Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Toán 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

⦁Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

⦁Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại (hình vẽ).

Ví dụ 1. Cho đường thẳng b và một điểm O cách b một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 7 cm. Đường thẳng b có cắt đường tròn (O) hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Vẽ OH vuông góc với b tại H.

Ta có O cách b một khoảng bằng 5 cm nên OH = 5 cm.

Mà R = 7 cm nên OH < R (vì 5 cm < 7 cm)

Vậy đường thẳng b cắt (O; 7 cm) tại hai điểm phân biệt.

2. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

⦁Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.

⦁Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét:Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R và ngược lại (hình vẽ).

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 16 cm. Vẽ đường thẳng m sao cho khoảng cách từ O đến m bằng 8 cm. Đường thẳng m có tiếp xúc với đường tròn (O) không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Kẻ OE ⊥ m tại E.

Ta có khoảng cách từ O đến m bằng 8 cm nên OE = 8 cm.

Bán kính đường tròn (O) là: $R=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8$(cm).

Vì OE = R = 8 cm nên đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn (O; 8 cm).

3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Nhận xét:Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại (hình vẽ).

Ví dụ 3. Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 6 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và các đường tròn sau:

a) (O; 3 cm);

b) (O; 6 cm);

c) (O; 9 cm).

Hướng dẫn giải

Gọi d là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nên d = 6 cm.

a) Đặt R = 3 cm.

Vì 6 cm > 3 cm nên d > R.

Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 3 cm) không giao nhau.

b) Đặt R = 6 cm.

Vì d = R = 6 cm nên đường thẳng a và đường tròn (O; 6 cm) tiếp xúc với nhau.

c) Đặt R = 9 cm.

Vì 6 cm < 9 cm nên d < R.

Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 9 cm) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:

Sơ đồ tư duy Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 1. Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì

A. đường thẳng tiếp xúc với đường tròn;

B. đường thẳng cắt đường tròn;

C. đường thẳng và đường tròn không giao nhau;

D. đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Cho a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm. Lấy điểm I trên đường thẳng a và vẽ đường tròn (I; 3 cm). Khi đó đường tròn tâm I với đường thẳng b

A. cắt nhau;

B. tiếp xúc;

C. không giao nhau;

D. đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (I) có R = 3 cm.

Ta có a, b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3,5 cm.

Mà I thuộc đường thẳng a.

Suy ra điểm I cách đường thẳng b một khoảng bằng 3,5 cm nên d = 3,5 cm.

Vì 3,5 cm > 3 cm nên d > R.

Vậy đường tròn (I) và đường thẳng b không giao nhau.

Bài 3. Cho đường tròn tâm O, bán kính 3 cm và một điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm. Vẽ đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O), với B là tiếp điểm. Độ dài AB là

A. 3 cm;

B. 4 cm;

C. 5 cm;

D. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm B nên OB = R = 3 cm và OB ⊥ AB tại B.

Lại có điểm A cách O một khoảng bằng 5 cm nên OA = 5 cm.

Tam giác OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OB² + AB²

Suy ra AB² = OA² – OB² = 5² – 3² = 16.

Do đó AB = 4 (cm).

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Cho điểm O cách đường thẳng a một khoảng bằng 6 cm. Vẽ đường tròn (O; 10 cm).

a) Chứng minh rằng đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau.

b) Gọi hai giao điểm của đường tròn (O) và đường thẳng a lần lượt là B và C. Tính chu vi tam giác OBC.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O) có R = 10 cm.

Ta có điểm O cách đường thẳng một khoảng bằng 6 cm nên d = 6 cm.

Vì 6 cm < 10 cm nên d < R.

Vậy đường tròn (O) và đường thẳng a cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Kẻ OH ⊥ BC tại H.Suy ra OH = d = 6 cm.

Ta có OB = OC = R = 10 cm.

Tam giác OBH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OB² = OH² + BH²

Suy ra BH² = OB² – OH² = 10² – 6² = 64.

Do đó BH = 8 (cm).

