Lý thuyết Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Ước lượng khoảng cách

Từ xưa, người ta đã biết cách ứng dụng lượng giác để ước lượng khoảng cách. Bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có thể ước lượng khoảng cách giữa hai vị trí khi khó đo trực tiếp khoảng cách giữa hai vị trí đó.

Ví dụ 1. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B, C khi không thể đo trực tiếp (Hình a), người ta có thể làm như sau (Hình b):

– Sử dụng giác kế (một loại dụng cụ để đo góc, xem hình dưới), chọn điểm A ở vị trí thích hợp sao cho góc ACB là góc vuông. Đo khoảng cách AC;

– Sử dụng giác kế để đo góc BAC;

– Từ đó, tính khoảng cách BC.

a) Theo cách làm trên, nêu công thức tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C.

b) Tính khoảng cách giữa hai vị trí B, C, biết AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC vuông tại C nên BC = AC.tanA.

b) Ta có AC = 5 m và $\widehat{BAC}=72°$.

Suy ra BC = 5.tan72° ≈ 15,39 (m)

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C bằng khoảng 15,39 m.

Ví dụ 2. Tia nắng mặt trời tạo với phương thẳng đứng một góc 56° và tháp cao 58 m (hình vẽ). Tính chiều dài của bóng tháp trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Tam giác OAB vuông tại A nên:

$OA=AB\cdot \tan \widehat{OBA}=58\cdot \tan 56°\approx 86$ (m).

Vậy chiều dài của bóng tháp bằng khoảng 86 m.

2. Ước lượng chiều cao

Ví dụ 3. Để ước lượng chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh tháp, người ta sử dụng giác kế, thước cuộn, máy tính cầm tay.

Chẳng hạn, ở hình vẽ trên, để đo chiều cao AD của tháp, người ta đặt giác kế tại một điểm quan sát cách chân tháp một khoảng CD = OB = a, trong đó chiều cao của điểm đặt giác kế là OC = b. Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm thanh này ta nhìn thấy đỉnh A của tháp, đọc trên giác kế số đo α của góc AOB.Tính chiều cao của tháp, biết α = 54°; b = 22,31 m; a = 106 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Hướng dẫn giải

Vì tam giác OAB vuông tại B nên:

$AB=OB\cdot \tan \widehat{AOB}=106\cdot \tan 54°\approx 145,90$ (m).

Vậy chiều cao của tháp khoảng 145,90 + 22,31 = 168,21 (m).

Ví dụ 4. Một người đứng cách tòa nhà một khoảng 10 m. Góc nâng từ chỗ người đó đứng đến nóc nhà là 40°. Nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=10\cdot \tan 40°\approx 8,39$ (m).

Tam giác ABD vuông tại A nên $AD=AB\cdot \cot \widehat{ADB}\approx 8,39\cdot \cot 35°\approx 11,98$ (m).

Vậy nếu người đó dịch chuyển ra xa sao cho góc nâng là 35° thì lúc đó người đó cách tòa nhà khoảng 11,98 m.

Bài tập Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 25° và có độ cao là 2,4 m.

Độ dài (làm tròn kết quả đến số thập phân thứ hai)của mặt cầu trượt là

A. 5,86 m;

B. 5 m;

C. 5,68 m;

D. 5,9 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC vuông tại A nên $AC=BC\cdot \sin \widehat{ABC}.$

Suy ra $BC=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{2,4}{\sin 25°}\approx 5,68$ (m).

Vậy độ dài của mặt cầu trượt khoảng 5,68 m.

Bài 2. Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 42°.

Chiều cao (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)của cột đèn là

A. 6,753 m;

B. 6,75 m;

C. 6,751 m;

D. 6,755 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC vuông tại A nên:

$AC=AB\cdot \tan \widehat{ABC}=7,5\cdot \tan 42°\approx 6,753$ (m).

Vậy chiều cao của cột đèn khoảng 6,753 m.

Bài 3. Bạn Linh đứng ở mặt đất cách một tòa tháp một khoảng 120 m dùng giác kế nhìn thấy đỉnh tháp ở góc 53° so với đường nằm ngang song song với mặt đất. Biết giác kế có chiều cao 1,6 m.

Chiều cao (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)của tháp là

A. 160,1 m;

B. 159,25 m;

C. 160,8 m;

D. 160,85 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có CD = AB = 120 (m) và BC = AD = 1,6 (m).

Tam giác CDE vuông tại C nên

$CE=CD\cdot \tan \widehat{CDE}=120\cdot \tan 53°\approx 159,25$ (m).

Vậy chiều cao của tháp khoảng: 159,25 + 1,6 ≈ 160,85 (m).

Bài 4. Màn ảnh rộng hình chữ nhật được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ mép màn hình). Để nhìn rõ, bạn Bình ngồi cách màn hình 2,4 m. Tính chiều cao màn hình? Biết góc nhìn của bạn Bình là 16° (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm đối với độ dài và làm tròn kết quả đến phút đối với góc).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABH vuông tại H nên: $\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\frac{1,8}{2,4}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $\widehat{BAH}\approx 36°{52}^{\text{'}}$.

