Lý thuyết Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

1. Căn thức bậc hai

– Khái niệm: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn bậc hai hay biểu thức dưới dấu căn.

Chú ý: Các số, biến số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, khai căn bậc hai làm thành một biểu thức đại số.

– Điều kiện xác định cho căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ là A ≥ 0.

Ví dụ 1. Mỗi biểu thức sau có phải là một căn thức bậc hai hay không?

a) x² + 1;

b) $\sqrt{5x-3};$

c) $\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) x² + 1 không là một căn thức bậc hai.

b) $\sqrt{5x-3}$ là một căn thức bậc hai vì 5x – 3 là một biểu thức đại số.

c) $\sqrt{2}$ là một căn thức bậc hai vì 2 là một biểu thức đại số.

Ví dụ 2.Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức sau:

a) $\sqrt{x};$

b) $\sqrt{10+100x};$

c) $\sqrt{2x^2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x}$ xác định khi x ≥ 0.

b) $\sqrt{10+100x}$ xác định khi 10 + 100x ≥ 0 hay 100x ≥ –10, tức là $x\ge -\frac{1}{10}.$

Vậy $\sqrt{10+100x}$ xác định khi $x\ge -\frac{1}{10}.$

c) $\sqrt{2x^2}$ xác định khi 2x² ≥ 0 (luôn đúng).

Vậy $\sqrt{2x^2}$ luôn xác định với mọi x ∈ ℝ.

2. Căn thức bậc ba

– Khái niệm: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt[3]{A}$ là căn thức bậc ba của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn bậc ba hay biểu thức dưới dấu căn.

Chú ý: Các số, biến số được nối với nhau bởi dấu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, khai căn (bậc hai hoặc bậc ba) làm thành một biểu thức đại số.

– Điều kiện xác định cho căn thức bậc ba $\sqrt[3]{A}$ chính là điều kiện xác định của biểu thức A.

Ví dụ 3.Tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{3x-8}$ tại

a) x = 0;

b) x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 0 vào biểu thức ta được:

$\sqrt[3]{3\cdot 0-8}=\sqrt[3]{-8}=-2.$

b) Thay x = 3 vào biểu thức ta được:

$\sqrt[3]{3\cdot 3-8}=\sqrt[3]{9-8}=\sqrt[3]{1}=1.$

Ví dụ 4.Tìm điều kiện xác định cho mỗi căn thức bậc ba sau:

a) $\sqrt[3]{6+x}$

b) $\sqrt[3]{\frac{2}{x-1}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{6+x}$ xác định với mọi số thực x vì 6 + x xác định với mọi số thực x.

b) $\sqrt[3]{\frac{2}{x-1}}$xác định với x ≠ 1 vì $\frac{2}{x-1}$ xác định với x ≠ 1.

Sơ đồ tư duy Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Bài tập Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Bài 1.Biểu thức $\sqrt[3]{16\text{x}-5}$ có nghĩa khi

A. $x\ne \frac{5}{16};$

B. $x\ge \frac{5}{16};$

C. $x\le \frac{5}{16};$

D. x là số thực.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\sqrt[3]{16\text{x}-5}$ xác định với mọi số thực x vì 16x – 5 xác định với mọi số thực x.

Bài 2.Biểu thức $\sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3\text{x}}}$ có nghĩa khi:

A. x < 2;

B. x > 2;

C. x ≤ 2;

D. x ≥ 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức $\sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3\text{x}}}$ có nghĩa khi 6 – 3x ≠ 0 và $\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3\text{x}}\ge 0.$

⦁6 – 3x ≠ 0, hay 3x ≠ 6 nên x ≠ 2;

⦁ $\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3\text{x}}\ge 0$ khi 6 – 3x > 0 (vì (–5)² > 0), hay 3x < 6 nên x < 2.

Kết hợp hai điều kiện trên ta được x < 2.

Vậy biểu thức $\sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^2}{6-3\text{x}}}$ có nghĩa khi x < 2.

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên x để $\sqrt{16-x}$ là số nguyên?

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\sqrt{16-x}$ có nghĩa thì 16 – x ≥ 0.

Mà x là số tự nhiên nên x ≥ 0, suy ra 16 – x ≤ 16.

Do đó 0 ≤ 16 – x ≤ 16. (1)

Để $\sqrt{16-x}$ là số nguyên thì 16 – x phải là số chính phương.

Từ (1) và (2) suy ra 16 – x ∈ {0; 1; 4; 9; 16}.

Do đó x – 16 ∈ {0; –1; –4; –9; –16}

Nên x ∈ {16; 15; 12; 7; 0}.

