Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn α. Xét tam giác ABC vuông tại A có

⦁ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu cosα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

⦁ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu cotα.

Bốn tỉ số trên được gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn α.

Trong hình vẽ trên, ta có:

$\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC};\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC};\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB};\cot \hat{B}=\frac{AB}{AC}.$

Nhận xét:

⦁ Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α không phụ thuộc vào việc chọn tam giác vuông có góc nhọn α. Thật vậy, nếu hai tam giác ABC, A’B’C’ lần lượt vuông tại A, A’ và có thì ∆ABC ᔕ∆A’B’C’, suy ra

$\frac{AC}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\frac{AC}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

⦁ Khi không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết sinB, cosB, tanB, cotB lần lượt thay cho các kí hiệu $\sin \widehat{B},\cos \widehat{B},\tan \widehat{B},\cot \widehat{B}.$

⦁ Từ định nghĩa trên, ta thấy các tỉ số lượng giác của góc nhọn α luôn dương và sinα < 1, cosα < 1,$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }.$

Ví dụ 1. Cho ∆CDE có CD = 9 cm, CE = 12 cm và DE = 15 cm.

a) Chứng minh rằngtam giác CDE là tam giác vuông.

b) Vẽ đường cao CH của tam giác CDE. Tính CH, HE.

c) Tính các tỉ số lượng giác của các góc D, E.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 9² + 12² = 225 và 15² = 225.

Suy ra 9² + 12² = 15².

Do đó CD² + CE² = DE².

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có tam giác CDE vuông tại C.

b) Tam giác CDE vuông tại C, có: $\sin \widehat{CDE}=\frac{CE}{DE}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.$

Tam giác CDH vuông tại H, có: $\sin \widehat{CDE}=\sin \widehat{CDH}=\frac{CH}{CD}.$

Suy ra $\frac{CH}{CD}=\frac{4}{5},$ nên $CH=\frac{4}{5}\cdot CD=\frac{4}{5}\cdot 9=\frac{36}{5}$ (cm).

Tam giác CHE vuông tại H có CE² = CH² + HE² (Định lí Pythagore)

Suy ra $H{E}^2=C{E}^2-C{H}^2={12}^2-{\left(\frac{36}{5}\right)}^2=\frac{2304}{25}.$

Do đó $HE=\frac{48}{5}$ (cm).

Vậy $CH=\frac{36}{5}$ cm và $HE=\frac{48}{5}$ cm.

c) Tam giác CDE vuông tại C, có:

$\sin \widehat{CDE}=\frac{CE}{DE}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5};\cos \widehat{CDE}=\frac{CD}{DE}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5};$

$\tan \widehat{CDE}=\frac{CE}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3};\cot \widehat{CDE}=\frac{CD}{CE}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.$

Tam giác CDE vuông tại C, có:

$\sin \widehat{CED}=\frac{CD}{DE}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5};\cos \widehat{CED}=\frac{CE}{DE}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5};$

$\tan \widehat{CED}=\frac{CD}{CE}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4};\cot \widehat{CED}=\frac{CE}{CD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hai góc nhọn có tổng bằng 90° được gọi là hai góc phụ nhau.

Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Nhận xét: Với 0° < α < 90°, ta có:

⦁ sin(90° – α) = cosα;

⦁ cos(90° – α) = sinα;

⦁ tan(90° – α) = cotα;

⦁ cot(90° – α) = tanα.

Ví dụ 2.Tính giá trị biểu thức:

a) $A=\frac{\sin 34°}{\cos 56°}.$

b) B = cos19° – sin71°.

c) C = tan53° – cot37°.

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{\sin 34°}{\cos 56°}=\frac{\cos \left(90°-34°\right)}{\cos 56°}=\frac{\cos 56°}{\cos 56°}=1.$

b) B = cos19° – sin71° = sin(90° – 19°) – sin71° = sin71° – sin71° = 0.

c) C = tan53° – cot37° = cot(90° – 53°) – cot37° = cot37° – cot37° = 0.

Ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt như sau:

Lưu ý: Ta quy ước:

⦁ sin²α = (sinα)²;

⦁ cos²α = (cosα)²;

⦁ tan²α = (tanα)²;

⦁ cot²α = (cotα)².

Ví dụ 3. Sử dụng bảng tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt, chứng minh rằng:

a) sin²30° + cos²30° = 1.

b) $\tan 60°=\frac{\sin 60°}{\cos 60°}.$

c) $\cot 45°=\frac{\cos 45°}{\sin 45°}.$

Hướng dẫn giải

a) $VT=si{n}^{2}30°+co{s}^{2}30°={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1=VP.$

b) $VP=\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2=\sqrt{3}=\tan 60°=VT.$

c) $VP=\frac{\cos 45°}{\sin 45°}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}=1=\cot 45°=VT.$

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

3.1. Tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cùng với đơn vị đo góc là độ (kí hiệu: °), người ta còn sử dụng những đơn vị đo góc khác là: phút (kí hiệu: ’); giây (kí hiệu: ’’) với quy ước: 1° = 60’; 1’ = 60’’.

Ta có thể tính (đúng hoặc gần đúng) tỉ số lượng giác của một góc nhọn bằng cách sử dụng các phím: $\boxed{\sin },\boxed{\cos },\boxed{\tan }$ trên máy tính cầm tay. Trước hết, ta đưa máy tính về chế độ “độ”. Để nhập độ, phút, giây, ta sử dụng phím $\boxed{°’”}.$

Chẳng hạn, để tính sin35° và tan70°25’43’’, ta thực hiện như sau:

Ví dụ 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) các tỉ số lượng giác sau:

a) tan32°;

b) sin36°54’72’’;

c) cos78°63’’.

