Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn sách – Toán lớp 9 Cánh diều

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn sách - Cánh diều

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích có dạng (ax + b)(cx + d) = 0 (a ≠ 0, c ≠ 0)

Các bước giải phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0 với a ≠ 0 và c ≠ 0:

Bước 1. Giải hai phương trình bậc nhất: ax + b = 0 và cx + d = 0.

Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) (16x + 7)(14x – 11) = 0;

b) 9x² – 1 = (3x + 1)(2x + 3).

Hướng dẫn giải

a) (16x + 7)(14x – 11) = 0

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

⦁ 16x + 7 = 0

16x = –7

$x=-\frac{7}{16};$

⦁ 14x – 11 = 0

14x = 11

$x=\frac{11}{14}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{7}{16}$ và $x=\frac{11}{14}.$

b) 9x² – 1 = (3x + 1)(2x + 3)

(3x – 1)(3x + 1) – (3x + 1)(2x + 3) = 0

(3x + 1)[(3x – 1 – (2x + 3)] = 0

(3x + 1)(3x – 1 – 2x – 3) = 0

(3x + 1)(x – 4) = 0.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

⦁ 3x + 1 = 0

3x = –1

$x=-\frac{1}{3};$

⦁ x – 4 = 0

x = 4.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{1}{3}$ và x = 4.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

⦁ Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{x-1}{1-2x}=1;$

b) $\frac{x-6}{x-4}=\frac{x}{x+2}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình $\frac{x-1}{1-2x}=1$ là 1 – 2x ≠ 0 hay $x\ne \frac{1}{2}.$

b) Điều kiện xác định của phương trình $\frac{x-6}{x-4}=\frac{x}{x+2}$ là x – 4 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 4 và x ≠ –2.

⦁ Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai về của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được

Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{4x-5}{x-1}=2+\frac{x}{x-1};$

b) $\frac{1}{2x-3}-\frac{3}{x\left(2x-3\right)}=\frac{5}{x}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ 1.

$\frac{4x-5}{x-1}=2+\frac{x}{x-1}$

$\frac{4x-5}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{x}{x-1}$

4x – 5 = 2(x – 1) + x

4x – 5 = 2x – 2 + x

4x – 5 = 3x – 2

x = 3.

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và $x\ne \frac{3}{2}.$

$\frac{1}{2x-3}-\frac{3}{x\left(2x-3\right)}=\frac{5}{x}$

$\frac{1\cdot x}{x\left(2x-3\right)}-\frac{3}{x\left(2x-3\right)}=\frac{5\left(2x-3\right)}{x\left(2x-3\right)}$

x – 3 = 5(2x – 3)

x – 3 = 10x – 15

–9x = –12

$x=\frac{-12}{-9}$

$x=\frac{4}{3}.$

Ta thấy $x=\frac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{4}{3}$

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Tất cả các nghiệm của phương trình (x + 3)(2x – 6) = 0 là

A. x = –3.

B. x = 3.

C. x = 3 và x = –3.

D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để giải phương trình (x + 3)(2x – 6) = 0, ta giải hai phương trình sau:

⦁ x + 3 = 0

x = –3.

⦁ 2x – 6 = 0

2x = 6

x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = –3.

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) x(22x – 12) = 0;

b) (4x – 1)² – 9x² = 0.

Hướng dẫn giải

a) (x + 21)(22x – 12) = 0

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

⦁ x + 21 = 0

x = –21;

⦁ 22x – 12 = 0

22x = 12

$x=\frac{12}{22}$

$x=\frac{6}{11}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –21 và $x=\frac{6}{11}.$

b) (4x – 1)² – 9x² = 0

(4x – 1)² – (3x)² = 0

(4x – 1 – 3x)(4x – 1 + 3x) = 0

(x – 1)(7x – 1) = 0.