Vậy có 5 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

a) $\sqrt{3x-36};$

b) $\sqrt{24-3x};$

c) $\sqrt{\frac{2}{x^2}};$

d) $\sqrt{\frac{3}{1-2x}};$

e) $\sqrt{\frac{-10}{2x+4}};$

f) $\sqrt[3]{5-x};$

g) $\sqrt[3]{\frac{1}{x-1}};$

h) $\sqrt[3]{\frac{x-2}{-x^2+x-1}}.$

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức $\sqrt{3x-36}$ xác định khi 3x – 36 ≥ 0 hay 3x ≥ 36, tức là x ≥ 12.

b) Biểu thức $\sqrt{24-3x}$xác định khi 24 – 3x ≥ 0 hay 3x ≤ 24, tức là x ≤ 8.

c) Biểu thức $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$xác định khi $\frac{2}{x^2}\ge 0,$ hay x² > 0, tức là x ≠ 0.

d) Biểu thức $\sqrt{\frac{3}{1-2x}}$xác định khi $\frac{3}{1-2x}\ge 0,$ hay 1 – 2x > 0, tức là

e) Biểu thức $\sqrt{\frac{-10}{2x+4}}$xác định khi $\frac{-10}{2x+4}\ge 0,$ hay 2x + 4 < 0, tức là x < –2.

f) Biểu thức $\sqrt[3]{5-x}$xác định với mọi số thực x vì 5 – x xác định với mọi số thực x.

g) Biểu thức $\sqrt[3]{\frac{1}{x-1}}$xác định khi $\frac{1}{x-1}$ xác định, có nghĩa là x – 1 ≠ 0, hay x ≠ 1.

h) Biểu thức $\sqrt[3]{\frac{x-2}{-x^2+x-1}}$xác định khi $\frac{x-2}{-x^2+x-1}$ xác định, có nghĩa là –x² + x – 1 ≠ 0.

Ta có: $-x^2+x-1=-\left(x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{4}=-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}.$

Với mọi số thực x, ta có ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0,$ nên $-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0,$ suy ra $-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}\le -\frac{3}{4}$

Do đó $-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}\ne 0$ với mọi số thực x hay biểu thức $\sqrt[3]{\frac{x-2}{-x^2+x-1}}$ xác định với mọi số thực x.

Bài 5.Công thức $h=0,4\sqrt[3]{x}$ biểu diễn mối tương quan giữa cân nặng x (tính bằng kg) và chiều cao h (tính bằng m) của một con hươu cao cổ.

a) Một con hươu cao cổ cân nặng 195 kg thì cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Một con hươu cao cổ có chiều cao 2,62 m thì cân nặng bao nhiêu kilôgam? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

a) Con hươu cao cổ nặng 195 kg thì x = 195.

Thay x = 195 vào công thức $h=0,4\sqrt[3]{x}$ ta được chiều cao của con hươu cao cổ là:

$h=0,4\sqrt[3]{x}=0,4\sqrt[3]{195}\approx 2,32$ (m).

b) Con hươu cao cổ cao 2,62 m thì h = 2,62.

Thay h = 2,62vào công thức $h=0,4\sqrt[3]{x}$ ta được phương trình:

$2,62=0,4\sqrt[3]{x}.$

Giải phương trình:

$2,62=0,4\sqrt[3]{x}.$

$\sqrt[3]{x}=6,55$

x ≈ 281 (kg).

Vậy con hươu cao cổ có chiều cao 2,62 m thì cân nặng khoảng 281kg.

Bài 6.Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x}=\frac{1}{2};$

b) $\sqrt[3]{x-10}=5;$

c) $5\sqrt{8-4\text{x}}-2\sqrt{32-16\text{x}}=10.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định x ≥ 0.

$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

${\left(\sqrt{x}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$x=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=\frac{1}{4}$

b) $\sqrt[3]{x-10}=5$

${\left(\sqrt[3]{x-10}\right)}^3=5^3$

x – 10 = 125

x = 135

Vậy x = 135.

c) Điều kiện xác định x ≤ 2.

$5\sqrt{8-4\text{x}}-2\sqrt{32-16\text{x}}=10$.

$5\sqrt{4\left(2-\text{x}\right)}-2\sqrt{16\left(2-\text{x}\right)}=10$

$10\sqrt{\left(2-\text{x}\right)}-8\sqrt{\left(2-\text{x}\right)}=10$

$2\sqrt{\left(2-\text{x}\right)}=10$

$\sqrt{\left(2-\text{x}\right)}=5$

2 – x = 25

x = –23 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x = –23.

Bài 7.Một trạm phát sóng được đặt ở vị trí B cách đường tàu một khoảng AB = 360m. Đầu tàu đang ở vị trí C, cách vị trí A một khoảng AC = x (m).

a) Viết biểu thức biểu thị khoảng cách BC từ trạm phát sóng đến đầu tàu.

b) Tính khoảng cách trên khi x = 480, x = 900 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagorecho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AC² + AB²

Suy ra: $BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{x^2+{360}^2}=\sqrt{x^2+129600}$ (m).

Vậy biểu thức biểu thị khoảng cách từ trạm phát sóng đến đầu tàu là $BC=\sqrt{x^2+129600}$ (m).

b) Khi x = 480, thay vào biểu thức $BC=\sqrt{x^2+129600}$ thì khoảng cách trên bằng:

$\sqrt{{480}^2+129600}=\sqrt{230400+129600}=\sqrt{360000}=600$ (m).

Khi x = 900, thay vào biểu thức $BC=\sqrt{x^2+129600}$ thì khoảng cách trên bằng:

$\sqrt{{900}^2+129600}=\sqrt{810000+129600}=\sqrt{939600}\approx 969$ (m).