Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn– Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Bất phương trình bậc nhất một ẩn- Cánh diều

A. Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Mở đầu vế bất phương trình một ẩn

– Khái niệm bất phương trình một ẩn: Một bất phương trình với ẩn x có dạng A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x), A(x) ≥ B(x), A(x) ≤ B(x)) trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

– Khái niệm nghiệm của bất phương trình một ẩn: Khi thay giá trị x = a vào bất phương trình với ẩn x, ta được một khẳng định đúng thì số a (hay giá trị x = a) gọi là nghiệm của bất phương trình đó.

Chú ý: Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 1. Cho các bất phương trình sau, phương trình nào là bất phương trình một ẩn? Nếu có, hãy xét xem x = –1 có là nghiệm của bất phương trình một ẩn đó hay không.

a) x + y > 1.

b) x² – x + 1 ≤ 3.

Hướng dẫn giải

Bất phương trình ở câu a không phải bất phương trình một ẩn vì có chứa ẩn y.

Bất phương trình ở câu b là bất phương trình một ẩn.

Khi thay x = –1 vào bất phương trình x² – x + 1 ≤ 3, ta được:

(–1)² – 1 + 1 ≤ 3 là khẳng định đúng.

Vậy x = –1 là nghiệm của bất phương trình x² – x + 1 ≤ 3.

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

2.1. Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 2. Cho các bất phương trình sau, phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn x? Nếu có, hãy xét xem x = –1 có là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn x đó hay không.

a) 0x + 3 ≤ 0.

b) –2x + 1 < 0.

c) 3y > 0.

d) 2x² – 1 > 0.

e) $\frac{1}{x}+4\ge 0.$

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình 0x + 3 ≤ 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì hệ số a = 0.

b) Bất phương trình –2x + 1 < 0 là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Khi thay x = –1 vào bất phương trình, ta có: –2.(–1) + 1 < 0 là khẳng định không đúng.

Vậy x = –1 không là nghiệm của bất phương trình –2x + 1 < 0.

c) Bất phương trình 3y > 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chỉ chứa ẩn y.

d) Bất phương trình 2x² – 1 > 0 không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chứa x².

e) Bất phương trình $\frac{1}{x}+4\ge 0.$ không là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì bất phương trình này chứa ẩn ở mẫu.

2.2. Cách giải

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a > 0) được giải như sau:

ax + b > 0

ax > –b

$x>-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x>-\frac{b}{a}.$

⦁ Bất phương trình ax + b > 0 (với a < 0) được giải như sau:

ax + b > 0

ax > –b

$x<-\frac{b}{a}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: $x<-\frac{b}{a}.$

Chú ý: Các bất phương trình bậc nhất ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được giải bằng cách tương tự.

Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 2x + 1 < 0.

b) –2x + 3 ≥ 0.

c) –2(x + 3) + 3 – x > 0.

d) 0,5x – 6(x – 2) ≤ 0.

Hướng dẫn giải

a) 2x + 1 < 0

2x < –1

$x<\frac{-1}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x<\frac{-1}{2}.$

b) –2x + 3 ≥ 0

–2x ≥ –3

$x\le \frac{-3}{-2}$

$x\le \frac{3}{2}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x\le \frac{3}{2}.$

c) –2(x + 3) + 3 – x > 0

–2x – 6 + 3 – x > 0

–3x > 3

x < –1.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –1.

d) 0,5x – 6(x – 2) ≤ 0

0,5x – 6x + 12 ≤ 0

–5,5x ≤ –12

$x\ge \frac{-12}{-5,5}$

$x\ge \frac{24}{11}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x\ge \frac{24}{11}.$

Ví dụ 4. Để giải bất phương trình x + 2 < 2 + 3x, ta làm như sau:

x + 2 < 2 + 3x

x + 2 – 3x < 2 ← Cộng cả hai vế với –3x

–2x < 0 ← Cộng cả hai vế với –2

x > 0 ← Nhân cả hai vế với $-\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 0.

Nhận xét: Bằng cách tương tự như trên, ta có thể giải được các bất phương trình dạng: ax + b > cx + d; ax + b < cx + d; ax + b ≥ cx + d; ax + b ≤ cx + d (với a ≠ c).

2.3. Quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân đối với bất phương trình

Đối với bất phương trình, ta có các quy tắc sau:

– Quy tắc chuyển vế: Trong một bất phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.

– Quy tắc nhân với một số (gọi tắt là quy tắc nhân): Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Chú ý: Nhân cả hai vế với $\frac{1}{a}\left(a\ne 0\right)$ cũng có nghĩa là chia cả hai vế cho a. Do đó, quy tắc nhân còn có thể phát biểu như sau:

Khi chia hai vế của bất phương trình cho cùng một số khác 0, ta phải:

⦁ Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;

⦁ Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 4 + x > 5 – 3x.