Hướng dẫn giải

Ta thực hiện như sau:

Sử dụng tính chất cotα = tan(90° – α), ta có thể tính được côtang của một góc nhọn. Chẳng hạn, ta tính cot14° như sau:

Nhận xét: Ta có thể tính cotα theo công thức: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }.$

3.2. Tính số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó

Để tính (đúng hoặc gần đúng) số đo của một góc nhọn khi biết một tỉ số lượng giác của góc đó ta sử dụng các phím: $\boxed{SHIFT}$ cùng với $\boxed{\sin },\boxed{\cos },\boxed{\tan }$ và kết hợp với tỉ số lượng giác của góc đó. Trước hết, ta đưa máy tính về chế độ “độ”.

Ví dụ 5. Tính số đo các góc nhọn sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) sinα = 0,46;

b) cosβ = 0,15;

c) $\tan \gamma =\frac{1}{4}.$

Hướng dẫn giải

Ta có thể thực hiện như sau:

Nhận xét: Ta có thể tính số đo góc nhọn α khi biết cotα bằng cách tínhtanα theo công thức: $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }.$

Ví dụ 6. Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc α. Biết rằng tòa nhà cao 21 m và bóng của tòa nhà đó trên mặt đất dài 15 m (như hình vẽ). Tính góc α giữa tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Hướng dẫn giải

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\tan \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}.$

Suy ra α ≈ 54°.

Vậy tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc khoảng 54°.

Sơ đồ tư duy Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. $\frac{3}{4}$;

B. $\frac{3}{5}$;

C. $\frac{4}{3}$;

D. $\frac{4}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC vuông tại A, có: $\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 2. Cho α và β là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn α + β = 90°. Khẳng định đúng là

A. tanα = sinβ;

B. tanα = cotβ;

C. tanα = cosα;

D. tanα = tanβ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có α và β là hai góc nhọn bất kì thỏa mãn α + β = 90°.

Suy ra α và β là hai góc phụ nhau và β = 90° – α.

Áp dụng định lí về tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, ta được:

tanα = cot(90° – α) = cotβ.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Khi sử dụng máy tính cầm tay để tính (gần đúng) tỉ số lượng giác cos15°25’, ta nhập vào máy tính cầm tay như thế nào? (Giả sử máy tính cầm tay ở chế độ “độ”).

A. $\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

B. $\boxed{SHIFT}\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

C. $\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{0}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=};$

D. $\boxed{SHIFT}\boxed{\cos }\boxed{1}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{0}\boxed{°’”}\boxed{2}\boxed{5}\boxed{°’”}\boxed{=}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thực hiện như sau:

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau mà không sử dụng máy tính bỏ túi:

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°.

d) $Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$.

Hướng dẫn giải

a) M = sin15° + sin20° – cos70° – cos75°

= cos(90° – 15°) + cos(90° – 20°) – cos70° – cos75°

= cos75° + cos70° – cos70° – cos75°

= (cos75° – cos75°) + (cos70° – cos70°)

= 0.

b) $N=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\cot 16°\cdot \cot 31°}$

$=\frac{\tan 74°\cdot \tan 59°}{\tan \left(90°-16°\right)\cdot \tan \left(90°-31°\right)}$

$=\frac{\tan 74°.\tan 59°}{\tan 74°.\tan 59°}$

= 1.

c) P = 3cos50° – 3sin40° + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos(90° – 40°) + 2cot45°

= 3cos50° – 3cos50° + 2cot45°

= 2cot45°

= 2.1 = 2.

d)$Q=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\sin 30°}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos \left(90°-30°\right)}-\tan 30°$

$=\frac{4{\cos }^{2}60°}{\cos 60°}-\tan 30°$

= 4cos60° – tan30°

$=4\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6-\sqrt{3}}{3}.$

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn thẳng CH = 4 cm, BH = 9 cm. Kẻ HM ⊥ AB tại M, HN ⊥ AC tại N. Tính độ dài đoạn thẳng AH và số đo góc B, góc C của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến phút).

Hướng dẫn giải

Xét ∆ACH và ∆BAH, có:

$\widehat{AHC}=\widehat{BHA}=90°$

$\widehat{CAH}=\widehat{HBA}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}).$

Do đó ∆ACH ᔕ∆BAH (g.g).

Suy ra $\frac{CH}{AH}=\frac{AH}{BH}$.

Do đó AH² = CH.BH = 4.9 = 36.

Vì vậy AH = 6 (cm).

Tam giác AHB vuông tại H nên $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{BH}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $\widehat{ABH}\approx 33°{41}^{\text{'}}$.

Tam giác ACH vuông tại H nên $\tan \widehat{ACH}=\frac{AH}{CH}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Suy ra $\widehat{ACH}\approx 56°{19}^{\text{'}}$.

Vậy AH = 6 cm; $\widehat{ABH}\approx 33°{41}^{\text{'}}$ và $\widehat{ACH}\approx 56°{19}^{\text{'}}$.

Bài 6. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu(làm tròn đến phút)?

Hướng dẫn giải

Đặt các điểm A, B, C như hình vẽ.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{250}{320}=\frac{25}{32}$.

Suy ra α ≈ 38°37’.

Vậy dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α khoảng 38°37’.