Khi đó $\widehat{CAH}=\widehat{CAB}+\widehat{BAH}\approx 16°+36°{52}^{\text{'}}\approx 52°{52}^{\text{'}}$.

Tam giác CAH vuông tại H nên

$CH=AH\cdot \tan \widehat{CAH}\approx 2,4\cdot \tan 52°{52}^{\text{'}}\approx 3,17$ (m).

Vậy chiều cao màn hình là: CH – BH ≈ 3,17 – 1,8 = 1,37 (m).

Bài 5. Từ nóc một tòa cao ốc 50 m người ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạ và nâng lần lượt là 62° và 34° (hình vẽ). Tính chiều cao của cột ăng-ten (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ABDC là hình chữ nhật nên DC = AB = 50 (m).

Tam giác BCD vuông tại D nên

$BD=DC\cdot \cot \widehat{DBC}=50\cdot \cot 62°\approx 26,59$ (m).

Tam giác BDE vuông tại Dnên

$DE=BD\cdot \tan \widehat{DBE}\approx 26,59\cdot \tan 34°\approx 17,94$ (m).

Vậy chiều cao của cột ăng-ten khoảng:

EC = DE + DC ≈ 17,94 + 50 ≈ 67,94 (m).

Trắc nghiệm: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

I. Nhận biết

Câu 1. Giác kế là một dụng cụ dùng để

A. đo độ dài.

B. đo góc.

C. đo khoảng cách.

D. đo nhiệt độ.

Câu 2. Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với phương ngang một góc bằng $35°$ khi đó cột AH có bóng trên mặt đất là đoạn BH dài 10,4 m.

Trong các hệ thức sau, hệ thức nào là đúng?

A. $AH=10,4.\sin 35°$

B. $AH=10,4.\cos 35°$

C. $AH=10,4.tan 35°$

D. $AH=10,4.cot 35°$

Câu 3. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Giả sử dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc $\alpha$ (hình vẽ).

Khi đó để tính giá trị của $\alpha$ , cách đơn giản nhất là sử dụng tỉ số lượng giác nào của góc nhọn $\alpha$?

A. sin.

B. côsin.

C. tang.

D. côtang.

Câu 4. Một chiếc thang có chiều dài từ chân lên đến nấc thang cuối là 5 m được đặt vào thân cây cau (như hình vẽ).

Người ta đo được khoảng cách từ chân thang đến gốc cây là 2,5 m. Khi đó để tính góc $\alpha$ tạo bởi thang và thân cây cau, cách đơn giản nhất là sử dụng tỉ số lượng giác nào của góc nhọn $\alpha$?

A. sin.

B. côsin.

C. tang.

D. côtang.

Câu 5. Chiều cao của tháp canh trong hình bên gần nhất với

A. 10,03 m.

B. 10,04 m.

C. 10,05 m.

D. 10,045 m.

II. Thông hiểu

Câu 6. Hình vẽ bên mô tả một chiếc thang có chiều dài AB=7 m được đặt dựa vào tường, khoảng cách từ chân thang đến chân tường là BH=3 m.

Góc tạo bởi cạnh AB và phần sàn nhà nằm ngang trên mặt đất gần nhất với

A. $25°$

B. $26°$

C. $64°$

D. $65°$

Câu 7. Tại một thời điểm trong ngày, các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc bằng bóng của một cây xanh trên mặt đất dài 14,25 m (như hình vẽ).

Chiều cao AH của cây xanh (làm tròn đến hàng phần trăm) là

A. $AH\approx 20,00$ m.

B. $AH\approx 20,35$ m.

C. $AH\approx 11,67$ m.

D. $AH\approx 22,50$m.

Câu 8. Một cái thang dài 4,8 m dựa vào tường và tạo với tường một góc $32°.$

Chiều cao của thang so với mặt đất gần nhất với

A. 2,5 m.

B. 3,0 m.

C. 3,6 m.

D. 4,1 m.

Câu 9. Một cầu thủ sút bóng bị va vào mép xà ngang của cầu môn và bị bật ngược trở lại. Biết cầu môn cao 2,4 m và khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là 25 m.

Góc $\alpha$ tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất gần nhất với

A. $\alpha \approx 5°28\text{'}$

B.$\alpha \approx 5°30\text{'}$

C. $\alpha \approx 5°29\text{'}$

D. $\alpha \approx 5°31\text{'}$

III. Vận dụng

Câu 10. Hai bạn Việt và Nam cùng chơi thả diều trên một bãi đất phẳng, sợi dây diều của bạn Việt có độ dài 100 m và dây diều tạo với phương ngang một góc $42°$ còn sợi dây diều của bạn Nam có độ dài 96 m và dây diều tạo với phương ngang một góc $45°$. Cho biết tầm mắt của cả hai bạn đều là 1,55 m và coi các dây diều được thả hết và căng thẳng (hình vẽ).

Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng nhất?

A. So với mặt đất thì diều của bạn Việt lên cao hơn diều của bạn Nam và cao hơn 0,25 m.

B. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn 0,97 m.

C. So với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn 1,03 m.

D. So với mặt đất thì diều của hai bạn Việt và Nam lên cao bằng nhau.