Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn- Cánh diều

A. Lý thuyết Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế theo các bước sau:

Bước 1. (Thế) Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình một ẩn.

Bước 2. (Giải phương trình một ẩn) Giải phương trình (một ẩn) nhận được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được của ẩn đó ở Bước 2 vào biểu thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Chú ý: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ x-10y=-8\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\left(1\right)\\ x-10y=-8\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có: x = 10y – 8. (3)

Thế vào phương trình (1) ta được: 2.(10y – 8) + 3y = 7. (4)

Giải phương trình (4):

2.(10y – 8) + 3y = 7

20y – 16 + 3y = 7

23y = 23

y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình (3), ta có:

x = 10.1 – 8 = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (2; 1).

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số theo các bước sau:

Bước 1. (Làm cho hai hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau hoặc đối nhau) Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. (Đưa về phương trình một ẩn) Cộng (hay trừ) từng vế hai phương trình của hệ phương trình nhận được ở Bước 1 để nhận được một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là nhận được phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn đó.

Bước 3. (Tìm ẩn còn lại và kết luận) Thay giá trị vừa tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Từ đó, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ x-10y=-8\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\left(1\right)\\ x-10y=-8\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\left(3\right)\\ 2x-20y=-16\left(4\right)\end{array}\right.$Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

23y = 23, tức là y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình (2), ta có: x – 10.1 = –8. (5)

Giải phương trình (5):

x – 10.1 = –8

x – 10 = –8

x = 2.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (2; 1).

B. Sơ đồ tư duy Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

C. Bài tập Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1,5x-0,6y=0,3\\ -2x+y=-2\end{array}\right.$

A. có nghiệm là (0; –0,5).

B. có nghiệm là (1; 0).

C. có nghiệm là (–3; –8).

D. vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1,5x-0,6y=0,3\left(1\right)\\ -2x+y=-2\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có: y = 2x – 2. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3. (**)

Giải phương trình (**):

1,5x – 0,6.(2x – 2) = 0,3

1,5x – 1,2x + 1,2 = 0,3

0,3x = –0,9

x = –3.

Thay x = –3 vào phương trình (*), ta có:

y = 2.(–3) – 2 = –8.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (–3; –8).

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ 3x-2y=5.\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x+7y=14\\ 2x+14y=28.\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x-2y=8\\ 3x-4y=11.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\left(1\right)\\ 3x-2y=5\left(2\right).\end{array}\right.$

Từ phương trình (1), ta có: x = 5 – y. (*)

Thế vào phương trình (2) ta được: 3.(5 – y) – 2y = 5. (**)

Giải phương trình (**):

3.(5 – y) – 2y = 5

15 – 3y – 2y = 5

15 – 5y = 5

–5y = –10

y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (*), ta có:

x = 5 – 2 = 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (3; 2).

b) $\left\{\begin{array}{l}x+7y=14\left(3\right)\\ 2x+14y=28.\left(4\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (3), ta có: x = 14 – 7y. (***)

Thế vào phương trình (4) ta được: 2.(14 – 7y) + 14y = 28. (****)

Giải phương trình (****):

2.(14 – 7y) + 14y = 28

28 – 14y + 14y = 28

0y = 0.

Do đó phương trình (****) có vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

c) $\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x-2y=8\left(5\right)\\ 3x-4y=11\left(6\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (5), ta có: $2y=\frac{3}{2}x-8,$ suy ra $y=\frac{3}{4}x-4.\left(7\right)$

Thế vào phương trình (6) ta được: $3x-4\cdot \left(\frac{3}{4}x-4\right)=11.\left(8\right)$

Giải phương trình (8):

$3x-4\cdot \left(\frac{3}{4}x-4\right)=11$

3x – 3x + 16 = 11

0x = –5.

Do đó phương trình (8) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{\begin{array}{l}-0,5x+0,5y=1\\ -2x+2y=8.\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\\ 5x-2y=-9.\end{array}\right.$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x-5y=2\\ -6x+10y=-4.\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) $\left\{\begin{array}{l}-0,5x+0,5y=1\left(1a\right)\\ -2x+2y=8\left(2a\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1a) với 4, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=4\left(3a\right)\\ -2x+2y=8\left(4a\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3a) và (4a), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 12.

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\left(1b\right)\\ 5x-2y=-9\left(2b\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (2b) với 3, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}2x+6y=-7\left(3b\right)\\ 15x-6y=-27\left(4b\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3b) và (4b), ta nhận được phương trình:

17x = –34, tức là x = –2.

Thay x = –2 vào phương trình (2b), ta có: 5.(–2) – 2y = –9. (5b)

Giải phương trình (5b):

5.(–2) – 2y = –9

–10 – 2y = –9

–2y = 1

$y=-\frac{1}{2}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(-2;-\frac{1}{2}\right).$

c) $\left\{\begin{array}{l}3x-5y=2\left(1c\right)\\ -6x+10y=-4\left(2c\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1c) với 2, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}6x-10y=4\left(3c\right)\\ -6x+10y=-4\left(4c\right)\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình (3c) và (4c), ta nhận được phương trình:

0x + 0y = 0.

Phương trình trên vô số nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 4. Trong một đợt khuyến mãi, siêu thị giảm giá cho mặt hàng A là 20% và mặt hàng B là 15% so vối giá niêm yết. Một khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì phải trả số tiền là 362 000 đồng. Nhưng nếu mua trong khung giờ vàng thì mặt hàng A được giảm giá 30% và mặt hàng B được giảm giá 25% so với giá niêm yết. Một khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là 552 000 đồng. Tính giá niêm yết của mỗi mặt hàng A và B.

Hướng dẫn giải

Gọi giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là x, y (đồng) (x > 0, y > 0).

Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 20% là x.(100% – 20%) = 0,8x (đồng).

Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 15% là y.(100% – 15%) = 0,85y (đồng).

Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 2 món hàng A và 1 món hàng B là: 2.0,8x + 0,85y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình:

2.0,8x + 0,85y = 362 000 hay 1,6x + 0,85y = 362 000. (1)

Giá của mặt hàng A sau khi giảm giá 30% là x.(100% – 30%) = 0,7x (đồng).

Giá của mặt hàng B sau khi giảm giá 25% là y.(100% – 25%) = 0,75y (đồng).

Khi đó, số tiền khách hàng phải trả khi mua 3 món hàng A và 2 món hàng B là: 3.0,7x + 2.0,75y (đồng).

Theo bài, ta có phương trình:

3.0,7x + 2.0,75y = 552 000 hay 2,1x + 1,5y = 552 000. (2)

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}1,6x+0,85y=362000\left(1\right)\\ 2,1x+1,5y=552000\left(2\right)\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 210 và nhân hai vế của phương trình (1) với 160, ta được hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}336x+178,5y=76020000\left(3\right)\\ 336x+240y=88320000\left(4\right)\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình:

–61,5y = –12 300 000, tức là y = 200 000 (thỏa mãn).

Thay y = 200 000 vào phương trình (1), ta có:

1,6x + 0,85.200 000 = 362 000. (5)

Giải phương trình (5):

1,6x + 0,85.200 000 = 362 000

1,6x + 170 000 = 362 000

1,6x = 192 000

x = 120 000 (thỏa mãn).

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (120 000; 200 000).

Vậy giá niêm yết của mặt hàng A và B lần lượt là 120 000 đồng và 200 000 đồng.

Bài 5. Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hóa học sau:

4Al + xO₂ → yAl₂O₃.

Hướng dẫn giải

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Al và O, ta có: $\left\{\begin{array}{l}4=2y\left(1\right)\\ 2x=3y\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1):

4 = 2y

y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình (2), ta được: 2x = 3.2. (3)

Giải phương trình (3):

2x = 3.2

2x = 6

x = 3.

Do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 2).

Vậy ta có phương trình sau cân bằng:

4Al + 3O₂ → 2Al₂O₃.

Bài 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,6x+0,3y=1,8\\ 2x+y=-6\end{array}\right.$

A. có một nghiệm.

B. vô nghiệm.

C. có vô số nghiệm.

D. có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,6x+0,3y=1,8\left(1\right)\\ 2x+y=-6\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ phương trình (2), ta có: y = –6 – 2x. (*)

Thế vào phương trình (1) ta được: 0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8. (**)

Giải phương trình (**):

0,6x + 0,3.(–6 – 2x) = 1,8

0,6x – 1,8 – 0,6x = 1,8

0x = 3,6.

Do đó phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Trắc nghiệm: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}\right.$?

A. $\left(3;2\right).$

B. $\left(-3;2\right).$

C. $\left(3;-2\right).$

D. $\left(-3;-2\right).$

Câu 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x+y=7\left(1\right)\\ -9x+y=-3\left(2\right)\end{array}\right..$ Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, để được phương trình bậc nhất một ẩn, cách đơn giản nhất là

A. Cộng từng vế của phương trình (1) với phương trình (2).

B. Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2).

C. Nhân hai vế phương trình (1) với 3 rồi trừ từng vế của phương trình mới cho phương trình (2).

D. Nhân hai vế phương trình (1) với 3 rồi cộng từng vế của phương trình mới với phương trình (2).

Câu 3. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=-1\\ 3x+y=7\end{array}\right..$ Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x, ta được hệ thức biểu diễn y theo x là

A. $y=7+3x.$

B. $y=7-3x.$

C. $y=3x-7.$

D. $y=-1+2x.$

Câu 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x+7y=1 \left(1\right)\\ -x-5y=0 \left(2\right)\end{array}\right..$ Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, để được phương trình bậc nhất một ẩn, một trong những cách đơn giản nhất là

A. Cộng từng vế của phương trình (1) với phương trình (2).

B. Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2).

C. Nhân hai vế phương trình (1) với 5 và nhân hai vế phương trình (2) với 7, rồi cộng từng vế của hai phương trình mới với nhau.

D. Nhân phương trình (2) với 4 rồi cộng từng vế của phương trình mới với phương trình (1).

Câu 5. Để mở chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay, ta ấn liên tiếp các phím:

A.

B.

C.

D.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ 3x+2y=5\end{array}\right..$ Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x, ta được phương trình ẩn x là

A. $7x-2=5.$

B. $7x+2=5.$

C. $7x=-7.$

D. $y=2x-1.$

Câu 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-5y=1\\ 6x-10y=2\end{array}\right..$ Kết luận nào sau đây đúng về số nghiệm của hệ phương trình đã cho?

A. Có nghiệm duy nhất.

B. Vô nghiệm.

C. Vô số nghiệm.

D. Không có kết luận.

Câu 8. Gọi (x;y) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}3x-2y=-1\\ 4x-5y=3\end{array}\right..$ Tổng bình phương của x và y là

A. $\frac{-290}{49}.$

B. $\frac{290}{49}.$

C. $\frac{49}{290}.$

D. $\frac{-49}{290}.$

Câu 9. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ \left(a^2+1\right)x-4y=2a\end{array}\right..$ Khi $a=-1$ thì hệ phương trình

A. có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(2;-2\right).$

B. có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)=\left(1;-2\right).$

C. vô nghiệm.

D. có vô số nghiệm.

III. Vận dụng

Câu 10. Với giá trị nào của tham số m thì hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y=4\\ \left(2m+1\right)x+7y=8\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất

A. $m=-10.$

B. $m=0.$

C. $m=10.$

D. $m=-1.$