Hướng dẫn giải

Để giải bất phương trình 4 + x > 5 – 3x, ta làm như sau:

4 + x > 5 – 3x

4 + x + 3x > 5 ← Chuyển số hạng –3x từ vế phải sang vế trái

4x + 4 > 5

4x > 5 – 4 ← Chuyển số hạng 4 từ vế trái sang vế phải

4x > 1

$x>\frac{1}{4}$ ← Chia cả hai vế cho số 4 là số dương

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{1}{4}$

B. Sơ đồ tư duy Bất phương trình bậc nhất một ẩn

C. Bài tập Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 7 – x < 2x.

B. 2x + 3 > 9.

C. –4x ≥ x + 5.

D. 5 – x > 6x – 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay x = 2 vào từng bất phương trình ta có:

⦁ 7 – 2 < 2.2 là khẳng định sai;

⦁ 2.2 + 3 > 9 là khẳng định sai;

⦁ –4.2 ≥ 2 + 5 là khẳng định sai;

⦁ 5 – 2 > 6.2 – 12 là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) 3x + 2 > 0.

b) –x + 7 ≥ x – 3.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3.

Hướng dẫn giải

a) 3x + 2 > 0

3x > –2

$x>\frac{-2}{3}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x>\frac{-2}{3}.$

b) –x + 7 ≥ x – 3

–x – x ≥ – 3 – 7

–2x ≥ –10

x ≤ 5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 5.

c) –2x + 3(x – 1) ≤ 0

–2x + 3x – 3 ≤ 0

x ≤ 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3.

d) –2(x + 3) + 5(x – 1) < 2x + 3

–2x – 6 + 5x – 5 < 2x + 3

3x – 11 < 2x + 3

3x – 2x < 3 + 11

x < 14.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 14.

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x.$

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x-3}{3}\ge \frac{3x-2}{4}.$

$\frac{4\left(2x-3\right)}{12}\ge \frac{3\left(3x-2\right)}{12}$

4(2x – 3) ≥ 3(3x – 2)

8x – 12 ≥ 9x – 6

8x – 9x ≥ – 6 + 12

–x ≥ 6

x ≤ –6.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –6.

b) $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x$

$\frac{3\left(3x+5\right)}{6}-\frac{6}{6}\le \frac{2\left(x+2\right)}{6}+\frac{6x}{6}$

3(3x + 5) – 6 ≤ 2(x + 2) + 6x

9x + 15 – 6 ≤ 2x + 4 + 6x

9x – 2x – 6x ≤ 4 – 15 + 6

x ≤ –5.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ –5.

c) $\frac{x+2}{6}+\frac{x+5}{3}>\frac{x+3}{5}+\frac{x+6}{2}$

$\left(\frac{x+2}{6}+1\right)+\left(\frac{x+5}{3}+1\right)>\left(\frac{x+3}{5}+1\right)+\left(\frac{x+6}{2}+1\right)$

$\frac{x+2+6}{6}+\frac{x+5+3}{3}-\frac{x+3+5}{5}-\frac{x+6+2}{2}>0$

$\frac{x+8}{6}+\frac{x+8}{3}-\frac{x+8}{5}-\frac{x+8}{2}>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\right)>0$

$\left(x+8\right)\left(\frac{5}{30}+\frac{10}{30}-\frac{6}{30}-\frac{15}{30}\right)>0$

$\left(x+8\right)\cdot \frac{-6}{30}>0$

x + 8 < 0

x < –8.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < –8.

Bài 4. Bạn An đi taxi công nghệ đến trường, biết rằng đi taxi công nghệ rẻ bằng nửa giá mỗi km so với đi taxi truyền thống nhưng chịu giá mở cửa xe là 12 000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng bạn An phải trả số tiền lớn hơn 42 000 đồng và nhỏ hơn 52 000 đồng. Tính số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường, biết nếu đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn.

Hướng dẫn giải

Gọi số tiền bạn An phải trả khi đi taxi truyền thống là x (đồng). (x > 0)

Khi đó, số tiền bạn An phải trả khi đi taxi công nghệ là $\frac{x}{2}+12000$ (đồng).

Theo bài, ta có bất phương trình:

$\frac{x}{2}+12000>42000\left(1\right)$ và $\frac{x}{2}+12000<52000\left(2\right)$

Giải bất phương trình (1):

$\frac{x}{2}+12000>42000$

$\frac{x}{2}>30000$

x > 60 000. (*)

Giải bất phương trình (2):

$\frac{x}{2}+12000<52000$

$\frac{x}{2}<40000$

x < 80 000. (**)

Từ (*) và (**) ta có 60 000 < x < 80 000.

Mà khi đi taxi truyền thống thì số tiền bạn An phải trả là số tròn chục nghìn nên ta có x = 70 000.

Vậy số tiền nếu bạn An đi xe taxi truyền thống đến trường là 70 000 đồng.

Bài 5. Trong các bất phương trình sau, đâu nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A. 5x + 7 < 0.

B. 0x + 6 > 0.

C. x² – 2x > 0.

D. x – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Dựa vào định nghĩa trên, ta có:

⦁ Bất phương trình ở phương án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

⦁ Bất phương trình ở phương án B không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có a = 0.

⦁ Bất phương trình ở phương án C không là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì có x².

⦁ Bất phương trình ở phương án D không là bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án A.