Lý thuyết Một số phép tính về căn bậc hai của số thực - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

1. Căn bậc hai của một bình phương

Quy tắc: Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^2}=\left(a\right).$

Ví dụ 1.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một bình phương, hãy tính:

a) $\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{10}\right|$

Do $\sqrt{9}<\sqrt{10}$ hay $3<\sqrt{10}$ nên $3-\sqrt{10}<0$

Vì thế ta có $\left|3-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-3$

Vậy $\sqrt{{\left(3-\sqrt{10}\right)}^2}=\left|3-\sqrt{10}\right|=\sqrt{10}-3.$

2. Căn bậc hai của một tích

Quy tắc: Với hai số không âm a và b, ta có $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Chú ý: Quy tắc trên có thể mở rộng cho tích có nhiều thừa số không âm.

Ví dụ 2.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{36\cdot 1,44}$

b) $-\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{36\cdot 1,44}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{1,44}=6\cdot 1,2=7,2;$

b) $-\sqrt{27}\cdot \sqrt{48}=-\sqrt{27\cdot 48}=-\sqrt{1296}=-36.$

3. Căn bậc hai của một thương

Quy tắc: Với a ≥ 0 và b > 0, ta có $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Ví dụ 3.Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{289}{36}};$

b) $\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\frac{289}{36}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{36}}=\frac{17}{6};$

b)$\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{147}{3}}=\sqrt{49}=7.$

4. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai

Quy tắc: Cho hai số a, b với b ≥ 0. Khi đó $\sqrt{a^2\cdot b}=\left(a\right)\sqrt{b}.$

Cụ thể, ta có:

⦁Nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b};$

⦁Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì $\sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b};$

Ví dụ 4.Rút gọn biểu thức sau: $\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt{50}+\sqrt{18}-2\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}+\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{2}$

$=\sqrt{5^2\cdot 2}+\sqrt{3^2\cdot 2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$

5. Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai

Quy tắc:

⦁ Với a ≥ 0 và b ≥ 0 thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b};$

⦁ Nếu a < 0 và b ≥ 0 thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b};$

a) $2\sqrt{\frac{1}{2}};$

b) $5\sqrt{\frac{2}{5}}-2\sqrt{10}.$

Hướng dẫn giải

a) $2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2^2\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{2};$

b) $5\sqrt{\frac{2}{5}}-2\sqrt{10}=\sqrt{5^2\cdot \frac{2}{5}}-2\sqrt{10}=\sqrt{10}-2\sqrt{10}=-\sqrt{10}.$

Sơ đồ tư duy Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài tập Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

Bài 1.Cho a và b là hai số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ với mọi a, b;

B. $\sqrt{a^2}=-a$ khi a < 0;

C. $\sqrt{a{b}^2}=-b\sqrt{a}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

D. $\sqrt{-ab}=-\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

⦁ $\sqrt{a^2}=-a$ khi a < 0;

⦁ $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ khi a ≥ 0 và b ≥ 0;

⦁ $\sqrt{a{b}^2}=-b\sqrt{a}$ khi a ≥ 0 và b < 0;

⦁ $\sqrt{-ab}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{b}$ khi a < 0 và b ≥ 0 hoặc $\sqrt{-ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-b}$ khi a ≥ 0 và b < 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Cho a, b là hai số và b ≠ 0. Rút gọn biểu thức ta được

A. $\frac{a^2}{b};$

B. $\frac{a}{b};$

C. $-\frac{a^2}{b};$

D. $\frac{a^2}{\left(b\right)}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sqrt{\frac{a^4}{b^2}}=\sqrt{{\left(\frac{a^2}{b}\right)}^2}=\left(\frac{a^2}{b}\right)=\frac{a^2}{\left(b\right)}.$

Bài 3. Cho ba số dương a, b, c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{\sqrt{abc}}{b};$

B. $\sqrt{\frac{a}{bc}}=-\frac{\sqrt{abc}}{bc};$

C. $\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{\sqrt{abc}}{bc};$

D. $\sqrt{\frac{a}{bc}}=\frac{abc}{\sqrt{bc}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với a > 0, b > 0, c > 0, ta có:

$\sqrt{\frac{a}{bc}}=\sqrt{\frac{abc}{{\left(bc\right)}^2}}=\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{{\left(bc\right)}^2}}=\frac{\sqrt{abc}}{\left|bc\right|}=\frac{\sqrt{abc}}{bc}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. So sánh:

a) $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}$ và 3;

b) $\sqrt{\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{9}{2}}$ và $\frac{3}{2};$

c) $\sqrt{50}$ và $5\sqrt{5}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{49}{7}}=\sqrt{7}$

