Lý thuyết Tần số. Tần số tương đối - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tần số. Tần số tương đối

1. Tần số. Bảng tần số. Biểu đồ tần số

1.1. Tần số và bảng tần số

– Một tập gồm hữu hạn các dữ liệu thống kê được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu (hay cỡ mẫu).

– Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu thống kê được gọi là tấn số của giá trị đó.

– Để lập bảng tần số ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu và tìm tần số của mỗi giá trị đó.

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

+ Cột đầu tiên: Tên các giá trị (x), Tần số (n);

+ Các cột tiếp theo lần lượt ghi giá trị và tần số của giá trị đó;

+ Cột cuối cùng: Cộng, N = …

Ví dụ 1. Thống kê số lượng con cái (đơn vị: con) của mỗi hộ gia đình trong 40 hộ gia đình tham gia khảo sát tại khu chung cư S2 như sau:

${\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 2& 3& 2& 1& 2& 0& 2& 2\\ 1& 1& 1& 1& 3& 2& 1& 1& 3& 2\\ 2& 2& 3& 2& 0& 1& 2& 2& 1& 1\\ 0& 3& 2& 1& 2& 3& 0& 1& 2& 3\end{array}}^{}$

a) Trong 40 số liệu thống kê ở trên có bao nhiêu giá trị khác nhau?

b) Tìm tần số của mỗi giá trị đó.

c) Lập bảng tần số (ở dạng bảng ngang) của mẫu số liệu thống kê trên.

Hướng dẫn giải

a) Trong 40 số liệu thống kê trên có 4 giá trị khác nhau là:

x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3.

b) Tần số của mỗi giá trị lần lượt là:

n₁ = 5; n₂ = 13; n₃ = 15; n₄ = 7.

c) Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê trên như sau:

Chú ý: Bảng tần số ở dạng bảng dọc được lập bảng cách tương tự như trên.

Chẳng hạn, trong Ví dụ 1, ta có bảng tần số ở dạng bảng dọc như sau:

Nhận xét: Đối với một mẫu dữ liệu thống kê, tần số của một giá trị phản ánh số lần lặp đi lặp lại giá trị đó trong mẫu dữ liệu thống kê đã cho.

1.2. Biểu đồ tần số

– Để trình bày mẫu dữ liệu một cách trực quan sinh động, dễ nhớ và gây ấn tượng, người ta sử dụng biểu đồ tần số.

– Người ta thường vẽ biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ cột hoặc biểu đồ đoạn thẳng và có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Lập bảng tần số của mẫu số liệu thống kê đó

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột hoặc biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số nhận được ở Bước 1.

Ví dụ 2. Số sách bán được trong một tháng tại cửa hàng sách đã được thống kê với các danh mục giá bán sách như sau:

a) Hãy vẽ biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu thống kê đó.

b) Dựa theo biểu đồ, hãy cho biết giá sách nào có số lượng bán được ít nhất?

Hướng dẫn giải

a) Bảng tần số của mẫu số liệu thống kê đó như sau:

Biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu thống kê trên như sau:

b) Dựa theo biểu đồ trên, ta thấy số lượng sách bán được ít nhất là sách có mệnh giá 250 nghìn đồng.

2. Tần số tương đối. Bảng tần số tương đối. Biểu đồ tần số tương đối

2.1. Tần số tương đối và bảng tần số tương đối

– Tần số tương đối f_i của giá trị x_i là tỉ số giữa tần số n_i của giá trị đó và số lượng N các dữ liệu trong mẫu dữ liệu thống kê: $f_i=\frac{n_i}{N}.$

Ta thường viết tần số tương đối dưới dạng phần trăm.

– Để lập bảng tần số tương đối ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu và tìm tần số tương đối của mỗi giá trị đó.

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

+ Cột đầu tiên: Tên các giá trị (x), Tần số tương đối (%)

+ Các cột tiếp theo lần lượt ghi giá trị và tần số tương đối của giá trị đó

+ Cột cuối cùng: Cộng, 100.

