Lý thuyết Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 5: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

⦁ Chu vi của đường tròn đường kính d là C = πd.

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là C = 2πR.

Ví dụ 1. Tính chu vi của đường tròn có đường kính 40 cm.

Hướng dẫn giải

Chu vi của đường tròn đó là: C = πd = 40π (cm).

Định lí: Trong một đường tròn bán kính R, độ dài của cung tròn có số đo n° (hình vẽ) là: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

Ví dụ 2. Tính độ dài cung 54° của một đường tròn có bán kính 30 cm.

Hướng dẫn giải

Độ dài của cung tròn đó là: $l=\frac{\pi \cdot 30\cdot 54}{180}=9\pi$ (cm).

2. Diện tích hình quạt tròn

⦁ Hình tròn tâm O bán kính R bao gồm đường tròn (O; R) và tất cả các điểm nằm trong đường tròn đó.

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là S = πR².

Ví dụ 3. Tính diện tích hình tròn có bán kính 10 cm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Diện tích hình tròn đó là: S = π.10² = 100π ≈ 314,16 (cm²).

⦁Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Trong hình vẽ trên, ta có hình quạt tròn AOB, tâm O, bán kính R, cung ứng với hình quạt có số đo n° (số đo n° được hiểu là số đo cung AB giới hạn hình quạt tròn đó).

Ví dụ 4. Cho hình quạt tròn MON giới hạn bởi hai bán kính OM, ON và cung MaN sao cho góc ở tâm $\widehat{MON}=45°.$Tìm số đo cung MaN ứng với hình quạt tròn đó.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{MON}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ MN nên sđ$\stackrel{⏜}{MN}=\widehat{MON}=45°.$

Khi đó sđ$\stackrel{⏜}{MaN}=360°-$sđ$\stackrel{⏜}{MN}=360°-45°=315°.$

Vậy sđ$\stackrel{⏜}{MaN}=315°.$

⦁Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}.$

Nhận xét: Gọi l là độ dài của cung tròn có số đo n° trong một hình tròn bán kính R thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}\cdot \frac{R}{2}=\frac{lR}{2}.$

Ví dụ 5. Tính diện tích của hình quạt tròn và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thức hai trong các trường hợp sau:

a) Hình quạt tròn đó có bán kính là 4 cm, ứng với cung 84°.

b) Hình quạt tròn đó có bán kính 12 cm và có độ dài cung tương ứng với nó bằng 3π cm.

Hướng dẫn giải

a) Diện tích của hình quạt tròn đó là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi \cdot 4^2\cdot 84}{360}=\frac{56\pi }{15}\approx 11,73$(cm²).

b) Diện tích của hình quạt tròn đó là:

$S=\frac{lR}{2}=\frac{3\pi \cdot 12}{2}=18\pi \approx 56,55$>(cm²).

3. Diện tích hình vành khuyên

⦁ Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên.

⦁ Hình vành khuyên (tô màu vàng) giới hạn bởi hai đường tròn (O; R) và (O; r) (với R > r) có diện tích là:

S = π(R² – r²).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 5 cm) và (O; 8 cm).

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên đó là: S = π(8² – 5²) = 39π (cm²).

Sơ đồ tư duy Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài tập Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

Bài 1. Cho đường tròn có bán kính 2 cm, độ dài cung tròn có số đo 10° là

A. $\frac{2\pi }{9}$ cm;

B. $\frac{\pi }{9}$ cm;

C. $\frac{\pi }{18}$ cm;

D. 9π cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ dài cung tròn đó là: $l=\frac{\pi \cdot 2\cdot 10}{180}=\frac{\pi }{9}$ (cm).

Bài 2. Hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung có số đo bằng 90° có diện tích bằng

A. $\frac{\pi R^2}{2};$

B. πR²;

C. $\frac{\pi R^2}{8};$

D.$\frac{\pi R^2}{4};$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn đó là: $S=\frac{\pi R^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}.$

Bài 3. Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 3 cm) và (O; 7 cm) có diện tích bằng

A. 40π cm²;

B. 4π cm²;

C. 40 cm²;

D. 4 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vành khuyên đó là:

S = π(7² – 3²) = 40π (cm²).

