giao điểm của hai đường chéo AE, BF.

Khi đó ta có AF = 2AD = 2.3 = 6 (m).

Tam giác ABF vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BF² = AF² + AB²= 6² + 4² = 52.

Do đó $BF=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (cm).

Vì vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $R=\frac{BF}{2}=\sqrt{13}$ (cm).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABEF là: $C=2\pi R=2\pi \sqrt{13}$ (cm).

Vậy chiều dài của đoạn thép dùng để làm khung nửa đường tròn là $\frac{C}{2}=\frac{2\pi \sqrt{13}}{2}\approx 11,33$ cm.

Trắc nghiệm: Tứ giác nội tiếp đường tròn

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$

B. $\widehat{BAC}=\widehat{BAx}$

C. $\widehat{DCB}=\widehat{BAx}.$

D. $\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180°.$

Câu 2. Trong các hình dưới đây.

Trong các hình trên, tứ giác trong hình nào là tứ giác nội tiếp?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4.

Câu 3. Cho nửa đường tròn $\left(O;R\right)$ đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến $AF,Bx$ của nửa kia đường tròn (O) (với F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia Bx của nửa đường tròn tại D. Khi đó tứ giác OBDF là

A. Hình thang.

B. Tứ giác nội tiếp.

C. Hình thang cân.

D. Hình bình hành.

Câu 4. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M và $\widehat{BAD}=70°$ thì số đo góc BCM là

A. 110⁰

B. 30⁰

C. 70⁰

D. 55⁰

Câu 5. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trong các tứ giác sau, tứ giác nội tiếp là

A. AHBC

B. BCDE

C. BCDA

D. Không có tứ giác nào là tứ giác nội tiếp.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Lấy điểm M bất kì nằm trên đường tròn (O). Gọi P là giao điểm của MB và đường vuông góc với AB tại C. Chọn khẳng định đúng.

A. Tứ giác PMAC là tứ giác nội tiếp.

B. Tam giác BCM vuông.

C. Tam giác BCP có CM là đường trung tuyến.

D. Không có khẳng định nào đúng.

Câu 7. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. Tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác OBDM là tứ giác nội tiếp.

C. Tứ giác ACDB là hình thang vuông.

D. Tứ giác ACDB là tứ giác nội tiếp.

Câu 8. Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D tương ứng. Trường hợp nào sau đây thì tứ giác ABCD có thể là tứ giác nội tiếp?

A. $50°;60°;130°;140°$

B. $65°;85°;115°;95°.$

C. $82°;90°;98°;100°.$

D. Không có trường hợp nào .

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chọn câu đúng:

A. Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.

B. Tứ giác BEFC không nội tiếp.

C. Tứ giác AFHE là hình vuông.

D. Tứ giác AFHE không nội tiếp.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ $CK\perp AE$ tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Tích AH.AB bằng

A. $4A{O}^2$

B. $AD\cdot BD$

C. $B{D}^2$

D. $A{D}^2$