Vì $\sqrt{7}<\sqrt{9}$hay $\sqrt{7}<3$ nên $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{7}}<3.$

b) Ta có: $\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.$

c) Ta có: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{5^2\cdot 2}=5\sqrt{2}.$

Vì $\sqrt{2}<\sqrt{5}$ nên $5\sqrt{2}<5\sqrt{5}.$

Vậy $\sqrt{50}<5\sqrt{5}.$

Bài 5. Tính:

a) $\sqrt{7-4\sqrt{3}};$

b) $\sqrt{\sqrt{5}+3}\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}};$

c) $\frac{\sqrt{{\left(6,2\right)}^2-{\left(5,9\right)}^2}}{\sqrt{2,43}};$

d) ${\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{120}.$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+3}=\sqrt{2^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}$ (vì $2-\sqrt{3}>0$ > do $2>\sqrt{3}).$

/span>

b)$\sqrt{\sqrt{5}+3}\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}$

$=\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2.$

c) $\frac{\sqrt{{\left(6,2\right)}^2-{\left(5,9\right)}^2}}{\sqrt{2,43}}=\frac{\sqrt{\left(6,2-5,9\right)\cdot \left(6,2+5,9\right)}}{\sqrt{2,43}}$

$=\frac{\sqrt{0,3\cdot 12,1}}{\sqrt{2,43}}=\frac{\sqrt{3,63}}{\sqrt{2,43}}=\sqrt{\frac{3,63}{2,43}}=\sqrt{\frac{363}{243}}=\sqrt{\frac{121}{81}}=\frac{11}{9}.$

d) ${\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}^2+\sqrt{120}=6-2\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}+5+\sqrt{4\cdot 30}$

$=11-2\sqrt{6\cdot 5}+\sqrt{2^2\cdot 30}=11-2\sqrt{30}+2\sqrt{30}=11.$

Trắc nghiệm: Một số phép tính về căn bậc hai của số thực

I. Nhận biết

Câu 1. Với hai số thực $a,b$ không âm thì $\sqrt{a.b}$ bằng

A. $ab$

B. $\sqrt{a}.b$

C. $\sqrt{a}.\sqrt{b}$

D. $a\sqrt{b}$.

Câu 2. Biểu thức $\sqrt{3}.\sqrt{16}.\sqrt{14}$ bằng

A.$\sqrt{3}.16.\sqrt{14}$

B. $\sqrt{3}.8.\sqrt{14}$

C. $\sqrt{3.16.14}$

D. $-\sqrt{3}.16.\sqrt{14}$

Câu 3. Với số thực $a$ không âm và số thực $b$ dương thì $\sqrt{\frac{a}{b}}$ bằng

A. $\frac{a}{b}$

B. $\frac{\sqrt{a}}{b}$

C. $\frac{a}{\sqrt{b}}$

D. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Câu 4. Cho ba số $a\ge 0$ và $b>0,c>0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

B.$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{ab}{c}}$

C.$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{bc}}=\sqrt{\frac{a}{bc}}$

D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 5.Cho số $a\ge 0$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\sqrt{a^2}=a$

B.$\sqrt{a^2}=-a$

C.$\sqrt{a^2}=\left(a\right)$

D.$\sqrt{a^2}=-\left(a\right)$

II. Thông hiểu

Câu 6. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{2}$ ta được

A.1

B.$\sqrt{2}$

C.$-1$

D.$-2\sqrt{2}$

Câu 7. Biết $\sqrt{ab}=\sqrt{-a}.\sqrt{-b}$ với hai số $a\ne 0,b\ne 0$ và cho các khẳng định sau:

(i) Số a là số âm.

(ii) Số a và b có cùng dấu.

(iii) Số a và b là hai số được biểu diễn trên trục số bởi các điểm nằm bên trái số 0.

Có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 8. Cho hai số $a<0$ và $b\ge 0$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$

B.$\sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b}$

C.$\sqrt{a^{2}b}=b\sqrt{a}$

D.$\sqrt{a^{2}b}=-b\sqrt{a}$.

Câu 9. Giá trị của biểu thức $\left(\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{50}{3}}-\sqrt{24}\right).\sqrt{6}$ là

A. –1.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

III. Vận dụng

Câu 10. Cho biểu thức $A=\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}$ (có vô hạn số $\sqrt{20}$ Giá trị của biểu thức A là

A.$-5$

B.$-4$

C. 4

D. 5