Tam giác OBC cân tại O (do OB = OC = R = 10 cm) có OH là đường cao nên OH cũng là đường trung tuyến của tam giác OBC.

Do đó H là trung điểm BC, nên BC = 2BH = 2.8 = 16 (cm).

Chu vi tam giác OBC là:

OB + OC + BC = 10 + 10 + 16 = 36 (cm).

Vậy chu vi tam giác OBC bằng 36 cm.

Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD $\left(\hat{A}=\hat{D}=90°\right),$ AB = 4 cm, BC = 13 cm và CD = 9 cm.

a) Tính AD.

b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

Hướng dẫn giải

a) Kẻ BH ⊥ CD tại H.

Ta có $\widehat{BHD}=\widehat{BAD}=\widehat{ADH}=90°$.

Suy ra tứ giác ABHD là hình chữ nhật.

Do đó AD = BH và DH = AB = 4 (cm).

Ta có CH = CD – DH = 9 – 4 = 5 (cm).

Tam giác BHC vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = BH² + HC²

Suy ra BH² = BC² – HC² = 13² – 5² = 144.

Do đó BH = 12 (cm).

Khi đó, AD = BH = 12 (cm).

b) Gọi O, N lần lượt là trung điểm của BC và BH.

Suy ra ON là đường trung bình của tam giác BHC.

Do đó $ON=\frac{1}{2}HC=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5\text{(cm)}$ và ON // HC.

Mà HC ⊥ AD nên ON ⊥ AD.

Gọi M là giao điểm của ON và AD, khi đó OM ⊥ AD tại M. (1)

Xét tứ giác AMNB có $\widehat{AMN}=\widehat{MAB}=\widehat{ABN}=90°$ nên AMNB là hình chữ nhật.

Do đó MN = AB = 4 cm.

Ta có OM = ON + MN = 2,5 + 4 = 6,5 cm.

Suy ra $OM=\frac{1}{2}BC.$ (2)

Từ (1), (2), ta có khoảng cách từ tâm O của đường tròn đường kính BC đến đường thẳng AD bằng OM và bằng bán kính của đường tròn đường kính BC.

Vậy đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và dây $AB=\frac{8R}{5}.$ Vẽ một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) và song song với AB, cắt các tia OA, OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra $AI=\frac{AB}{2}=\frac{4R}{5}$.

Tam giác OAB cân tại O (do OA = OB = R) có OI là đường trung tuyến nên OI cũng đồng thời là đường cao của tam giác.

Tam giác OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OI² + AI²

Suy ra $O{I}^2=O{A}^2-A{I}^2=R^2-\frac{16R^2}{25}=\frac{9R^2}{25}.$

Do đó $OI=\frac{3R}{5}.$

Ta có: $S_{OAB}=\frac{1}{2}OI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3R}{5}\cdot \frac{8R}{5}=\frac{12R^2}{25}$ (đơn vị diện tích).

Gọi H là giao điểm của đường thẳng MN với đường tròn (O).

Suy ra OH ⊥ MN và OH = R.

Mà MN // AB nên OH ⊥ AB.

Xét ∆OAB có MN // AB, theo định lí Thalès, ta có $\frac{OI}{OH}=\frac{OA}{OM}=\frac{AB}{MN}$

Ta có:$\frac{S_{OAB}}{S_{OMN}}=\frac{\frac{1}{2}.OI.AB}{\frac{1}{2}OH.MN}=\frac{OI}{OH}.\frac{AB}{MN}={\left(\frac{OI}{OH}\right)}^2=\frac{O{I}^2}{O{H}^2}=\frac{\frac{9R^2}{25}}{R^2}=\frac{9}{25}$

Suy ra $S_{OMN}=\frac{25}{9}.S_{OAB}=\frac{25}{9}.\frac{12R^2}{25}=\frac{4R^2}{3}$(đơn vị diện tích).

Vậy diện tích tam giác OMN bằng $\frac{4R^2}{3}$ (đơn vị diện tích).