Chú ý: Bảng tần số tương đối ở dạng bảng dọc được lập bằng cách tương tự như trên.

Ví dụ 3. Sau buổi kiểm tra Toán, giáo viên thực hiện ghi lại số điểm mà một số học sinh đạt được như sau:

$\begin{array}{cccccccccc}9& 5& 6& 8& 7& 9& 6& 5& 8& 7\\ 7& 6& 8& 5& 6& 7& 9& 10& 6& 5\end{array}$

a) Mẫu số liệu có bao nhiêu giá trị khác nhau và tìm tần số của mỗi giá trị đó.

b) Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê trên.

c) Trong số học sinh được khảo sát, giáo viên muốn chọn ra 35% số học sinh có điểm cao nhất. Hỏi giáo viên cần chọn học sinh có bao nhiêu điểm?

Hướng dẫn giải

a) Mẫu số liệu có 6 giá trị khác nhau là

x₁ = 5; x₂ = 6; x₃ = 7; x₄ = 8; x₅ = 9; x₆ = 10.

Tần số của mỗi giá trị lần lượt là:

n₁ = 4; n₂ = 5; n₃ = 4; n₄ = 3; n₅ = 3; n₆ = 1.

b) Bảng tần số:

Tần số tương đối của mỗi giá trị là:

$\begin{array}{c}{f}_1=\frac{4\cdot 100}{20}\%=20\%;f_2=\frac{5\cdot 100}{20}\%=25\%;\\ f_3=\frac{4\cdot 100}{20}\%=20\%;f_4=\frac{3\cdot 100}{20}\%=15\%;\\ f_5=\frac{3\cdot 100}{20}\%=15\%;f_6=\frac{1\cdot 100}{20}\%=5\%.\end{array}$

Ta có bảng tần số tương đối như sau:

c) Vì 5% + 15% + 15% = 35% nên giáo viên muốn chọn ra 35% số học sinh có điểm cao nhất thì giáo viên cần chọn học sinh có điểm 8 hoặc điểm 9 hoặc điểm 10.

Nhận xét: Đối với một mẫu dữ liệu thống kê, tần số tương đối của một giá trị phản ánh giá trị đó chiếm bao nhiêu phần trăm trong tổng thể thống kê.

2.2. Biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột hoặc biểu đồ hình quạt tròn

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột của một mẫu dữ liệu thống kê, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối nhận được ở Bước 1.

Ví dụ 4. Sau khi thu thập được dữ liệu về “Đồ ăn sáng bạn muốn ăn nhất” từ các nhân viên trong văn phòng, trưởng phòng đã lập bảng thống kê như sau:

a) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

b) Vẽ biểu đồ cột biểu diễn các số liệu thống kê đó.

Hướng dẫn giải

a) Bảng thống kê có 40 số liệu (N = 40) và có 5 giá trị khác nhau là:

x₁ = Bánh bao; x₂ = Bún riêu; x₃ = Phở bò; x₄ = Bún chả; x₅ = Bánh mì.

Các giá trị x₁ = Bánh bao; x₂ = Bún riêu; x₃ = Phở bò; x₄ = Bún chả; x₅ = Bánh mì lần lượt có tần số, tần số tương đối là:

n₁ = 4; n₂ = 8; n₃ = 10; n₄ = 9; n₅ = 9.

$f_1=\frac{4\cdot 100}{40}\%=10\%;f_2=\frac{8\cdot 100}{40}\%=20\%;f_3=\frac{10\cdot 100}{40}\%=25\%;$

$f_4=\frac{9\cdot 100}{40}\%=22,5\%;f_5=\frac{9\cdot 100}{40}\%=22,5\%.$

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê:

b) Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ cột của mẫu số thiệu thống kê như sau:

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ hình quạt tròn của một mẫu dữ liệu thống kê, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

Bước 2. Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối nhận được ở Bước 1.

