Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Ví dụ 1.Hàm số nào sau đây có dạng y = ax² (a ≠ 0)? Đối với những hàm số đó, xác định hệ số a của x².

a) y = 3x;

b) y = –x²;

c)$y=\frac{2x^2}{5};$

d) $y=\frac{-7}{x^2};$

e) y = 0x².

Hướng dẫn giải

Các hàm số có dạng y = ax² (a ≠ 0) là

b) y = –x², có a = –1;

c) $y=\frac{2x^2}{5}$, có $a=\frac{2}{5}.$

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2.$ Tính giá trị của y khi:

a) x = –2;

b) x = 0;

c) x = 4.

Hướng dẫn giải

a) Với x = –2, ta có $y=\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2=1;$

b) Với x = 0, ta có $y=\frac{1}{4}\cdot 0^2=0;$

c) Với x = 4, ta có $y=\frac{1}{4}\cdot 4^2=4.$

Nhận xét: Hàm số y = ax² (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị x thuộc ℝ.

2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

– Trong trường hợp tổng quát, đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong được gọi là parabol. Parabol đó luôn đi qua gốc tọa độ và có dạng như sau:

– Nếu a > 0 thì đồ thị đó nằm phía trên trục hoành (Hình a).

Ngược lại, nếu a < 0 thì đồ thị đó nằm phía dưới trục hoành (Hình b).

– Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng giá trị để tìm giá trị của y tương ứng với một số giá trị cụ thể của x

Bước 2. Căn cứ vào bảng giá trị, vẽ một số điểm cụ thể thuộc đồ thị của hàm số đó

Bước 3.Vẽ parabol đi qua gốc tọa độ và các điểm đã xác định ở Bước 2, ta nhận được đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0).

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x².

Hướng dẫn giải

– Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của x như sau:

– Vẽ các điểm A(–2; 12), B(–1; 3), O(0; 0), C(1; 3), D(2; 12) thuộc đồ thị của hàm số y = 3x² trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

– Vẽ đường parabol đi qua năm điểm A, B, O, C, D, ta nhận được đồ thị của hàm số y = 3x² như hình bên dưới:

Tính chất: Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

a) Các điểm P(3; –6) và Q(–3; –6) có thuộc đồ thị hàm số đã cho hay không?

b) Nêu nhận xét về vị trí cặp điểm P và Q đối với trục Oy.

Hướng dẫn giải

a) Vì $-\frac{2}{3}\cdot 3^2=-6$nên điểm P(3; –6) thuộc đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

Vì $-\frac{2}{3}.{\left(-3\right)}^2=-6$nên điểm Q(–3; –6) thuộc đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

Vậy các điểm P(3; –6) và Q(–3; –6) đều thuộc đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

b) Ta thấy hai điểm P và Q có tung độ bằng nhau và có hoành độ đối nhau.

Vậy cặp điểm P và Q đối xứng với nhau qua trục Oy.

Bài tập Bài 1: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bài 1. Cho hàm số y = –5x². Khi y = –20 thì

A. x = –1 hoặc x = 1;

B. x = 2 hoặc x = –2;

C. x = 2;

D. x = –2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số y = –5x², với y = –20, ta có: –5x² = –20.

Suy ra x² = 4 = 2² = (–2)².

Do đó x = 2 hoặc x = –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 12x²?

A. M(1; –12);

B. N(–1; 6);

C. P(2; 48);

D. Q(–2; –4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 12.1² = 12 ≠ –12 nên điểm M(1; –12) không thuộc đồ thị hàm số y = 12x².

Thực hiện tương tự như vậy, ta được các điểm N(–1; 6), Q(–2; –4) không thuộc đồ thị hàm số y = 12x² và điểm P(2; 48) thuộc đồ thị hàm số y = 12x².

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 3. Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị của hàm số y = ax²(a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ và có Ox là trục đối xứng;

B. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có Oy là trục đối xứng;

C. Nếu a > 0 thì đồ thị của hàm số đã cho nằm phía dưới trục Ox;

D. Nếu a < 0 thì đồ thị của hàm số đã cho nằm phía dưới trục Ox.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương án A, B sai. Sửa lại: Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ và có Oy là trục đối xứng.

Phương án C sai. Sửa lại: Nếu a > 0 thì đồ thị của hàm số đã cho nằm phía trên trục Ox.

Phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0).

a) Tìm a, biết đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm G(1; –1).

b) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho với a vừa tìm được.

c) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số đã cho có tung độ bằng –25. Từ đó nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Hướng dẫn giải

a) Vì G(1; –1) thuộc đồ thị hàm số đã cho nên ta có:

–1 = a.1², suy ra a = –1 (thỏa mãn).

Vậy a = –1.

b) Với a = –1, ta có hàm số y = –x².

Ta có bảng giá trị của y tương ứng với giá trị của x như sau:

– Vẽ các điểm E(–2; –4), F(–1; –1), O(0; 0), G(1; –1), H(2; –4) thuộc đồ thị của hàm số y = –x² trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

– Vẽ đường parabol đi qua năm điểm E, F, O, G, H, ta nhận được đồ thị của hàm số y = –x² như hình bên dưới:

c) Với y = –25, ta có –25 = –x².

Suy ra x² = 25 = 5² = (–5)²

Do đó x = 5 hoặc x = –5.

Vậy các điểm thuộc đồ thị của hàm số đã cho có tung độ bằng –25 là U(5; –25) và V(–5; –25).

Ta thấy hai điểm U và V có tung độ bằng nhau và có hoành độ đối nhau.

Vậy cặp điểm U và V đối xứng với nhau qua trục Oy.

Bài 5. Động năng (tính bằng J) của một quả bóng rơi với tốc độ v(m/s) được tính bằng công thức $K=\frac{2}{9}{v}^2.$

a) Tính động năng của quả bóng đạt được khi nó rơi với tốc độ lần lượt là 5 m/s, 9 m/s (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Tính tốc độ rơi của quả bóng tại thời điểm quả bóng đạt được động năng 50 J.

Hướng dẫn giải

a) Với v = 5 (m/s), ta có: $K=\frac{2}{9}{v}^2=\frac{2}{9}\cdot 5^2=\frac{50}{9}\approx 5,56$ (J).

Với v = 9 (m/s), ta có: $K=\frac{2}{9}{v}^2=\frac{2}{9}\cdot 9^2=18$ (J).

Vậy động năng của quả bóng đạt được khi nó rơi với tốc độ lần lượt là 5 m/s, 9 m/s lần lượt bằng 5,56 J và 18 J.

b) Với K = 50 (J), ta có: $\frac{2}{9}{v}^2=50.$

Suy ra v² = 225 = 15² = (–15)²

Do đó v = 15 (nhận) hoặc v = –15 (loại).

Vậy tốc độ rơi của quả bóng tại thời điểm quả bóng đạt được động năng 50 J là 15 m/s.

Bài 6. Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol y = ax² (a ≠ 0) như hình bên dưới. Biết chiều rộng của chân cổng là AB = 8 m và chiều cao của cổng là OI = 5 m.

a) Tìm hệ số a dựa vào các dữ kiện trên. Từ đó, tính độ dài đoạn HK biết H cách điểm chính giữa I của cổng vòng 2 m.

b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dự định sử dụng một xe tải có chiều rộng 2 m và chiều cao 3,5 m. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng vòm đó hay không?

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x_B=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$ và y_B = y_I = –OI = –5.

Suy ra tọa độ B(4; –5).

Vì B(4; –5) thuộc đồ thị hàm số đã cho nên ta có:

–5 = a.4² hay 16a = –5, suy ra $a=-\frac{5}{16}$ (thỏa mãn).

Khi đó hàm số đã cho là $y=-\frac{5}{16}{x}^2.$

Ta có x_K = x_H = 2 và y_H = y_I = –5.

Với x_K = 2, ta có $y_K=-\frac{5}{16}\cdot 2^2=-\frac{5}{4}.$

Suy ra tọa độ $K\left(2;-\frac{5}{4}\right).$

Khi đó độ dài đoạn HK là: $HK=\left(y_H-y_K\right)=\left(-5-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)=\frac{15}{4}=3,75.$

Vậy $a=-\frac{5}{16}$ và $HK=\frac{15}{4}=3,75.$

b) Vì chiều cao của xe tải thấp hơn độ cao của đoạn HK (do 3,5 m < 3,75 m) và chiều rộng của xe tải bằng độ dài đoạn IH (2 m) nên xe tải có chiều rộng 2 m và chiều cao 3 m luôn đi qua được cổng vòm đó.