Lý thuyết Bất đẳng thức– Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức- Cánh diều

A. Lý thuyết Bất đẳng thức

1. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực

– Trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

⦁ Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết a < b hay b > a.

⦁ Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

⦁ Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

– Chú ý:

⦁ Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì a < b hay b > a.

⦁ Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.

⦁ Với hai số thực a, b, ta có:

ab > 0 khi a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại;

ab < 0 khi a, b trái dấu và ngược lại.

⦁ Với mỗi số thực a, ta có a² ≥ 0. Ngoài ra, a² = 0 khi a = 0 và ngược lại.

⦁ Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$ và ngược lại.

Ví dụ 1. So sánh:

a) $2\frac{1}{6}$ và 2,16.

b) 5 và $\sqrt{26}$

Hướng dẫn giải

a) Do $2\frac{1}{6}=2,\mathrm{16666...}$ nên $2\frac{1}{6}>2,16.$

b) Ta có $5=\sqrt{25}.$

Do 25 > 26 nên $\sqrt{25}<\sqrt{26}$ hay $5<\sqrt{26}.$

2. Bất đẳng thức

2.1. Khái niệm

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c < d (hay a > b và c > d) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

⦁ Hai bất đẳng thức a < b và c > d (hay a > b và c < d) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Ví dụ 2. Ví dụ hai bất đẳng thức cùng chiều là: $3>\sqrt{8}$ và $\sqrt{10}>3.$

Ví dụ hai bất đẳng thức ngược chiều là: $\sqrt{10}>3$ và $\sqrt{10}<4.$

2.2. Tính chất

Với hai số thực a và b, ta có:

⦁ Nếu a > b thì a – b > 0. Ngược lại, nếu a – b > 0 thì a > b.

⦁ Nếu a < b thì a – b < 0. Ngược lại, nếu a – b < 0 thì a < b.

⦁ Nếu a ≥ b thì a – b ≥ 0. Ngược lại, nếu a – b ≥ 0 thì a ≥ b.

⦁ Nếu a ≤ b thì a – b ≤ 0. Ngược lại, nếu a – b ≤ 0 thì a ≤ b.

Nhận xét: Dựa vào các khẳng định nêu trên, để chứng minh a > b, ta có thể chứng minh a – b > 0 hoặc chứng minh b – a < 0.

Ví dụ 3. Cho a < b, hãy so sánh:

a) 3a và 2a + b.

b) 2b + 3a và 4a + b – 1.

Hướng dẫn giải

Do a < b nên a – b < 0 và b – a > 0.

a) Xét hiệu: 3a – (2a + b) = 3a – 2a – b = a – b.

Do a – b < 0 nên 3a – (2a + b) < 0 hay 3a < 2a + b.

b) Xét hiệu: (2b + 3a) – (4a + b – 1) = 2b + 3a – 4a – b + 1 = (b – a) + 1.

Do b – a > 0 và 1 > 0 nên (b – a) + 1 > 0.

Vậy (2b + 3a) – (4a + b – 1) > 0 hay 2b + 3a > 4a + b – 1.

Một số tính chất của bất đẳng thức:

(1) Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

⦁ Nếu a > b thì a + c > b + c với mọi số thực c.

⦁ Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c với mọi số thực c.

(2) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

⦁ Nếu a > b thì ac > bc;

⦁ Nếu a < b thì ac < bc;

⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc;

⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc.

(3) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c < 0, ta có:

⦁ Nếu a > b thì ac < bc;

⦁ Nếu a < b thì ac > bc;

⦁ Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc;

⦁ Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc.

(4) Nếu a > b và b > c thì a > c.

Ví dụ 4. Cho a > b, hãy so sánh:

a) 2a và 2b.

b) –4a và –4b.

c) 4a + 3 và 4b + 3.

d) 1 – 6a và 1 – 6b.

e) 2a + 5 và 2b – 1.

f) 4 – a và 5 – b.

Hướng dẫn giải

a) Do a > b nên 2a > 2b.

b) Do a > b nên –4a < –4b.

c) Do a > b nên 4a > 4b, suy ra 4a + 3 > 4b + 3.

d) Do a > b nên –6a < –6b, suy ra 1 – 6a < 1 – 6b.

e) Do a > b nên 2a > 2b, suy ra 2a + 5 > 2b + 5.

Mà 2b + 5 > 2b + 5 – 6 hay 2b + 5 > 2b – 1.

Vậy 2a + 5 > 2b – 1.

f) Do a > b nên –a < –b, suy ra 4 – a < 4 – b.

Mà 4 – b < 4 – b + 1 hay 4 – b < 5 – b.

Vậy 4 – a < 5 – b.

Ví dụ 5. Cho a < b và c < d. Chứng minh rằng a + c < b + d.

Hướng dẫn giải

Do a < b nên a + c < b + c.

Do c < d nên b + c < b + d.

Vậy a + c < b + d.

B. Bài tập Bất đẳng thức

Bài 1. Cho các số thực x, y, z và x < y. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. x + z < y + z.

B. xz < yz nếu z là số âm.

C. xz < yz nếu z là số dương.

D. x – z < y – z.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu x < y và z < 0 thì xz > yz.

Vậy khẳng định ở phương án B là sai.

Bài 2. Cho a > b, hãy so sánh:

a) a – 2 và b – 2.

b) –5a và –5b.

c) 10 – 3a và 10 – 3b.

d) 12a + 1 và 12b – 4.

e) 2 – 9a và 5 – 9b.

Hướng dẫn giải

a) Do a > b nên a – 2 > b – 2.

b) Do a > b nên –5a < –5b.

c) Do a > b nên –3a < –3b, suy ra 10 – 3a < 10 – 3b.

d) Do a > b nên 12a > 12b, suy ra 12a + 1 > 12b + 1.

Mà 12b + 1 > 12b + 1 – 5 hay 12b + 1 > 12b – 4.

Vậy 12a + 1 > 12b – 4.

e) Do a > b nên –9a < –9b, suy ra 2 – 9a < 2 – 9b.

Mà 2 – 9b < 2 – 9b + 3 hay 2 – 9b < 5 – 9b.

Vậy 2 – 9a < 5 – 9b.

Bài 3. Cho x > 0, chứng minh rằng $x+\frac{1}{x}\ge 2.$

Hướng dẫn giải

Ta có (x – 1)² ≥ 0 với mọi x, suy ra x² + 1 ≥ 2x.

Vì x > 0 nên $\frac{x^2+1}{x}\ge \frac{2x}{x},$ hay $\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}\ge 2.$

Vậy $x+\frac{1}{x}\ge 2.$

Bài 4. Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là

A. n lớn hơn 3.

B. n nhỏ hơn 3.

C. n không nhỏ hơn 3.

D. n không lớn hơn 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức n ≤ 3 có thể được phát biểu là “n nhỏ hơn hoặc bằng 3” hoặc cũng có thể phát biểu là “n không lớn hơn 3”.