Ví dụ 5. Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn các số liệu thống kê ở Ví dụ 4.

Hướng dẫn giải

Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ hình quạt tròn của mẫu số liệu thống kê ở Ví dụ 4 như sau:

Bài tập Tần số. Tần số tương đối

Bài 1. Kết quả điều tra cân nặng của một số học sinh lớp 9 được thể hiện dưới dạng bảng tần số như sau:

Dựa theo bảng tần số hãy cho biết số học sinh nặng hơn 49 kg là bao nhiêu em?

A. 8;

B. 10;

C. 11;

D. 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng tần số số học sinh có cân nặng lớn hơn 49 kg là gồm 6 học sinh nặng 50 kg và 2 học sinh nặng 51 kg.

Vậy có 6 + 2 = 8 học sinh nặng hơn 49 kg.

Bài 2. Trong bài thơ “Quê hương” của tác giả Đỗ Trung Quân có hai câu thơ:

“Quê hương nếu ai không nhớ

Sẽ không lớn nổi thành người”.

Mẫu dữ liệu thống kê các chữ cái Tiếng Việt xuất hiện trong hai câu thơ trên. Có bao nhiêu giá trị khác nhau?

A. 10;

B. 13;

C. 16;

D. 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các chữ cái xuất hiện trong hai câu thơ là:

Q, U, Ê, H, Ư, Ơ, N, G, A, I, K, Ô, S, E, L, T.

Vậy có 16 chữ cái khác nhau nên có 16 giá trị khác nhau.

Bài 3. Cho bảng số liệu sau:

Trong bảng số liệu trên, có một số liệu không chính xác. Số liệu đó là:

A. 16%;

B. 20%;

C. 28%;

D. 46%.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cộng các tần số ta được: N = 4 + 5 + 7 + 9 = 25.

Tần số tương đối tương ứng với các tần số là:

$f_1=\frac{4\cdot 100}{25}\%=16\%;f_2=\frac{5\cdot 100}{25}\%=20\%;$

$f_3=\frac{7\cdot 100}{25}\%=28\%;f_4=\frac{9\cdot 100}{25}\%=36\%.$

Vậy số liệu không chính xác là f₄ = 46%.

Bài 4.Biểu đồ tranh sau đây biểu diễn số lượng học sinh lớp 9A bình chọn môn học yêu thích nhất:

Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ tranh trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Tổng số học sinh tham gia bình chọn là:

(7 + 4 + 6) . 2 = 34 (học sinh).

Số học sinh yêu thích môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh lần lượt là 14, 8, 12.

Ta có bảng tần số của mẫu dữ liệu thống kê như sau:

Do đó các tần số tương đối lần lượt là:

$f_1=\frac{14\cdot 100}{34}\%\approx 41\%;$$f_2=\frac{8\cdot 100}{34}\%\approx 24\%;$$f_3=\frac{12\cdot 100}{34}\%\approx 35\%.$

Ta có bảng tần số tương đối sau:

b) Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ cột của mẫu số thiệu thống kê:

Bài 5. Bạn Kha thống kê lại số sách mà mỗi bạn trong lớp đã đọc sau “tuần lễ đọc sách” và ghi lại trong bảng dưới đây:

a) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn biểu diễn số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Bảng thống kê đó có 50 số liệu (N = 50) và có 5 giá trị khác nhau là:

x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3; x₅ = 4.

Các giá trị x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3; x₅ = 4 lần lượt có tần số, tần số tương đối là:

n₁ = 5; n₂ = 8; n₃ = 16; n₄ = 9; n₅ = 12.

$f_1=\frac{5\cdot 100}{50}\%=10\%;f_2=\frac{8\cdot 100}{50}\%=16\%;f_3=\frac{16\cdot 100}{50}\%=32\%;$

$f_4=\frac{9\cdot 100}{50}\%=18\%;f_5=\frac{12\cdot 100}{50}\%=24\%.$

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê:

b) Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ hình quạt tròn của mẫu số thiệu thống kê: