Lý thuyết Hình cầu - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Hình cầu

1. Hình cầu

1.1. Nhận biết hình cầu

Cắt một miếng bìa có dạng nửa hình tròn (đường kính AB = 2R, tâm O). Khi quay miếng bìa một vòng quanh đường thẳng cố định chứa đường kính AB (Hình a), miếng bìa đó tạo nên một hình như ở Hình b.

Nhận xét: Hình được tạo ra khi quay một nửa hình tròn một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa đường kính của nó là hình cầu.

Với hình cầu như ở hình vẽ trên, ta có:

⦁ Nửa đường tròn đường kính AB quét nên mặt cầu; như vậy, mặt cầu là hình được tạo ra khi quay một nửa đường tròn một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa đường kính của nó;

⦁ Điểm O là tâm của hình cầu (hay tâm của mặt cầu);

⦁ Đoạn thẳng AB là đường kính của hình cầu (hay đường kính của mặt cầu);

⦁ R là bán kính của hình cầu (hay bán kính của mặt cầu).

Ví dụ 1. Cho biết tâm và bán kính của hình cầu ở hình bên.

Hướng dẫn giải

Hình cầu đã cho có tâm A, bán kính 5 cm.

1.2. Tạo lập hình cầu

Cắt một số miếng bìa có dạng hình tròn có cùng đường kính. Mỗi miếng bìa tròn đó được cắt làm hai nửa hình tròn. Ghép các miếng bìa có dạng nửa hình tròn đó để được một hình cầu như ở Hình 31.

Ví dụ 2. Tạo lập một hình cầu có bán kính là 5 cm.

Hướng dẫn giải

Để tạo lập được một hình cầu có bán kính là 5 cm, ta làm như sau:

Bước 1. Cắt một số miếng bìa có dạng hình tròn có cùng bán kính 5 cm (Hình a).

Bước 2. Mỗi miếng bìa tròn đó được cắt làm hai nửa hình tròn (Hình b).

Bước 3. Ghép các miếng bìa có dạng nửa hình tròn đó để được một hình cầu bán kính 5 cm (Hình c).

1.3. Nhận biết phần chung giữa mặt phẳng và hình cầu

⦁ Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung giữa chúng là một hình tròn (hình vẽ).

Đặc biệt, nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm hình cầu thì phần chung giữa chúng là một hình tròn lớn (hình vẽ).

⦁ Nếu cắt một mặt cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung giữa chúng là một đường tròn.

2. Diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S = 4πR².

Ví dụ 3. Cho một mặt cầu có bán kính 5 cm. Tính diện tích mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích mặt cầu đó là:

S = 4πR² = 4π.5² = 100π (cm²).

3. Thể tích của hình cầu

Thể tích của hình cầu có bán kính R là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Ví dụ 4. Tính thể tích của hình cầu có bán kính 6 dm.

Hướng dẫn giải

Thể tích của hình cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=288\pi$(dm³).

Bài tập Hình cầu

Bài 1. Cho một hình cầu có đường kính đáy 14 cm. Khi đó diện tích mặt cầu đó bằng

A. $\frac{196}{3}\pi$ cm²;

B. $\frac{1372}{3}\pi$ cm²;

C. 196π cm²;

D. 196π cm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bán kính đáy của mặt cầu đó là: $R=\frac{14}{2}=7$ (cm).

Diện tích mặt cầu đó là: S = 4πR² = 4π.7² = 196π (cm²).

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2. Điền vào chỗ trống: “Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng ... thì phần chung giữa chúng là một hình tròn lớn.”

A. Không đi qua tâm của hình cầu;

B. Đi qua tâm của hình cầu;

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu thì phần chung giữa chúng là một hình tròn lớn.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Cho hình cầu có diện tích hình tròn lớn bằng 81π dm². Khi đó thể tích của hình cầu đó bằng

A. 972 dm³;

B. 972π dm²;

C. 2916π dm³;

D. 972π dm³.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bán kính của hình cầu là: $R=\sqrt{\frac{81\pi }{\pi }}=9$ (dm).

Thể tích của hình cầu đó là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 9^3=972\pi$ (dm³).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Một quả bóng đá có chu vi của đường tròn lớn bằng 68,5 cm. Bề mặt của quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích bằng 49,83 cm². Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? (Coi phần mép khâu không đáng kể).

Hướng dẫn giải

Bán kính của quả bóng đá là:

$R=\frac{C}{2\pi }=\frac{68,5}{2\pi }=\frac{137}{4\pi }$ (cm).

Diện tích quả bóng đá là:

$S=4\pi R^2=4\pi \cdot {\left(\frac{137}{4\pi }\right)}^2=\frac{18769}{4\pi }$ (cm²).

Ta có: $\frac{18769}{4\pi }:49,83\approx 29,97.$

Vậy cần ít nhất 30 miếng da để làm quả bóng đá đó.

Bài 5. Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng tennis xếp theo chiều dọc (như hình vẽ). Các quả bóng tennis có dạng hình cầu, đường kính 6,5 cm.

a) Tính thể tích của mỗi quả bóng tennis.

b) Bỏ qua bề dày của vỏ hộp, tính thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của mỗi quả bóng tennis là:

$R=\frac{6,5}{2}=3,25$ (cm).

Thể tích của mỗi quả bóng tennis là:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3,{25}^3=\frac{2197}{48}\pi$ (cm³).

b) Thể tích của ba quả bóng tennis là:

$3\cdot \frac{2197}{48}\pi =\frac{2197}{16}\pi$(cm³).

Chiều cao của hộp đựng bóng là:

3.6,5 = 19,5 (cm).

Thể tích của hộp đựng bóng là:

$V=\pi R^{2}h=\pi \cdot 3,{25}^2\cdot 19,5=\frac{6591}{32}\pi$(cm³).

Thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis là:

$\frac{6591}{32}\pi -\frac{2197}{16}\pi =\frac{2197}{32}\pi \approx 215,7$ (cm³).

Vậy thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis khoảng 215,7 cm³.