Lý thuyết Hình nón - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Hình nón

1. Hình nón

1.1. Nhận biết hình nón

Cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông AOC. Khi quay miếng bìa một vòng quanh đường thẳng cố định chứa cạnh AO (Hình a), miếng bìa đó tạo nên một hình như ở Hình b.

Nhận xét: Hình được tạo ra khi quay một hình tam giác vuông một vòng xung quanh đường thẳng cố định chứa một cạnh góc vuông của tam giác đó là hình nón.

Với hình nón như ở hình vẽ trên, ta có:

⦁ Điểm A là đỉnh;

⦁ Hình tròn tâm O bán kính OC là mặt đáy;

⦁ Độ dài cạnh OC được gọi là bán kính đáy;

⦁ Độ dài cạnh AO được gọi là chiều cao;

⦁ Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của cạnh AC được gọi là một đường sinh.

Chú ý: Nếu gọi độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón lần lượt là l, h và r thì theo định lí Pythagore ta có: l² = h² + r².

Ví dụ 1. Một hình nón có đường sinh là 13 cm, bán kính đáy là 5 cm. Tính chiều cao của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

Ta có: h² = l² – r² = 13² – 5² = 144.

Suy ra h = 12 (cm).

Vậy chiều cao của hình nón là 12 cm.

Ví dụ 2. Quan sát hình nón ở hình bên và cho biết:

a) Đỉnh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

b) Trên hình vẽ có các đường sinh nào? Cho biết độ dài đường sinh của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Hình nón đã cho có A là đỉnh, bán kính đáy là r = OC = 4 cm, chiều cao là h = AO = 6 cm.

b) Trên hình vẽ có các đường sinh AB, AC, AD.

Ta có: l² = h² + r² = 6² + 4² = 52.

Suy ra $l=2\sqrt{13}$ (cm).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là $2\sqrt{13}$ cm.

1.2. Tạo lập hình nón

a) Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 3 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 3 cm (Hình a).

b) Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 8 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình b).

c) Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở câu a, b (Hình c) để được một hình nón như ở Hình d.

Ví dụ 3. Tạo lập một hình nón có bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm.

Hướng dẫn giải

Để tạo lập được một hình nón có bán kính đáy là 6 cm, chiều cao là 8 cm, ta làm như sau:

Bước 1. Cắt một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính 6 cm và tạo một đoạn dây mảnh không dãn có độ dài bằng chu vi của đường tròn bán kính 6 cm (Hình a).

Bước 2. Độ dài đường sinh là $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\text{(cm).}$ Lấy một miếng bìa có dạng hình tròn với bán kính bằng 10 cm; đánh dấu điểm C trên mép ngoài của hình tròn đó; gắn một đầu của đoạn dây ở Hình a vào điểm C rồi cuốn đoạn dây xung quanh hình tròn và đánh dấu đầu mút cuối của sợi dây là điểm D trên mép ngoài của hình tròn; cắt ra từ miếng bìa tròn đó hình quạt tròn CAD (Hình b).

Bước 3. Ghép và dán các miếng bìa vừa cắt ở Bước 1, Bước 2 (Hình c) để được một hình nón như ở Hình d.

2. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh: $S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot C\cdot l=\pi rl,$trong đó S_xq là diện tích xung quanh, r là bán kính đáy, C là chu vi đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón.

Chú ý: Tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của hình nón gọi là diện tích toàn phần của hình nón đó.

Diện tích toàn phần của hình nón được tính theo công thức:

S_tp = πrl + πr² = πr(l + r),

trong đó S_tp là diện tích toàn phần, r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón.

Ví dụ 4. Một hình nón có bán kính đáy 2 cm, độ dài đường sinh là 7 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.2.7 = 14π (cm²).

b) Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πr(l + r) = π.2.(7 + 2) = 18π (cm²).

3. Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao: $V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,$trong đó V là thể tích, S là diện tích đáy, r là bán kính đáy, h là chiều cao của hình nón.

Ví dụ 5. Một hình nón có bán kính đáy là 4 dm, chiều cao là 12 dm. Tính thể tích của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

Thể tích của hình nón là:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 12=64\pi$(dm³).

Bài tập Hình nón

Bài 1. Từ một hình nón, cắt rời đáy và cắt dọc theo một đường sinh bất kì rồi trải phẳng ra, ta được:

A. Một hình tròn và một hình vuông;

B. Một hình quạt tròn và hai hình tròn;

C. Hai hình quạt tròn;

D. Một hình quạt tròn và một hình tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Từ một hình nón, cắt rời đáy và cắt dọc theo một đường sinh bất kì rồi trải phẳng ra, ta được một hình quạt tròn và một hình tròn.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 2. Mặt đáy của một hình nón là:

A. Một hình tròn;

B. Một hình chữ nhật;

C. Một tứ giác;

D. Một tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mặt đáy của một hình nón là một hình tròn.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Cho một hình nón có đường kính đáy 6 cm và chiều cao 15 cm. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. 180π cm³;

B. 45π cm²;

C. $9\pi \sqrt{26}$ cm²;

D. $3\pi \sqrt{26}$ cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bán kính đáy của hình nón là: $r=\frac{6}{2}=3$ (cm).

Ta có: l² = h² + r² = 15² + 3² = 234.

Suy ra $l=\sqrt{234}=3\sqrt{26}$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 3\cdot 3\sqrt{26}=9\pi \sqrt{26}$ (cm²).

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 4. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình tạo thành khi cho hình bên quay quanh AD một vòng.

Hướng dẫn giải

Khi cho hình đã cho quay quanh đoạn thẳng AD một vòng thì ta được hai hình nón.

– Ta có:

⦁Thể tích của hình nón được tạo bởi tam giác ABE là:

$V_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot A{B}^2\cdot AE=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi$(cm³);

⦁Thể tích của hình nón được tạo bởi tam giác CDE là:

$V_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot C{D}^2\cdot DE=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 8^2\cdot 6=128\pi$ (cm³).

Suy ra thể tích cần tìm là:

V = V₁ + V₂ = 16π + 128π = 144π (cm³).

– Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABE vuông tại A, ta được:

BE² = AB² + AE² = 4² + 3² = 25.

Suy ra BE = 5 (cm).

Tương tự như vậy, ta có CE = 10 (cm).

Ta có:

⦁ Diện tích toàn phần của hình nón được tạo bởi tam giác ABE là:

S₁= π.AB.(BE + AB) = π.4.(5 + 4) = 36π (cm²);

⦁Diện tích toàn phần của hình nón được tạo bởi tam giác CDE là:

S₂= π.CD.(CE + CD) = π.8.(10 + 8) = 144π (cm²).

Suy ra diện tích toàn phần cần tìm là:

S_tp = S₁ + S₂ = 36π + 144π = 180π (cm²).

Vậy thể tích cần tìm là 144π cm³ và diện tích toàn phần cần tìm là 180π cm².

Bài 5. Từ một khối gỗ có dạng hình lập phương cạnh 6 cm, người ta khoét một hình nón có đường kính mặt đáy là 4 cm và đỉnh của hình nón chạm vào mặt đáy của khối gỗ (như hình vẽ). Tính thể tích của phần khối gỗ còn lại (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là:

V₁ = 6³ = 216 (cm³).

Bán kính đáy hình nón là:

$r=\frac{4}{2}=2$ (cm).

Thể tích của hình nón là:

$V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 6=8\pi$ (cm³).

Thể tích của phần khối gỗ còn lại là:

V = V₁ – V₂ = 216 – 8π ≈ 190,9 (cm³).

Vậy thể tích của phần khối gỗ còn lại là 190,9 cm³.