Bài 4. Một cái bàn tròn phục vụ trong nhà hàng có chu vi là 64π dm.

a) Tính độ dài cung 90° của cái bàn đó.

b) Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi độ dài cung vừa tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của cái bàn đó là: $R=\frac{64\pi }{2\pi }=32$ (dm).

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l=\frac{\pi \cdot 32\cdot 90}{180}=16\pi$ (dm).

b) Diện tích hình quạt tròn cần tìm là:

$S=\frac{16\pi \cdot 32}{2}=256\pi$ (dm²).

Bài 5. Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa đường tròn bán kính 2 dm (như hình vẽ). Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,5 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

Hướng dẫn giải

Bán kính phần rỗng (không có giấy) của chiếc quạt là:

r = 2 – 1,5 = 0,5 (dm).

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:

S = π(2² – 0,5²) = 3,75π ≈ 11,78 (dm²).

Vậy diện tích phần giấy của chiếc quạt khoảng 11,78 dm².

Trắc nghiệm: Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

I. Nhận biết

Câu 1. Chu vi đường tròn có bán kính $R=9$ là

A. $9\pi$

B. $18\pi$

C. $27\pi$

D. $12\pi$

Câu 2. Công thức tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r (với $R>r)$ là

A. $S_v={\mathrm{\pi R}}^2-r^2$.

B. $S_v=\pi {(R-r)}^2.$

C. $S_v=\pi (R^2-r^2)$.

D. $S_v=\pi (r^2-R^2)$

Câu 3. Tỉ số giữa độ dài cung $n°$ và chu vi đường tròn (cùng bán kính) luôn bằng

A.$\frac{1}{n}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{n}{180}$

D.$\frac{n}{360}$

Câu 4. Phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung tròn đó được gọi là

A. Hình quạt tròn.

B. Hình vành khuyên.

C. Hình vành khăn.

D. Hình viên phân.

Câu 5. Độ dài cung $30°$ của một đường tròn có bán kính 4 dm là

A. $\frac{4\pi }{3}dm$

B.$\frac{2\pi }{3}dm$

C. $\frac{\pi }{3}dm$

D. $\frac{\pi }{6}dm$

II. Thông hiểu

Câu 6. Số đo $n°$ của cung tròn có độ dài 30,8 cm trên đường tròn có bán kính 22 cm (lấy $\pi \approx 3,14$ và làm tròn đến độ) là

A. $85°$

B. $65°$

C. $70°$

D. $80°$

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh $AB=5cm,\hat{B}=60°.$ Đường tròn tâm I đường kính AB cắt BC ở D. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Độ dài cung nhỏ BD của đường tròn $\left(I\right)$ là $\frac{\pi }{6}cm.$

B. $AD\perp BC$

C. D thuộc đường tròn đường kính AC

D. Số đo của cung nhỏ BD là $60°$

Câu 8. Cho đường tròn $\left(O;10cm\right)$ đường kính AB. Điểm $M\in \left(O\right)$ sao cho $\widehat{BAM}=45°.$ Diện tích hình quạt AOM bằng

A. $25\pi {\mathrm{cm}}^2$

B. $\frac{25}{2}\pi {\mathrm{cm}}^2$

C. $5\pi {\mathrm{cm}}^2$

D. $50\pi {\mathrm{cm}}^2$

Câu 9. Cho đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB=2\sqrt{2}cm.$ Điểm $C\in \left(O\right)$ sao cho $\widehat{ABC}=30°.$ Diện tích hình quạt BAC bằng

A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}{\mathrm{\pi cm}}^2$

B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}{\mathrm{\pi cm}}^2$

C. $\frac{4\pi }{3}{\mathrm{cm}}^2$

D. $\frac{8\pi }{3}{\mathrm{cm}}^2$.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho sân cỏ như hình vẽ, biết rằng $OB=10m,\widehat{AOB}=80°.$

Độ dài đoạn hàng rào quanh sân từ A đến B của sân cỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là

A. 488,69 m

B. 69,81 m

C. 13,96 m

D. 6,89 m