Lý thuyết Tiếp tuyến của đường tròn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tiếp tuyến của đường tròn

1. Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Trong hình vẽ trên, đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) do OH ⊥ a tại H thuộc (O; R).

Ví dụ 1. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm B. Chứng minh rằng OA² + BC² = AB² + OC².

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng AC tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB ⊥ AC tại B.

Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OB² + AB²

Suy ra OB² = OA² – AB² (1)

Tam giác OBC vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

OC² = OB² + BC²

Suy ra OB² = OC² – BC² (2)

Từ (1), (2), ta có OA² – AB² = OC² – BC².

Vậy OA² + BC² = OC² + AB².

Định lí: (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn)

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.

Hướng dẫn giải

Vì IO, KM lần lượt là đường kính, bán kính của đường tròn (K) nên $KM=\frac{1}{2}IO.$

Xét tam giác IMO, ta có: đường trung tuyến MK ứng với cạnh IO bằng nửa cạnh ấy, suy ra tam giác IMO vuông tại M.

Do đó IM ⊥ MO tại M, với M ∈ (O).

Vậy đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.

Nhận xét: Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Từ Ví dụ 2, ta có thể vẽ đường thẳng đi qua điểm I và tiếp xúc với đường tròn (O) như sau:

– Vẽ trung điểm K của đoạn thẳng IO;

– Vẽ đường tròn tâm K bán kính KO, cắt đường tròn (O) tại một giao điểm M.

Khi đó đường thẳng IM là một tiếp tuyến cần vẽ.

2. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M (hình vẽ).

Góc AOB được gọi là góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm; góc AMB được gọi là góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Định lí: (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn)

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

⦁ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;

⦁ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

⦁ Tia kẻ từ tâm đường tròn đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O), với A, B là tiếp điểm.

a) Chứng minh OM là đường trung trực của AB.

b) Tính MA và MB, biết R = 4 cm và MO = 6 cm.

Hướng dẫn giải

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) nên ta có OM là tia phân giác của góc AOB.

Tam giác AOB cân tại O (do OA = OB = R) có OM là đường phân giác nên OM cũng là đường trung trực của tam giác AOB.

b) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) nên MA = MB.

Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), với A là tiếp điểm nên OA ⊥ AM tại A.

Tam giác OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

OM² = MA² + OA²

Suy ra MA² = OM² – R² = 6² – 4² = 20.

Do đó $MA=2\sqrt{5}$(cm).

Vậy $MA=MB=2\sqrt{5}$cm.

Sơ đồ tư duy Tiếp tuyến của đường tròn

Bài tập Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 1. “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và ... thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.” Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là

A. song song với bán kính đi qua điểm đó;

B. vuông góc với bán kính đi qua điểm đó;

C. song song với bán kính đường tròn;

D. vuông góc với bán kính bất kì.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Cho hình vẽ

Giá trị của x trong hình vẽ trên là

A. $x=-\frac{2}{5};$

B. x = –1;

C. x = 3;

D. $x=\frac{2}{5};$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), với B, C là tiếp điểm.

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được AB = AC.

Suy ra 7x – 4 = 3x + 8

Nên 4x = 12

Do đó x = 3.

Vậy x = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 3. Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) sao cho MA, MB là hai tiếp tuyến (A, B là hai tiếp điểm). Biết $\widehat{MAB}=70°,$ số đo $\widehat{AOM}$ bằng

A. 70°;

B. 140°;

C. 35°;

D. 110°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có AM là tiếp tuyến của (O) tại A nên AM ⊥ OA.

Do đó $\widehat{OAB}+\widehat{BAM}=90°.$

Vì vậy $\widehat{OAB}=90°-\widehat{BAM}=90°-70°=20°.$

Ta có tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) nên $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}=20°.$

Tam giác OAB, có: $\widehat{AOB}+\widehat{OBA}+\widehat{OAB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AOB}=180°-\left(\widehat{OBA}+\widehat{OAB}\right)=180°-\left(20°+20°\right)=140°.$

Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó $\widehat{AOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{140°}{2}=70°.$

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (B), có: BD = BA.

Xét đường tròn (C), có: CD = CA.

Xét ∆ABC và ∆DBC, có:

BA = BD;

CA = CD;

Cạnh BC là cạnh chung.

Do đó ∆ABC = ∆DBC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=90°$ hay CD ⊥ BD tại D, mà D thuộc (B; BA)

Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Bài 5. Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), với B, C là tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của đoạn BC.

b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD // AO.

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.

Hướng dẫn giải

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A thuộc đường trung trực của đoạn BC (1)

Lại có OA = OB = R.

Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn BC (2)

Từ (1), (2), ta thu được OA là đường trung trực của đoạn BC.

b) Tam giác BCD có OB = OC = OD = R và O là trung điểm CD (do CD là đường kính của (O)).

Do đó tam giác BCD vuông tại B hay BD ⊥ BC.

Mà AO ⊥ BC (do OA là đường trung trực của đoạn BC)

Vậy AO // BD.

c) Ta có OM ⊥ OB nên $\widehat{MOA}+\widehat{AOB}=90°$ (3)

Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) nên AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{MAO}=\widehat{OAB}$ (4)

Ta có tam giác OAB vuông tại B (do AB là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra $\widehat{AOB}+\widehat{OAB}=90°$ (5)

Từ (3), (4), (5), ta thu được $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}.$

Do đó tam giác AMO cân tại M.

Vậy MA = MO.