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

⦁ x – 1 = 0

x = 1;

⦁ 7x – 1 = 0

7x = 1

$x=\frac{1}{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và $x=\frac{1}{7}.$

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x}{2x-5}=\frac{4}{3};$

b) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: $x\ne \frac{5}{2}.$

$\frac{x}{2x-5}=\frac{4}{3}$

$\frac{3x}{3\left(2x-5\right)}=\frac{4\left(2x-5\right)}{3\left(2x-5\right)}$

3x = 4(2x – 5)

3x = 8x – 20

–5x = –20

x = 4.

Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ –1.

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{4}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

(x + 1)² – (x – 1)² = 4

x² + 2x + 1 – (x² – 2x + 1) = 4

x² + 2x + 1 – x² + 2x – 1 = 4

4x = 4

x = 1.

Ta thấy x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở về A (cùng cung đường khi đi từ A đến B), người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi nên lúc về mất ít thời gian hơn so với lúc đi là 30 phút. Tính vận tốc của người xe đạp khi đi từ A đến B.

Hướng dẫn giải

Đổi 30 phút $=\frac{1}{2}$ giờ.

Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x > 0).

Thời gian người đó đi từ A đến B là $\frac{24}{x}$ (giờ).

Khi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi nên lúc trở về, vận tốc của người đó là: x + 4 (km/h).

Thời gian người đó từ B trở về A là: $\frac{24}{x+4}$ (giờ).

Theo bài, lúc về mất ít thời gian hơn so với lúc đi là 30 phút nên ta có phương trình: $\frac{24}{x}-\frac{24}{x+4}=\frac{1}{2}.$

Giải phương trình:

$\frac{24}{x}-\frac{24}{x+4}=\frac{1}{2}$

$\frac{24\cdot 2\left(x+4\right)}{2x\left(x+4\right)}-\frac{24\cdot 2x}{2x\left(x+4\right)}=\frac{x\left(x+4\right)}{2x\left(x+4\right)}$

24.2(x + 4) – 24.2x = x(x + 4)

48x + 192 – 48x = x² + 4x

192 = x² + 4x

x²– 12x + 16x – 192 = 0

x(x – 12) + 16(x – 12) = 0

(x – 12)(x + 16) = 0

x – 12 = 0 hoặc x + 16 = 0

x = 12 hoặc x = –16.

Ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn điều kiện x > 0.

Vậy vận tốc người xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.

Bài 5. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến bến B, ca nô ngược dòng quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc riêng ca nô là x (km/h), x > 3.

Vận tốc của bè trôi xuôi dòng từ A đến B chính là vận tốc của dòng nước, nên vận tốc ca nô xuôi dòng là x + 3 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là $\frac{40}{x+3}$ (giờ).

Vận tốc ca nô ngược dòng là x – 3 (km/h).

Quãng đường ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: 40 – 8 = 32 (km).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến địa điểm gặp bè là: $\frac{32}{x-3}$ (giờ).

Thời gian bè trôi là: $\frac{8}{3}$ (giờ).

Theo bài, ta có phương trình:

$\frac{40}{x+3}+\frac{32}{x-3}=\frac{8}{3}$

$\frac{5}{x+3}+\frac{4}{x-3}=\frac{1}{3}$

$\frac{5\cdot 3\left(x-3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{4\cdot 3\left(x+3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{1\cdot \left(x+3\right)\left(x-3\right)}{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

5.3(x – 3) + 4.3(x + 3) = (x + 3)(x – 3)

15x – 45 + 12x + 36 = x² – 9

27x – 9 = x² – 9

x² – 27x = 0

x(x – 27) = 0

x = 0 hoặc x – 27 = 0

x = 0 hoặc x = 27.

Ta thấy chỉ x = 27 thỏa mãn điều kiện x > 3.

Vậy vận tốc riêng của cano là: 27 km/h.

Bài 6. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{2x-1}+\frac{3}{x+5}=\frac{x}{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)}$ là

A. x ≠ $\frac{1}{2}.$

B. x ≠ $\frac{1}{2}$ và x ≠ –5.

C. x ≠ 0.

D. x ≠ –5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là 2x – 1 ≠ 0 và x + 5 ≠ 0 hay x ≠ $\frac{1}{2}$ và x ≠ –5.